ネウシス作図のソースを表示

[[Image:neusis_en.gif|thumb|300px|ネウシス作図]]

'''ネウシス作図'''（ネウシスさくず、{{Lang-grc|νεῦσις}}）は、ギリシアの数学者によって古くから使われてきた作図法である。

== 概要 ==
ネウシス作図はある2つの曲線<math>l</math>，<math>m</math>の間に、極と呼ばれる点<math>P</math>を通る適当な長さ<math>a</math>の線分を描くことで行われる。曲線<math>l</math>は準線あるいはガイド線、<math>m</math>はキャッチ線と呼ばれる。上図は、この作図のためのネウシス定規を利用して長さ<math>a</math>の線分を探索する過程を示している。

[[Image:Neusis-trisection.svg|thumb|200px|<math>\theta>\frac{3\pi}{4}</math>を満たす角を三等分する角<math>\phi</math>を、円の半径と同じ長さを持つ定規を用いたネウシス作図により求める方法。]]

== 具体例 ==
ネウシス作図は、[[定規とコンパスによる作図]]では解決不能である作図問題を解決できる場合があるために重要視されてきた。主な例としては[[角の三等分問題]]、[[立方体倍積問題]]などがある。<ref name=ElliotConstruction/><ref>Weisstein, Eric W. "Neusis Construction." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/NeusisConstruction.html</ref>[[アルキメデス]]（287–212 BC）や[[パップス]]（290-350 AD)、[[アイザック・ニュートン|ニュートン]]（1642-1726）といった数学者はよくネウシス作図を用いたとされているが、この作図法は現在ではあまり使われていない。<ref>{{cite book| last=Guicciardini| first=Niccolò | author-link=Niccolò Guicciardini | title=Isaac Newton on Mathematical Certainty and Method, Issue 4 | isbn=9780262013178 | url=https://books.google.com/books?id=U4I82SJKqAIC&pg=PA68 | publisher=[[M.I.T Press]]| page=68| year=2009 }}</ref>

=== ネウシス作図と正多角形 ===

A. Baragarは、ネウシス作図により構成可能な点により得られる体の拡大<math>\Q = K_0 \subset K_1 \subset \dots \subset K_n = K</math>の拡大次数が2，3，5，6のいずれかであることを2002年に示した。これは頂点数が100以下の正多角形のうち、頂点数が23，29，43，47，49，53，59，67，71，79，83，89であるもののネウシス作図不能性を示すのに十分である。また一般に、正<math>p</math>角形が作図可能であるならば、<math>\zeta_p = e^{\frac{2\pi i}{p}}</math>は作図可能であり、<math>p-1</math>は5より大きな素因数を持つ。

頂点数が100以下の正多角形のうち、通常の作図により[[正三角形|正三]]，[[正五角形|五]]，[[正十七角形|十七角形]]が、角の三等分を認めることにより[[正七角形|正七]]，[[正九角形|九]]，[[正十三角形|十三]]，[[正十九角形|十九]]，[[正二十七角形|二十七]]，[[正三十七角形|三十七]]，[[正七十三角形|七十三]]，[[正八十一角形|八十一]]，[[正九十七角形|九十七角形]]（とこれらの2の累乗倍の頂点を持つ正多角形）が作図可能である。しかしながら、全ての[[五次方程式]]がネウシス作図可能な解をもつかどうかはまだわかっていない。なお、この問題は[[正十一角形|正十一]]，[[正二十五角形|二十五]]，[[正三十一角形|三十一]]，[[正四十一角形|四十一]]，[[正六十一角形|六十一角形]]の作図可能性に関連している。<ref name=Baragar>Arthur Baragar (2002) Constructions Using a Compass and Twice-Notched Straightedge, The American Mathematical Monthly, 109:2, 151-164, {{doi|10.1080/00029890.2002.11919848}}</ref>

正十一角形がネウシス作図可能であることは、BenjaminとSnyderによって2014年に証明された。<ref name="ElliotConstruction">{{cite journal |last1=Benjamin |first1=Elliot |last2=Snyder |first2=C |title=On the construction of the regular hendecagon by marked ruler and compass |journal=Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society |date=May 2014 |volume=156 |issue=3 |pages=409–424 |doi=10.1017/S0305004113000753 |url=https://www.researchgate.net/publication/262991453 |access-date=26 September 2020|url-status=live}}</ref>さらに一般には、非負整数<math>r</math>，<math>s</math>及び正整数<math>t</math>を用いて<math>2^r3^s5^t+1</math>の形で表せる11より大きな素数<math>p</math>個の頂点を持つ正多角形や、頂点数が5より大きな5の累乗であるような正多角形のネウシス作図可能性は未解決問題である。<ref name=Baragar/>

== 人気の衰退 ==
{{仮リンク|トーマス・ヒース (西洋古典学者)|en|T. L. Heath|label=トーマス・ヒース}}によれば、ギリシアの数学者{{仮リンク|オエノピデス|en|Oenopides}}（440 BC頃）が初めて作図にコンパスと定規のみを用いた人物で、可能な限りネウシス作図を用いないような習慣は、現在知られている限り最古の整理された幾何学の教科書を執筆した[[ヒポクラテス]]（430 BC頃）によって広められたとされている。この百年後、[[ユークリッド]]は[[ユークリッド原論|原論]]においてネウシス作図を避けた。

ネウシス作図の衰退における次の一歩は、[[プラトン]]の[[イデア]]論の台頭により、作図法が以下の三段階にわけられたことである。
# 直線と円による作図
# さらに[[円錐曲線]]を用いる作図
# さらに別の手順を用いる、ネウシス作図のような作図

ネウシス作図は、上位の作図法が有効な解決を与えられなかったとき、最後の砦として用いられるが、[[パップス]]は他の手法が有効かもしれない問題に対してネウシス作図を用いることは「些細な問題」だとしている。

==出典==
{{reflist}}

== 参考文献 ==
*R. Boeker, 'Neusis', in: ''Paulys Realencyclopädie der Classischen Altertumswissenschaft'', G. Wissowa red. (1894–), Supplement 9 (1962) 415–461.–In German. The most comprehensive survey; however, the author sometimes has rather curious opinions.
*[[T. L. Heath]], ''A history of Greek Mathematics'' (2 volumes; Oxford 1921).
*[[H. G. Zeuthen]], ''Die Lehre von den Kegelschnitten im Altertum'' [= The Theory of Conic Sections in Antiquity] (Copenhagen 1886; reprinted Hildesheim 1966).

== 関連項目 ==

* [[角の三等分問題]]
* [[ピアポント素数]]
* [[指矩]]

== 外部リンク ==

* [http://mathworld.wolfram.com/NeusisConstruction.html MathWorld page]
* [http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/PaperFolding/AngleTrisection.shtml Angle Trisection by Paper Folding]

{{デフォルトソート:ねうしすさくす}}
[[Category:幾何学]]
[[Category:数学に関する記事]]