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'''ネヴァンリンナ理論'''（{{lang-en|Nevanlinna theory}}）とは、[[複素解析]]の分野における理論で、[[有理型関数]]の理論の一部である。[[1925年]]に[[ロルフ・ネヴァンリンナ]]によって考案された。[[ヘルマン・ワイル]]はこれを「今世紀（20世紀）における数少ない数学的偉業のうちの一つ」と呼んでいる<ref name="weyl">{{cite book|author=H. Weyl| authorlink=Hermann Weyl|title=Meromorphic functions and analytic curves|publisher=[[Princeton University Press]]|year=1943|page=8}}</ref>。この理論は、方程式 ''f''(''z'') = ''a'' の解の漸近分布を ''a'' の変化として記述している。基本的なツールは、有理型関数の増加率を測定するネヴァンリンナ標数 ''T''(''r'', ''f'') である。

この理論の20世紀前半の他の主な貢献者には、[[ラース・ヴァレリアン・アールフォルス]]、{{仮リンク|アンドレ・ブロッホ (数学者)|en|André Bloch (mathematician)|label=アンドレ・ブロッホ}}、[[アンリ・カルタン]]、{{仮リンク|エドワード・コーリングウッド|en|Edward Collingwood}}、{{仮リンク|オットー・フロストマン|en|Otto Frostman}}、[[フリチオフ・ネヴァンリンナ]]、{{仮リンク|ヘンリック・セルバーグ|en|Henrik Selberg}}、[[清水辰次郎]]、[[オズヴァルト・タイヒミュラー]]、{{仮リンク|ジョルジュ・ヴァリロン|en|Georges Valiron}}がいる。元々の形式では、ネヴァンリンナ理論は、円盤 |''z''| ≤ ''R'' または[[複素平面]]全体 (''R''&nbsp;=&nbsp;∞) で定義された1つの複素変数の[[有理型関数]]を扱う。その後の一般化により、ネヴァンリンナ理論は、[[代数関数]]、{{仮リンク|正則曲線|en|Holomorphic curve}}、任意次元の[[複素多様体]]間の正則写像、{{仮リンク|準規則写像|en|Quasiregular map}}、[[極小曲面]]へと拡張された。

この項目では、主に複素平面上での有理型関数に重点を置き、1変数の有理型関数の古典的なバージョンを説明する。この理論の一般的な参照文献としては、Goldberg & Ostrovskii<ref name="GO">{{cite book | first=A.|last= Goldberg |first2=I.|last2= Ostrovskii | authorlink=Anatolii Goldberg | title=Distribution of values of meromorphic functions | publisher=[[American Mathematical Society]] | year=2008}}</ref>、Hayman<ref name="hayman">{{cite book | first=W.|last=Hayman | authorlink=Walter Hayman | title=Meromorphic functions | publisher=[[Oxford University press]] | year=1964}}</ref>、{{harvtxt|Lang|1987}}がある。

== ネヴァンリンナ標数 ==

=== ネヴァンリンナのオリジナルの定義 ===
''f'' を有理型関数とする。全ての ''r''&nbsp;≥&nbsp;0 について、 ''n''(''r'',''f'') を円盤 |''z''| ≤ ''r'' における有理型関数 ''f'' の極の数（多重度を数える）とすると、'''ネヴァンリンナ個数関数'''(Nevanlinna counting function)は次式で定義される。
: <math>  N(r,f) = \int_0^r\left( n(t,f) - n(0,f) \right)\dfrac{dt}{t} + n(0,f)\log r</math>

この量は、''r'' が増加するにつれて円盤 |''z''| ≤ ''r'' の極数の増加を測定する。明示的に、 ''a''<sub>1</sub>,&nbsp;''a''<sub>2</sub>,&nbsp;...,&nbsp;''a''<sub>''n''</sub> を、穴の開いた円盤 0 < |''z''| ≤ ''r'' における ''ƒ'' の極数を多重度に従って繰り返したものとすると、 ''n'' = ''n''(''r'',''f'') - ''n''(0,''f'') となり、
: <math>  N(r,f) = \sum_{k=1}^{n} \log \left( \frac{r}{|a_k|}\right) + n(0,f)\log r</math>
となる。

log<sup>+</sup>''x''&nbsp;=&nbsp;max(log&nbsp;''x'',&nbsp;0) とすると、'''近接関数'''(proximity function)は次式で定義される。
: <math> m(r,f)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\log^+ \left| f(re^{i\theta})\right| d\theta</math>

最後に、'''ネヴァンリンナ標数'''(Nevanlinna characteristic)を次式で定義する（有理型関数の[[イェンセンの公式]]を参照）。
: <math>T(r,f) = m(r,f) + N(r,f)</math>

=== アールフォルス＝清水のバージョン ===
ネバンリンナ標数を定義する第2の方法は、次式に基づく。
: <math> \int_0^r\frac{dt}{t}\left(\frac{1}{\pi}\int_{|z|\leq t}\frac{|f'|^2}{(1+|f|^2)^2}dm\right)=T(r,f)+O(1)</math>
ここで、 ''dm'' は平面内の面積要素である。この式の左辺は、アールフォルス＝清水標数(Ahlfors&ndash;Shimizu characteristic)と呼ばれている。境界項 ''O''(1) はほとんどの場合重要ではない。

アールフォルス＝清水標数の幾何学的な意味は次の通りである。内側の積分 ''dm'' は円盤のイメージの球面面積である |''z''| ≤ ''t'' の倍数を数える（つまり、[[リーマン面]]の ''k'' 回被覆された部分を ''k'' 回と数える）。この面積をリーマン面全体の面積である{{pi}}で割ったものが円盤の面積である。この結果は、リーマン面を円盤 |''z''| ≤ ''t'' で被覆している平均的な枚数と解釈することができ、この平均的な枚数を重み 1/''t'' で ''t'' に関して積分する。

=== 性質 ===
平面上の有理型関数の理論における標数関数の役割は、[[整関数]]の理論における
: <math>\log M(r, f) = \log \max_{|z|\leq r} |f(z)| \,</math>
と同様である。実際には、整関数に対して、全ての ''R''&nbsp;>&nbsp;''r'' について ''T''(''r'',''f'') と ''M''(''r'',''f'') を直接比較することができる。

: <math>T(r,f) \leq \log^+ M(r,f) \,</math>

and

: <math>\log M(r,f) \leq \left(\dfrac{R+r}{R-r}\right)T(R,f)</math>

''f'' が次数 ''d'' の[[有理関数]]である場合、 ''T''(''r'',''f'')&nbsp;~&nbsp;''d''&nbsp;log&nbsp;''r'' となり、実際、 ''f'' が有理関数のとき、かつそのときに限り、 ''T''(''r'',''f'')&nbsp;=&nbsp;''O''(log&nbsp;''r'') となる。

有理型関数の次数は次式で定義される。
: <math>\rho(f) = \limsup_{r \rightarrow \infty} \dfrac{\log^+ T(r,f)}{\log r}</math>

有限次数の関数は、多くの研究が行われた重要なサブクラスを構成している。

有理型関数が定義されている半径 ''R'' の円盤 |''z''| ≤ ''R'' が有限のとき、ネヴァンリンナ標数は[[有界]]である可能性がある。有界の標数を持つ円盤内の関数は、{{仮リンク|有界型|en|bounded type (mathematics)}}の関数としても知られているが、これは将に有界の解析関数の比である。有界型の関数は、[[上半平面]]のような別の領域に対しても定義されることがある。

== 第一基本定理 ==
''a''&nbsp;∈&nbsp;'''C''' とし、次式のように定義する。
: <math>
\quad N(r,a,f) = N\left(r,\dfrac{1}{f-a}\right),
\quad m(r,a,f) = m\left(r,\dfrac{1}{f-a}\right)</math>

ここで、 ''a''&nbsp;=&nbsp;∞ とすると、 ''N''(''r'',∞,''f'')&nbsp;=&nbsp;''N''(''r'',''f''), ''m''(''r'',∞,''f'')&nbsp;=&nbsp;''m''(''r'',''f'') となる。

ネヴァンリンナ理論の'''第一基本定理'''は、[[リーマン面]]の全ての ''a'' について、次のことを述べている。
: <math> T(r,f) = N(r,a,f)+m(r,a,f) + O(1),\,</math>

ここで、境界項 ''O''(1) は ''f'' と ''a'' に依存することがある<ref>Ru (2001) p.5</ref>。平面上の非定常な有理型関数の場合、 ''r'' が無限大になるにつれて ''T''(''r'',&nbsp;''f'') は無限大になるので、第一基本定理は、和 ''N''(''r'',''a'',''f'')&nbsp;+&nbsp;''m''(''r'',''a'',''f'') が ''a'' に依存しない速度で無限大になることを述べている。第一基本定理は、[[イェンセンの公式]]の単純な帰結である。

標数関数は、次のような性質を持っている。
: <math>\begin{array}{lcl}
T(r,fg)&\leq&T(r,f)+T(r,g)+O(1),\\
T(r,f+g)&\leq& T(r,f)+T(r,g)+O(1),\\
T(r,1/f)&=&T(r,f)+O(1),\\
T(r,f^m)&=&mT(r,f)+O(1), \,
\end{array}</math>

ここで、 ''m'' は自然数である。 ''T''(''r'',''f'') が無限大に傾いているとき、境界項 ''O''(1) は無視できる値である。これらの代数的性質はネヴァンリンナの定義とイェンセンの公式から簡単に得られる。

== 第二基本定理 ==
{{overline|''N''}}(''r'',&nbsp;''f'') を ''N''(''r'',''f'') と同じように定義するが、多重度は考慮しない（すなわち、異なる極の数だけを数える）。すると、''N''<sub>1</sub>(''r'',''f'') は，''f'' の臨界点のネヴァンリンナ個数関数として次式のように定義される。
: <math> N_1(r,f) = 2N(r,f) - N(r,f') + N\left(r,\dfrac{1}{f'}\right) = N(r,f) + \overline{N}(r,f) + N\left(r,\dfrac{1}{f'}\right)</math>

第二基本定理は、リーマン面上の ''k'' 個の異なる値 ''a''<sub>''j''</sub> について、次のことを示す。
: <math> \sum_{j=1}^k m(r,a_j,f) \leq 2 T(r,f) - N_1(r,f) + S(r,f). \,</math>

これは、次のことを意味する。
: <math> (k-2)T(r,f) \leq \sum_{j=1}^k \overline{N}(r,a_j,f) + S(r,f)</math>

ここで、 ''S''(''r'',''f'') は誤差項である。

平面上の有理型関数については、有限長の集合の外では、S(r,f) = o(T(r,f)) すなわち誤差項は、「ほとんどの」 ''r'' の値の標数に比べて小さい。もっと良い誤差項の推定値が知られているが、アンドレ・ブロッホが予想し、ヘイマンが例外的な集合を処分できないことを証明した。

第二基本定理では、 ''N''(''r'',''a'') の観点から標数関数の上限を与えることができる。例えば、 ''f'' が超越的な整関数である場合、 ''k''&nbsp;=&nbsp;3 、''a''<sub>3</sub>&nbsp;=&nbsp;∞ として第二基本定理を用いると、 ''f'' は、最大でも2つの例外を除いて、全ての値を無限に取ることが得られ、[[ピカールの定理]]が証明される。

第二基本定理のネヴァンリンナによる元の証明は、 ''m''(''r'',''f'''/''f'')&nbsp;=&nbsp;''S''(''r'',''f'') であるという、いわゆる[[対数微分]]に関するレンマに基づいている。同様の証明は、多くの多次元一般化にも適用される。また、[[ガウス・ボネの定理]]に関連する微分幾何学的証明もある。第二基本定理は計量位相論的な{{仮リンク|アールフォルス理論|en|Ahlfors theory}}からも導き出されるが、これは[[リーマン・フルヴィッツの公式]]を無限次の被覆に拡張したものと考えることができる。

ネヴァンリンナとアールフォルスの証明は、第二基本定理の定数 2 がリーマン面の[[オイラー標数]]に関係していることを示している。しかし、この 2 については、チャールズ・オスグッドと{{仮リンク|ポール・ヴォイタ|en|Paul Vojta}}によって発見された数論との深い類推に基づいた全く異なる説明がある。この類推によれば、 2 は[[トゥエ・ジーゲル・ロスの定理]]の指数である。この数論との類推については、{{harvtxt|Lang|1987}}の調査と{{harvtxt|Ru|2001}}の本を参照のこと。

== 欠陥関係 ==
欠陥関係(defect relation)は、第二基本定理の主要な従属関係の一つである。点 ''a'' における有理型関数の欠陥は、次の式で定義される。
: <math> \delta(a,f)=\liminf_{r \rightarrow \infty}\frac{m(r,a,f)}{T(r,f)} = 1 - \limsup_{r \rightarrow \infty} \dfrac{N(r,a,f)}{T(r,f)}</math>

第一基本定理では、 ''T''(''r'',''f'') が無限大になる場合、 0&nbsp;&le;&nbsp;''δ''(''a'',''f'')&nbsp;&le;&nbsp;1 となる（これは平面上で有理型化する不変関数の場合には常にそうなる）。 ''δ''(''a'',''f'')&nbsp;>&nbsp;0 となる点 ''a'' を欠陥値(deficient values)と呼ぶ。第二基本定理は、平面内の有理型関数の欠損値の集合は[[可算集合]]であり、次の関係が成り立つことを暗示している。
: <math> \sum_{a}\delta(a,f)\leq 2</math>
ここで、和は全ての欠陥値を含む<ref>Ru (2001) p.61</ref>。これは[[ピカールの定理]]の一般化と考えることができる。他の多くのピカール型定理は第二基本定理から派生することができる。

第二基本定理のもう一つの補論として，次のように求めることができる。
: <math> T(r,f')\leq 2 T(r,f)+S(r,f)</math>

これは、次数 ''d'' の有理関数が 2''d''&nbsp;&minus;&nbsp;2&nbsp;<&nbsp;2''d'' の臨界点を持つという事実を一般化したものである。

== 応用 ==
ネヴァンリンナ理論は、[[微分方程式]]や[[関数方程式]]<ref name="laine">{{cite book|author=Ilpo Laine|title=Nevanlinna theory and complex differential equations|publisher=[[Walter de Gruyter]]|location=Berlin|year=1993}}
</ref><ref name="erem">{{cite journal|first=A.|last=[[Alexandre Eremenko|Eremenko]]|title=Meromorphic solutions of algebraic differential equations|doi=10.1070/RM1982v037n04ABEH003967|journal= Russian Mathematical Surveys|volume=37|issue=4|year=1982|pages=61&ndash;95|citeseerx=10.1.1.139.8499|bibcode=1982RuMaS..37...61E}}</ref>の[[複素力学系|正則力学系]]の解析理論、[[極小曲面]]、ピカールの定理の高次元への一般化を扱う複素双曲幾何学のように、超越的な有理型関数が発生する全ての問題に有用である<ref>{{harvtxt|Lang|1987}} p.39</ref>。

== さらなる発展 ==
20世紀の単変数の複素関数に関する研究のほとんどが、ネヴァンリンナ理論に焦点が当てられていた。この研究の一つの方向性は、ネヴァンリンナ理論の主要な結論が最良のものであるかどうかを見出すことであった。例えば、ネヴァンリンナ理論の[[逆問題]]は、与えられた点であらかじめ割り当てられた欠陥を持つ有理型関数を構築することからなる。これは1976年に{{仮リンク|デイビット・ドラシン|en|David Drasin}}によって解かれた<ref>{{cite journal | last=Drasin | first=David | title=The inverse problem of the Nevanlinna theory | journal=[[Acta Math.]] | volume=138 | year=1976 | pages=83–151 | mr=0585644 | doi=10.1007/BF02392314 | issue=1| doi-access=free }}</ref>。もう一つの方向性は、平面上の全ての有理型関数のクラスの様々なサブクラスの研究に集中していた。最も重要なサブクラスは有限次数の関数である。このクラスでは、欠陥関係に加えて、欠陥がいくつかの制限を受けることが判明した（[[:en:Norair Arakelyan|Norair Arakelyan]]、デイビット・ドラシン、[[:de:Albert Edrei]]、{{仮リンク|アレクサンドル・エレメンコ|en|Alexandre Eremenko}}、{{仮リンク|ヴォルフガング・フックス|en|Wolfgang Heinrich Johannes Fuchs}}、{{仮リンク|アナトリー・ゴルドベルク|en|Anatolii Goldberg}}、{{仮リンク|ウォルター・ヘイマン|en|Walter Hayman}}、Joseph Miles、Daniel Shea、[[オズヴァルト・タイヒミュラー]]、Alan Weitsmanら）。

[[アンリ・カルタン]]、[[ヘルマン・ワイル]]、ヨアキム・ワイル<ref name="weyl" />、[[ラース・ヴァレリアン・アールフォルス]]は、ネヴァンリンナ理論を{{仮リンク|正則曲線|en|holomorphic curve}}に拡張した。この拡張は、複素双曲幾何学の主要なツールである<ref>{{harvtxt|Lang|1987}} ch.VII</ref>。{{仮リンク|ヘンリック・セルバーグ|en|Henrik Selberg}}と{{仮リンク|ジョルジュ・ヴァリロン|en|Georges Valiron}}はネヴァンリンナ理論を{{仮リンク|代数型関数|en|algebroid function}}に拡張した<ref>{{cite news|first=G. |last= Valiron|title=Sur la dérivée des fonctions algébroïdes|journal= Bull. Soc. Math. France|year=1931|pages=17–39|volume=59}}</ref>。古典的な一次元理論の集中的な研究は今も続いている<ref name="el">[[Alexandre Eremenko|A. Eremenko]] and J. Langley(2008).[[arxiv:0801.0692|Meromorphic functions of one complex variable. A survey]], appeared as appendix to {{cite book |first=A. |last=Goldberg |first2=I. |last2=Ostrovskii |authorlink=Anatolii Goldberg |title=Distribution of values of meromorphic functions |publisher=[[American Mathematical Society]] |year=2008}}</ref>。

== 関連項目 ==
* [[ヴォイタ予想]]

== 脚注 ==
{{Reflist}}
* {{cite book | first=Serge | last=Lang | authorlink=Serge Lang | title=Introduction to complex hyperbolic spaces | publisher=[[Springer-Verlag]] | place=New York | year=1987 | isbn=978-0-387-96447-8 | zbl=0628.32001 | ref=harv}}
* {{cite book | first=Serge |last= Lang | authorlink=Serge Lang | title=Survey of Diophantine geometry | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=1997 | isbn=978-3-540-61223-0 | pages=192–204 | zbl=0869.11051 }}
* {{Citation | last1=Nevanlinna | first1=Rolf | title=Zur Theorie der Meromorphen Funktionen | year=1925 | journal=[[Acta Mathematica]] | issn=0001-5962 | volume=46 | issue=1–2 | pages=1–99 | doi=10.1007/BF02543858| doi-access=free }}
* {{Citation | last1=Nevanlinna | first1=Rolf | title=Analytic functions | origyear=1936 | url=https://books.google.com/books?id=LDLvAAAAMAAJ | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften |mr=0279280 | year=1970 | volume=162}}
* {{cite book | title=Nevanlinna Theory and Its Relation to Diophantine Approximation | first=Min |last=Ru | publisher=World Scientific Publishing | year=2001 | isbn=978-981-02-4402-6 | ref=harv}}

== 関連文献 ==
* {{cite book | first1=Enrico | last1=Bombieri | authorlink1=Enrico Bombieri | first2=Walter | last2=Gubler | title=Heights in Diophantine Geometry | series=New Mathematical Monographs | volume=4 | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=2006 | isbn=978-0-521-71229-3 | chapter=13. Nevanlinna Theory | pages=444–478 | zbl=1115.11034 }}
* {{cite book | first=Paul | last=Vojta | authorlink=Paul Vojta | title=Diophantine Approximations and Value Distribution Theory | series=Lecture Notes in Mathematics | volume=1239 | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=1987 | isbn=978-3-540-17551-3 | zbl=0609.14011 }}
* {{cite book | first=Paul | last=Vojta | authorlink=Paul Vojta | chapter=Diophantine approximation and Nevanlinna theory | editor1-last=Corvaja | editor1-first=Pietro | editor2-last=Gasbarri | editor2-first=Carlo | title= Arithmetic geometry. Lectures given at the C.I.M.E summer school, Cetraro, Italy, September 10--15, 2007 | location=Berlin | publisher=[[Springer-Verlag]] | series=Lecture Notes in Mathematics | volume=2009 | pages=111–224 | year=2011 | isbn=978-3-642-15944-2 | zbl=1258.11076 }}

== 外部リンク ==
* {{SpringerEOM|title=Value-distribution theory|id=Value-distribution_theory|first=V.P.|last=Petrenko}}
* {{SpringerEOM|title=Nevanlinna theorems|id=Nevanlinna_theorems|first=V.P.|last=Petrenko}}


{{デフォルトソート:ねうあんりんなりろん}}
[[Category:有理型関数]]
[[Category:ロルフ・ネヴァンリンナ]]
[[Category:数学のエポニム]]
[[Category:数学に関する記事]]