ネイピア数のソースを表示

{{ネイピア数e}}
[[画像:Exp derivative at 0.svg|150px|thumb|関数 {{math2|1=''y'' = ''a{{sup|x}}''}} の {{math2|1=''x'' = 0}} における[[微分|微分係数]]が {{math|1}}（赤線）になるのは {{math2|1=''a'' = ''e''}}（青線）のときである（破線は {{math2|1=''a'' = 2, 4}} のとき）。]]
'''ネイピア数'''（ネイピアすう、{{lang-en-short|Napier's constant}}）は、[[数学定数]]の一つであり、'''[[自然対数]]の底'''である。'''ネーピア数'''、'''ネピア数'''とも表記する。記号として通常は {{mvar|[[e]]}} が用いられる。その値は
:{{math2|1=''e'' = 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 …}}
と続く[[超越数]]である。ネピアの定数とも呼ばれる。欧米では一般に'''オイラー数''' (Euler's number) と呼ばれる([[オイラーの定数]] {{mvar|γ}} や[[オイラー数]]列とは異なる。)。また、ネイピア数の {{mvar|e}} は、[[18世紀]]の数学者[[レオンハルト・オイラー|オイラー]]（Euler）のeの略といわれる<ref>{{Cite web|和書|title=数学者オイラーが視力を失っても平気だった理由 |url=https://toyokeizai.net/articles/-/596436 |website=東洋経済オンライン |date=2022-07-02 |accessdate=2023-01-01}}</ref>。[[オイラーにちなんで名づけられた物事の一覧#オイラー数]]も参照。

なお、コンピュータにおける[[指数表記]]では、e または E がネイピア数ではなく、[[常用対数]]の底である[[10]]を示すので注意が必要である<ref>[https://kikakurui.com/x0/X0210-1986-01.html JIS X0210-1986] 情報交換用文字列による数値表現</ref>。ネイピア数は[[微分積分学]]に度々登場するため、[[解析学]]において重要な数とされる。

== 歴史 ==
ネイピア数の近似値と言えるものが記された最も古い文献は、[[1618年]]、[[ジョン・ネイピア]]によって発表された対数の研究の付録に収録されていた表である。その表自体は[[ウィリアム・アウトレッド]]によって書かれたとされている。

厳密にネイピア数そのものを見い出したのは[[ヤコブ・ベルヌーイ]]と言われており、[[複利]]の計算で
:<math>\lim_{n\to \infty} \left( 1+\frac{1}{n} \right)^n</math>
を求めようとした。これは {{mvar|e}} に等しくなる。

この数に初めて定数記号を割り当てたのは[[ゴットフリート・ライプニッツ]]だとされている。1690年と1691年の[[クリスティアーン・ホイヘンス]]宛ての手紙の中で、記号 ''b'' を用いた。レオンハルト・オイラーは、1727年からこの数を表すのに記号 ''e'' を使い始め、オイラーによる1736年の『力学』がネイピア数を ''e'' で表した最初の出版物となった<ref>{{Harvnb|エイドリアン|2008|p=85}}</ref>。その後しばらくは ''c'' によってこの数を表す流儀もあったが、やがて ''e'' が標準的な記号として受け入れられるようになった。

オイラーは、[[指数関数]] ''a{{sup|x}}'' が
:<math>\frac{d}{dx} a^x =a^x</math>
を満たすとき ''a'' = ''e'' であることを示した。

さらに[[積分]]
:<math>\int_1^x \frac{dt}{t}</math>
が[[対数]]の性質を持ち、対数として見た時の底が ''e'' でもあることを示した。この対数を[[自然対数]]という。

== 定義 ==
;オイラーによる定義
:''e'' は
:<math style="margin-left:2em">\frac{d}{dx} \, a^x
= \lim_{h\rightarrow 0} \frac{a^{x+h} -a^x}{h}
=a^x \lim_{h\rightarrow 0} \frac{a^h -1}{h}
= a^x</math>
:を満たすような実数 ''a''、つまり
:<math style="margin-left:2em">\lim_{h\rightarrow 0} \frac{e^h -1}{h} =1</math>
:をネイピア数の定義とした。
;収束数列による定義
:以下の式の右辺は、ヤコブ・ベルヌーイによって、[[利子#連続複利と元利合計|利子の連続複利]]の計算との関連で言及されたものである。
:<math>e=\lim_{n\to +\infty} \left( 1+\frac{1}{n} \right)^n</math>
:元金1を年利1、付利期間を {{math|{{sfrac|1|''n''}}}} 年で1年預金すれば、{{math|{{sfrac|1|''n''}}}} 年ごとに利子 {{math|{{sfrac|1|''n''}}}} で元利合計が増えていき、1年経つと右辺の式になる。''n'' → ＋∞ とした極限は連続複利の元利合計となる。
:オイラーは、導関数が元の関数と等しい[[指数関数]]の底が、この式の右辺によって求まることを示した。ここで ''n'' は[[自然数]]だが、''n'' を[[実数]]として変動させた場合も上の式は同じ値に収束する。
[[画像:Ln+e.svg|200px|thumb|ln ''e'' = 1]]
;微分積分学の基本的な関数を使った定義
:<math style="margin-left:2em">e=\exp 1=\sum^{\infty}_{n=0} \frac{1}{n!}</math>
:<math style="margin-left:2em">\ln e=1</math>
:exp ''x'' は[[指数関数]]、ln ''x'' は[[自然対数]]であり、互いに逆関数になっている。指数関数や自然対数をネイピア数 ''e'' により定義する場合、これらの式によりネイピア数を定義することは、[[循環定義]]となってしまう。そのためにネイピア数 ''e'' を用いない指数関数・対数関数の定義として以下のものがある。

=== 定義に用いられる諸公式 ===
[[画像:hyperbola E.svg|200px|thumb|グラフ ''y'' = {{sfrac|1|''x''}} の 1 ≤ ''x'' ≤ ''e'' における領域の面積は 1 になる<ref>1647年グレゴアール・サン・ヴァンサン(ベルギーの数学者1584～1667年)がこの事実を発見したという。カジョリ『初等数学史』（共立出版）235頁参照</ref>。]]
ネイピア数を定義するために用いられる指数関数や対数関数の性質・公式を挙げる。これらの式と ''e'' = exp 1 などを組み合わせることによって、ネイピア数が定義できる。
*<math>\exp x=\sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^n}{n!}</math>
*:これは関数 <math>\exp x=e^x</math> を[[テイラー展開]]したものである。
*<math>\frac{d}{dx} y(x)= y(x),\quad y(0)=1</math>
*:という[[微分方程式|常微分方程式]]の初期値問題の解 ''y''(''x'') によって exp ''x'' = ''y''(''x'') が定義される。
*<math>\int_1^x \frac{dt}{t} =\ln x</math>
*<math>\left.\frac{d}{da} x^a \right|_{a=0} = \ln x</math>

== 性質 ==
''n'' → +∞ とした極限は、
:<math>\lim_{n\to +\infty} \left( 1+\frac{1}{n} \right)^n = e</math>
一般に、任意の実数 ''x'' に対して、
:<math>\lim_{n\to +\infty} \left( 1+\frac{x}{n} \right)^n = e^{x}</math>
特に、''x''＝－1 の場合、
:<math>\lim_{n\to +\infty} \left( 1-\frac{1}{n} \right)^n = \frac{1}{e} </math>
が成り立つ。

底が ''e'' の[[指数関数]] ''e{{sup|x}}'' の[[導関数]]と[[不定積分]]は
:<math>\frac{d}{dx} e^x = e^x,</math>
:<math>\int e^x \,dx= e^x +C</math>（''C'' は積分定数）
となる。また、底が ''e'' の[[対数関数]] log{{sub|''e''}} ''x''（ln ''x'' あるいは（紛らわしくない場合）log ''x'' と書くことが多い）の導関数は
:<math>\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}</math>
となる。したがってまた
:<math>\int \frac{dx}{x} =\ln x+C</math>
である。

''e'' は無理数である（[[ネイピア数の無理性の証明]]、オイラー、1744年）だけでなく[[超越数]]でもある（[[シャルル・エルミート]]、1873年）。

指数関数の[[解析接続]]によって一般の[[複素数]]を指数とした ''e'' の[[冪乗]] ''e{{sup|z}}'' が定義されるが、特に純虚数を指数とする冪は[[オイラーの公式]]として知られる関係式
:<math>e^{ix} =\cos x+i\sin x</math>
を満たす。この式の特別な場合として ''x'' = {{π}}（{{π}} は[[円周率]]）を代入して得られる[[オイラーの等式]]
:<math>e^{i\pi} +1=0</math> または <math>e^{i\pi}=-1</math>
において前者はネイピアの数を含む5つの基本的な数学定数 ''e'', ''i'', {{π}}, 0, 1 の間の、後者は ''e'', ''i'', {{π}}, &minus;1 の間の直観的には全く明らかではない関係を記述するものである。

ネイピア数は以下の規則的な[[連分数]]展開を持つ：
:''e'' = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, …]
特に {{sfrac|11|4}} = 2.75, {{sfrac|19|7}} = 2.714…, … などは ''e'' の近似値である。

== 表記 ==
ネイピア数 ''e'' を[[立体活字|立体]]と[[斜体]]とのどちらで表記するかは、国や分野によって異なる。[[国際標準化機構]]<ref>[http://www.iso.org/iso/home/store/catalogue_tc/catalogue_detail.htm?csnumber=31887 ISO 80000-2:2009] Quantities and units −- Part 2: Mathematical signs and symbols to be used in the natural sciences and technology, [[国際標準化機構]]、2009年。</ref>、[[日本産業規格]]<ref>[https://kikakurui.com/z8/Z8201-1981-01.html JIS Z 8201]（数学記号）、[[日本産業規格|日本工業規格]]、1981。</ref>、[[日本物理学会]]<ref>[https://www.jps.or.jp/books/files/toukou-kitei.pdf 日本物理学会誌投稿規定]、[[日本物理学会]]、2023年1月。</ref>などは、{{math|e}} のような定数は立体で表記することを定めている。
: 例：<math>y = \mathrm{e}^x ,\quad x = \log_{\mathrm{\,e}} y.</math>
しかし、数学の分野では、斜体の一つである[[イタリック体]]で表記されることが多い。
: 例：<math>y = e^x ,\quad x = \log_{\,e} y.</math>
ただし、[[フランス]]では数学の書籍でも立体での表記が比較的多く見つかる。

== 値 ==
小数点以下1000桁までの値を示す<ref>({{OEIS|A001113}})</ref>：

e = 2.

7182818284 5904523536 0287471352 6624977572 4709369995 9574966967 6277240766 3035354759 4571382178 5251664274 2746639193 2003059921 8174135966 2904357290 0334295260 5956307381 3232862794 3490763233 8298807531 9525101901 1573834187 9307021540 8914993488 4167509244 7614606680 8226480016 8477411853 7423454424 3710753907 7744992069 5517027618 3860626133 1384583000 7520449338 2656029760 6737113200 7093287091 2744374704 7230696977 2093101416 9283681902 5515108657 4637721112 5238978442 5056953696 7707854499 6996794686 4454905987 9316368892 3009879312 7736178215 4249992295 7635148220 8269895193 6680331825 2886939849 6465105820 9392398294 8879332036 2509443117 3012381970 6841614039 7019837679 3206832823 7646480429 5311802328 7825098194 5581530175 6717361332 0698112509 9618188159 3041690351 5988885193 4580727386 6738589422 8792284998 9208680582 5749279610 4841984443 6346324496 8487560233 6248270419 7862320900 2160990235 3043699418 4914631409 3431738143 6405462531 5209618369 0888707016 7683964243 7814059271 4563549061 3031072085 1038375051 0115747704 1718986106 8739696552 1267154688 9570350354 ...

== 覚え方 ==
ネイピア数と呼ばれる自然対数の底
:{{math|1=''e'' = 2.718281828459045…}}
には以下のような語呂合わせで記憶する方法が知られている<ref>{{Cite web|和書|author=大野泰生 |date=2016-06-01 |url=https://www.shokabo.co.jp/column-math/column-math0010.html |title=【コラム：数学者的思考回路】（10）1173事件 |publisher=裳華房 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20170709100524/https://www.shokabo.co.jp/column-math/column-math0010.html|archivedate=2017-07-09 |accessdate=2021-01-16}}</ref><ref>{{Cite web|和書|date=2020-05-19 |url=http://2.718281828459045235360287471352662497757247093699959574966967627.org/recitation/ |title=ネイピア数（自然対数の底）の暗唱 |publisher=Home(ネイピア数 自然対数の底 e） |archiveurl=https://web.archive.org/web/20210116083051/http://2.718281828459045235360287471352662497757247093699959574966967627.org/recitation/ |archivedate=2021-01-16 |accessdate=2021-01-16}}</ref>。
;{{ruby|鮒|ふな}}{{ruby|一鉢|ひとはち}}{{ruby|二鉢|ふたはち}}{{ruby|一鉢|ひとはち}}{{ruby|二鉢|ふたはち}}{{ruby|至極|しごく}}{{ruby|惜|お}}しい

;{{ruby|鮒|ふな}}{{ruby|一鉢|ひとはち}}{{ruby|二鉢|ふたはち}}{{ruby|一鉢|ひとはち}}{{ruby|二鉢|ふたはち}}{{ruby|至極|しごく}}{{ruby|美味|おい}}しい

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist|2}}

== 参考文献 ==
{{参照方法|section=1|date=2016-02}}
*{{Cite book|和書 |author=Yeo・エイドリアン |translator=久保儀明、蓮見亮 |title=πとeの話　数の不思議 |publisher=青土社 |date=2008-10 |isbn=978-4-7917-6439-6 |ref={{Harvid|エイドリアン|2008}} |url=http://www.seidosha.co.jp/book/index.php?id=1663}}
*{{Cite book|和書 |author=[[高木貞治]] |title=解析概論 |date=1983-09-27 |edition=改訂第3版 軽装版 |publisher=岩波書店 |isbn=4-00-005171-7 |ref={{Harvid|高木|1983}} |url=http://www.iwanami.co.jp/.BOOKS/00/7/0051710.html}}
**{{Cite book|和書 |author=高木貞治 |title=定本 解析概論 |publisher=岩波書店 |date=2010-09-15 |isbn=978-4-00-005209-2 |ref={{Harvid|高木|2010}}|url=http://www.iwanami.co.jp/.BOOKS/00/8/0052090.html}}
*{{Cite book|和書 |author=L. S. ポントリャーギン |authorlink=レフ・ポントリャーギン |translator=[[坂本實 (情報学者)|坂本實]] |title=やさしい微積分 |publisher=筑摩書房 |series=ちくま学芸文庫 ホ13-1 Math & Science |date=2008-08-06 |isbn=978-4-480-09149-9 |ref={{Harvid|ポントリャーギン|2008}} |url=https://www.chikumashobo.co.jp/product/9784480091499/}}

== 関連項目 ==
{{Div col}}
*[[指数関数]]
*[[自然対数]]
*[[数学定数]]
*[[超越数]]
*[[ネイピア数の表現]]
*[[e進法]]
{{Div col end}}

== 外部リンク ==
{{commonscat|E (mathematical constant)}}
*{{Kotobank|ネーピアの数|2=ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典}}
*{{Kotobank|自然対数|2=[[竹之内脩]]}}
*{{高校数学の美しい物語|714|自然対数の底（ネイピア数）の定義：収束することの証明}}
*{{MathWorld|title=e|urlname=e|author=[[:en:Jonathan Sondow|Sondow, Jonathan]] and [[:en:Eric W. Weisstein|Weisstein, Eric W.]]}}
*{{WolframAlpha|title=Napier's constant|id=Napier's constant|accessdate=2023-05-28}}
*[https://apod.nasa.gov/htmltest/gifcity/e.5mil eの近似値]（500万桁）2015年3月30日閲覧

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:ねいひあすう}}
[[Category:超越数]]
[[Category:数学定数]]
[[Category:初等数学]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:ネイピア数|*]]
[[Category:数学のエポニム]]