ネロン・セヴィリ群のソースを表示

{{要改訳}}
[[代数幾何学]]では、[[代数多様体]]の'''ネロン・セヴィリ群'''(Néron–Severi group)は、{{仮リンク|代数的同値関係|label=代数的同値|en|algebraic equivalence}}(algebraic equivalence)による因子群の同値類群のことをいう。言い換えると、ネロン・セヴィリ群は、多様体の[[ピカール群|ピカールスキーム]]の{{仮リンク|構成要素 (群論)|label=構成要素|en|Component (group theory)}}(components)のことをいう。ネロン・セヴィリ群のランクは、[[ピカール群|ピカール数]]と呼ばれる。この群の命名は、{{仮リンク|フランチェスコ・セヴィリ|en|Francesco Severi}}(Francesco Severi)と{{仮リンク|アンドレ・ネロン|en|André Néron}}(André Néron)にちなむ。
<!---In [[algebraic geometry]], the '''Néron–Severi group''' of a [[algebraic variety|variety]] is 
the group of divisors modulo [[algebraic equivalence]]; in other words it is the group of [[Component (group theory)|components]] of the [[Picard scheme]] of a variety. Its rank is called the [[Picard number]].  It is named after [[Francesco Severi]] and [[André Néron]].-->

==定義==
古典的代数幾何学の最も重要な場合で、[[非特異]]な{{仮リンク|完備多様体|en|complete variety}}(complete variety) V に対し、ピカールスキームの[[連結空間|連結成分]]は、[[アーベル多様体]]で
:Pic<sup>0</sup>(V)
と書かれ、商
:Pic(V)/Pic<sup>0</sup>(V)
もアーベル多様体 NS(V) と書いて、V の'''ネロン・セヴィリ群'''と呼ぶ。この群はネロン・セヴィリの定理により、[[アーベル群#有限アーベル群|有限生成アーベル群]]であり、セヴィリにより複素数体上で証明され、ネロンにより、より一般の体上で証明された。
<!---==Definition==
In the cases of most importance to classical algebraic geometry, for a [[complete variety]] ''V'' that is [[non-singular]], the [[connected space|connected component]] of the Picard scheme is an [[abelian variety]] written 

:Pic<sup>0</sup>(''V'')

and the quotient

:Pic(''V'')/Pic<sup>0</sup>(''V'')

is an abelian group NS(''V''), called the '''Néron–Severi group''' of ''V''. This is a [[finitely-generated abelian group]] by the Néron–Severi theorem, which was proved by Severi over the complex numbers and by Néron over more general fields.-->

言い換えると、ピカール群を含む次の系列は[[完全系列]]である。
:<math>1\to \mathrm{Pic}^0(V)\to\mathrm{Pic}(V)\to \mathrm{NS}(V)\to 0</math>
ランクが有限であることは、フランチェスコ・セヴィリの'''基底定理'''(theorem of the base)で、ランクは V の'''ピカール数'''であり、ρ(V) で表す。有限位数の要素はセヴィリ因子と呼ばれ、双有理不変量であり位数が'''セヴィリ数'''と名付けられた有限群を形成する。幾何学的には、NS(V) は V の[[因子 (代数幾何学)|因子]]の{{仮リンク|代数的同値|en|algebraic equivalence}}(algebraic equivalence)類である。すなわち、{{仮リンク|因子の一次系|en|linear equivalence of divisors}}(linear equivalence of divisors)のの代わりにより強い非線形関係を使い、分類は離散的不変量となり扱い易くなる。代数的同値は密接に{{仮リンク|数値的同値|en|numerical equivalence}}(numerical equivalence)と関係していて、[[交叉理論]]により本質的にはトポロジカルな分類となる。
<!---In other words the Picard group fits into an [[exact sequence]]

:<math>1\to \mathrm{Pic}^0(V)\to\mathrm{Pic}(V)\to \mathrm{NS}(V)\to 0</math>

The fact that the rank is finite is [[Francesco Severi]]'s '''theorem of the base'''; the rank is the '''Picard number''' of ''V'', often denoted ρ(''V''). The elements of finite order are called Severi divisors, and form a finite group which is a birational invariant and whose order is called the '''Severi number'''. Geometrically NS(''V'') describes the [[algebraic equivalence]] classes of [[divisor (algebraic geometry)|divisors]] on ''V''; that is, using a stronger, non-linear equivalence relation in place of [[linear equivalence of divisors]], the classification becomes amenable to discrete invariants. Algebraic equivalence is closely related to [[numerical equivalence]], an essentially topological classification by [[intersection number]]s.-->

==第一チャーン類と整数に値を持つ 2-コサイクル==
{{仮リンク|指数的な層系列|en|exponential sheaf sequence}}(exponential sheaf sequence)
:<math>0\to 2\pi i\mathbb Z \to \mathcal O_V\to\mathcal O_V^*\to 0</math> 
は、長完全系列
:<math>\cdots \to H^1(V, \mathcal O_V^*)\to H^2(V, \mathbb Z)\to H^2(V,\mathcal O_V)\to \cdots.</math> 
を導く．最初の矢印は[[ピカール群]]上の[[チャーン類|第一チャーン類]]である。
:<math>c_1 : \mathrm {Pic}(V)\to H^2(V, \mathbb Z).</math>
第二の矢印は、
:<math>\exp^* : H^2(V, 2i\pi \mathbb Z)\to H^2(V,\mathcal O_V)</math> 
を意味する。ネロン・セヴィリ群は第一チャーン類の像と同一視することができる。同値なことであるが、完全性により、第二の矢印 exp* の核(kernel)と同一視できる。

従って、複素数の場合、ネロン・セヴィリ群は、複素超曲面、つまり[[因子 (代数幾何学)#ヴェイユ因子|ヴェイユ因子]]により表現されるものの[[ポアンカレ双対]]である 2-コサイクルの群である。
<!---==First Chern class and integral valued 2-cocycles==
The [[exponential sheaf sequence]] 
:<math>0\to 2\pi i\mathbb Z \to \mathcal O_V\to\mathcal O_V^*\to 0</math> 
gives rise to a long exact sequence featuring 
:<math>\cdots \to H^1(V, \mathcal O_V^*)\to H^2(V, \mathbb Z)\to H^2(V,\mathcal O_V)\to \cdots.</math> 
The first arrow is the [[first Chern class]] on the [[Picard group]] 
:<math>c_1 : \mathrm {Pic}(V)\to H^2(V, \mathbb Z),</math>
and the second 
:<math>\exp^* : H^2(V, 2i\pi \mathbb Z)\to H^2(V,\mathcal O_V).</math> 
The Neron-Severi group can be identified with the image of the first Chern class, or equivalently, by exactness, as the kernel of the second arrow exp*. 

In the complex case, the Neron-Severi group is therefore the group of 2-cocycles whose [[Poincaré dual]] is represented by a complex hypersurface, that is, a [[Weil divisor]].-->

==参考文献==
*{{SpringerEOM|title=Néron–Severi group|author=V.A. Iskovskikh|urlname=Néron–Severi_group}}
*A. Néron,   ''Problèmes arithmétiques et géometriques attachée à la notion de rang d'une courbe algébrique dans un corps''  Bull. Soc. Math. France, 80  (1952)  pp.&nbsp;101–166
*A. Néron,   ''La théorie de la base pour les diviseurs sur les variétés algébriques'', Coll. Géom. Alg. Liège, G. Thone  (1952)  pp.&nbsp;119–126
* F. Severi,   ''La base per le varietà algebriche di dimensione qualunque contenute in una data e la teoria generale delle corrispondénze fra i punti di due superficie algebriche''  Mem. Accad. Ital., 5  (1934)  pp.&nbsp;239–283

{{DEFAULTSORT:ねろんてんせういりくん}}
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