ネターの不等式のソースを表示

{{要改訳}}
数学では、{{仮リンク|マックス・ネター|en|Max Noether}}(Max Noether)の名前にちなんだ'''ネターの不等式'''(Noether inequality)は、基礎となるトポロジカルな[[4次元多様体]]の位相形を限定する[[コンパクト空間|コンパクトな]]射影的な極小複素曲面の性質である。より一般的に、この性質のは、代数的閉体上の[[一般型曲面|一般型]]の極小射影曲面について成り立つ。

==不等式の定式化==
X を滑らかな[[代数的閉体]]上で定義された[[極小モデル|極小な]][[射影多様体|射影的]]な[[一般型曲面]]（もしくは、滑らかな極小なコンパクトな一般複素曲面）とし、標準因子 K = −c<sub>1</sub>(X) とし、p<sub>g</sub> = h<sup>0</sup>(K) を正則 2-形式の空間の次元とすると、
:<math> p_g \le \frac{1}{2} c_1(X)^2 + 2</math>
が成り立つ。

複素曲面に対して、別の公式化は基礎となっている向き付けされた実 4次元多様体の位相不変量の項でこの不等式を表している。一般型曲面は[[ケーラー多様体|ケーラー]]曲面であるので、第二コホモロジーの交叉形式の最も大きい正の部分空間の次元は b<sub>+</sub> =&nbsp;1&nbsp;+&nbsp;2p<sub>g</sub> で与えられる。加えて、[[種数 (乗法的数列)#L-種数とヒルツェブルフの符号定理|ヒルツェブルフの符号定理]]により、c<sub>1</sub><sup>2</sup> (X)&nbsp;=&nbsp;2e&nbsp;+&nbsp;3σ であり、ここに e = c<sub>2</sub>(X) はトポロジカルな[[オイラー標数]]であり、σ = b<sub>+</sub>&nbsp;−&nbsp;b<sub>−</sub> は[[交叉形式 (4-多様体)|交叉形式]]の符号である。従って、ネターの不等式は
:<math> b_+ \le 2 e + 3 \sigma + 5</math>
としても表すことができる。あるいは、同じことであるが、e = 2 – 2 b<sub>1</sub> + b<sub>+</sub> + b<sub>&minus;</sub> を使い、
:<math> b_- + 4 b_1 \le 4b_+  + 9</math>
と表すこともできる。

[[曲面のリーマン・ロッホの定理#ネターの公式|ネター公式]] 12χ=c<sub>1</sub><sup>2</sup>+c<sub>2</sub> とネターの不等式を組み合わせると、
:<math>  5 c_1(X)^2 - c_2(X) + 36 \ge 12q </math>
を得る。ここに q は[[曲面の不正則数]]であり、曲面の不正則数は次の少し弱い形の不等式を導き、この不等式もときにはネターの不等式と呼ばれることもある。
:<math>  5 c_1(X)^2 - c_2(X) + 36 \ge 0 \quad (c_1^2(X)\text{ even}) </math>
:<math>  5 c_1(X)^2 - c_2(X) + 30 \ge 0 \quad (c_1^2(X)\text{ odd}).  </math>

等号が保たれるような曲面（つまり、ネター直線上は）は[[一般型曲面|堀川曲面]]と呼ばれる。

==証明のスケッチ==
極小な一般型という条件からは、K<sup>2</sup> > 0 が従う。このことから、不等式はそうでない場合は自動的に成立することから、p<sub>g</sub> > 1 を前提とする。特に、ここでは有効因子(effective divisor) D が K を表していることを前提とする。すると、完全系列
:<math> 0 \to H^0(\mathcal{O}_X) \to H^0(K) \to H^0( K|_D) \to H^1(\mathcal{O}_X) \to   </math>
が成り立つので、<math> p_g - 1 \le h^0(K|_D)</math> を得る。

D が滑らかであることを前提とする。[[随伴公式 (代数幾何学)|随伴公式]]により、D は標準ラインバンドル <math>\mathcal{O}_D(2K)</math> を持つので、<math>K|_D</math> は{{仮リンク|特別因子|en|special divisor}}(special divisor)であり、{{仮リンク|クリフォードの特別因子の定理|label=クリフォードの不等式|en|Clifford's theorem on special divisors}}(Clifford inequality)が適用され、
:<math> h^0(K|_D) - 1 \le \frac{1}{2}\mathrm{deg}_D(K) = \frac{1}{2}K^2</math>
を得る。

一般に、本質的に同じ議論が、自明ラインバンドルの1-次元切断や双対化されたラインバンドルとの局所完全交叉へ、より一般化されたクリフォードの不等式を使って適用される。曲線 D は、付加公式と D は数値的に連結であるという事実により、これらの条件を満たす。

==参考文献==
* {{Citation | last1=Barth | first1=Wolf P. | last2=Hulek | first2=Klaus | last3=Peters | first3=Chris A.M. | last4=Van de Ven | first4=Antonius | title=Compact Complex Surfaces | publisher= Springer-Verlag, Berlin | series=Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. | isbn=978-3-540-00832-3 | id={{MathSciNet | id = 2030225}} | year=2004 | volume=4}}
*{{Citation| last1=Liedtke |first1=Christian|title=Algebraic Surfaces of general type with small c<sub>1</sub><sup>2</sup> in positive characteristic|journal=Nagoya Math. J.|volume=191|year=2008|pages=111–134|
url=http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.nmj/1221656783 }}
*{{Citation |doi=10.1007/BF02106598 |last1=Noether |first1 = Max| title=Zur Theorie der eindeutigen Entsprechungen algebraischer Gebilde|journal=Math. Ann.|volume=8 |issue=4| year=1875|pages=495–533}}

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