ネーターの定理のソースを表示

{{otheruses}}
物理学において、'''ネーターの定理'''（ネーターのていり、{{lang-en-short|Noether's theorem}}）は、[[系 (自然科学)|系]]に連続的な[[対称性]]がある場合はそれに対応する[[保存則]]が存在すると述べる[[定理]]である。

[[ドイツ]]の数学者[[エミー・ネーター]]によって[[1915年]]に証明され、[[1918年]]に公表された。

== 概説 ==
[[解析力学]]や[[場]]の理論における重要な定理である。

系がある変換に対して記述に変化を受けない場合、その変換をその系の対称性と呼ぶ。特に解析力学においては、変換に対して系の[[作用積分]]が変化しない場合に、この変換を対称性と呼ぶ。
これは、系の[[運動方程式]]は[[最小作用の原理]]を通じて定まるため、[[作用 (物理学)|作用]]の[[変分]]がゼロであれば系の運動方程式は変化しないためである。
ネーターの定理は、[[ラグランジアン]]の変数に対する''連続的な''変換が系の対称性になっている場合に、{{疑問点範囲|date=2021年8月|対称性の下での作用の変分がある保存量の時間についての[[全微分]]になる}}という定理である。

=== 解析力学におけるネーターの定理 ===

==== ラグランジュ力学によるネーターの定理 ====
以下ではラグランジュ形式の解析力学で記述される系を考える。
q = (q<sub>1</sub>,...,q<sub>n</sub>) を[[一般化座標]]とし、
{{Indent|
<math>L(q,\dot{q},t)</math>
}}
を系のラグランジアンとする。
作用積分
{{Indent|
<math>S[q]=\int_{t_I}^{t_F} \mathrm{d}t\, L(q,\dot{q},t)</math>
}}
が微小変換
{{Indent|
<math>t \to t'=t +\delta t,~
q^i \to q'^i=q^i +\delta q^i</math>
}}
に対して対称性を持つとする。
ここで、この変換は幾つかの[[パラメータ]]の[[線型結合]]で書けるとする。
{{Indent|
<math>\delta t=\epsilon_r T_r,\quad
\delta q^i=\epsilon_r Q_r^i</math>
}}
但し、重複する添え字記号については、[[アインシュタインの記法]]に従い、和をとるものとする。
このとき、
{{Indent|
<math>X_r = \left(
 \frac{\partial L}{\partial\dot{q}^i}\dot{q}^i -L
 \right) T_r -\frac{\partial L}{\partial\dot{q}^i} Q_r^i</math>
}}
は保存量
{{Indent|
<math>\frac{\mathrm{d}X_r}{\mathrm{d}t} =0</math>
}}
となり、この保存量は[[ポアソン括弧]]により微小変換
{{Indent|
<math>\{ X_r, t \} = T_r,~
\{ X_r, q^i \} = Q_r^i</math>
}}
を定める。
<!-- 記述が不正確。系がq方向の移動で不変であることは。Lがqに依存しない事を意味しない。

==== ネーターの定理の背後にある直観 ====
ラグランジアン''L'' で書かれた系が''q'' の第''i'' 成分 ''q''<sub>i</sub>方向の移動に対して不変である場合を考察する事で、
ネーターの定理の直観的な意味とその証明のアイデアとを見る。

系が''q''<sub>i</sub>方向の移動に対して不変であるという事は、そもそも''L'' が''q''<sub>i</sub>に依存していない事を意味するであろう。
よって
{{Indent|
<math>\frac{\partial L}{\partial q_i}=0</math> ...(1)
}}
が成り立つ。
一方[[オイラー＝ラグランジュの方程式]]から
{{Indent|
<math>\frac{\partial L}{\partial q_i}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\right)=0</math> ...(2)
}}
(1)、(2)より、
{{Indent|
<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\right)=0</math>、
}}
すなわち
{{Indent|
<math>\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} = \mathrm{const.}</math>
}}
以上の議論をまとめると、
「''q''<sub>i</sub>方向への移動」という変換に対する系の不変性から
「<math>\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}</math>」という物理量が保存されるという結論が得られた事になる。
（なお、<math>\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}</math>はその定義より<math>q_i</math>に対応する一般化運動量<math>p_i</math>である。）

ネーターの定理はこの事実を一般化したものであり、
変換に対する系の不変性から系の保存量を導く。
より詳しく言うと、ネーターの定理では
 パラメータε<sub>r</sub> (r=1,...,l) で特徴付けられる変換の下で系が不変である ...(3)
という条件下保存量を見つける。

証明のアイデアを述べると、任意の r に対し作用 S が
{{Indent|
<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\epsilon_r}S =0</math> ...(1)'
}}
を満たす事が(3)から言えるので、(1)の代わりに(1)'を(2)と組み合わせる事でネーターの定理が結論づけられる。
-->
==== ハミルトン力学によるネーターの定理 ====
ハミルトン力学においてネーターの定理は次のように表現される。<blockquote>'''ハミルトニアンがある微少変換 <math>\delta</math>について不変であれば <math>\delta</math>の生成子 <math>G_{\delta}</math>は時間不変である。'''</blockquote>ここで <math>\delta</math>の生成子 <math>G_{\delta}</math>とは、<math>\delta</math>によるベクトル <math>(q^i,p^i)</math>の増分 <math>\delta (q^i,p^i)</math>が

:<math>\delta (q^i,p^i) = 
\left(
\frac{\partial G_{\delta}}{\partial p^i},
-\frac{\partial G_{\delta}}{\partial q^i}
\right)</math>

と表すことのできる量である。この定義から、

ある観測量 <math>A(q^i,p^i)</math>の <math>\delta</math>による変化 <math>\delta A(q^i,p^i)</math>は<math>A</math>と<math>G_{\delta}</math>のポアソン括弧により表される。

:<math>\delta A(q^i,p^i)
= 
\nabla A \cdot \delta (q^i,p^i)
=
\nabla A \cdot 
\left(
\frac{\partial G_\delta}{\partial p^i},
- \frac{\partial G_\delta}{\partial q^i}
\right)
=
\left( 
\frac{\partial A}{\partial q^i}
\frac{\partial G_\delta}{\partial p^i}
-
\frac{\partial A}{\partial p^i}
\frac{\partial G_\delta}{\partial q^i}
\right)
=
\{A,G_{\delta}\}</math>

ハミルトニアンが微少変換 <math>\delta</math>について不変ならば、<math>\delta H(q^i,p^i) = \{H,G_{\delta}\}=0</math>が成り立つ。ポアソン括弧の歪対称性より

:<math>\{H,G_{\delta}\}  = - \{G_{\delta},H\} = - \frac{\mathrm{d}G_{\delta}}{\mathrm{d}t} = 0</math>

よって <math>G_{\delta}</math>は時間不変である。

<math>\left( 
\frac{\partial A}{\partial p^i},
-\frac{\partial A}{\partial q^i}
\right)</math>
は位相空間上のAの等高線に沿ったベクトルと考えることができる。これを「<math>A</math>が生み出す流れ」と呼ぶと、ポアソン括弧<math>\{A,B\} </math>は、「Bが生み出す流れに沿ったAの変化」と考えることができる。ネーターの定理の一般化は次のようになる。<blockquote><math>\{A,B\}=0 </math>ならば、<math>\{B,A\}=0 </math></blockquote>もしくは<blockquote>'''AがBの生み出す流れについて不変であるとき、BもAの生み出す流れについて不変である。'''</blockquote>ハミルトニアンHは時間変化の生成子であるため、もしHがある観測量Aの生み出す流れについて不変であれば、

AはHの生み出す流れ、つまり時間について不変である。

===== 例１：運動量 =====
:<math>G_\delta=\epsilon^i p^i</math>とすると、<math>\delta A = \epsilon^i \{A,p^i\}
= \epsilon^i \frac{\partial A}{\partial q^i }</math>

:<math>A(q^i,p^i) \rightarrow A(q^i,p^i) + 
\epsilon^i \frac{\partial A}{\partial q^i}
= A(q^i+\epsilon^i,p^i)</math>

よって運動量は空間並進の生成子である。

===== 例２：角運動量 =====
:<math>G_\delta=\varepsilon_{ijk} \epsilon^i p^j q^k</math>とすると、<math>\begin{align}
\delta A &= \varepsilon_{ijk}\epsilon^i \{A,p^j q^k\}
= \varepsilon_{ijk} \epsilon^i
\left( 
\frac{\partial A}{\partial q_\alpha}
\frac{\partial p_j q_k}{\partial p_\alpha}
-
\frac{\partial A}{\partial p_\alpha}
\frac{\partial p_j q_k}{\partial q_\alpha}
\right) \\
&=
\varepsilon_{ijk} \epsilon^i
\left(
\frac{\partial A}{\partial q_j} q_k - 
\frac{\partial A}{\partial p_k} p_j
\right)
=
\varepsilon_{ijk} \epsilon^i
\left(
\frac{\partial A}{\partial q_j} q_k + 
\frac{\partial A}{\partial p_j} p_k
\right)
\end{align}
</math>

ここで <math>\varepsilon_{ijk} </math>は [[エディントンのイプシロン|レヴィ=チヴィタ記号]]である。

<math>A(q^i,p^i) \rightarrow 
A(q^i,p^i) + 
\varepsilon_{ijk} \epsilon^i
\left(
\frac{\partial A}{\partial q_j} q_k + 
\frac{\partial A}{\partial p_j} p_k
\right)
=
A(R^{ij} q^j+,R^{ij} p^j)</math>

ここで<math>R^{ij}</math>は無限小回転である。よって角運動量は空間回転の生成子である。

===== 例３：エネルギー =====
<math>G_\delta = \epsilon H</math>とすると、<math>\delta A = \{A,\epsilon H\} = \epsilon \frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t}</math>

<math>A(q^i,p^i) \rightarrow 
A(q^i,p^i) + \epsilon \frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t}
= A(q^i(t+\epsilon),p^i(t+\epsilon))
</math>

よってエネルギーは時間並進の生成子である。

=== 場の理論におけるネーターの定理 ===
場の量を扱う場の解析力学や[[場の量子論]]においても、対称性は基本的な概念であり、ネーターの定理がしばしば応用される。ネーターの定理によって導かれる保存則に登場する'''ネーターカレント'''や、'''ネーターチャージ'''は特に重要な概念になっている。

力学変数として場 <math>\phi(x)</math> を考え、作用積分を
{{Indent|
<math>S[\phi] = \int_\Omega \mathrm{d}^4x\, \mathcal{L}(\phi,\partial\phi,x)</math>
}}
とする。

系が[[座標]]と場との微小変換
{{Indent|
<math>x^\mu \to x'^\mu = x^\mu +\delta x^\mu</math>
}}
{{Indent|
<math>\phi_i(x) \to \phi'_i(x') = \phi_i(x) +\delta \phi_i(x)</math>
}}
に対して対称性をもち、この変換の下で作用が不変であるとする。

このとき、'''ネーターカレント'''
{{Indent|
<math>j^\mu \equiv \biggl(
 \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi_i)} \partial_\nu\phi_i
 -\delta_\nu^\mu\mathcal{L} \biggr) \delta x^\nu
 -\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi_i)} \delta \phi_i</math>
}}
が保存し、[[連続の方程式]]
{{Indent|
<math>\partial_\mu j^\mu =0</math>
}}
を満たす。

<math>\delta\phi</math>は場自身の変換だけでなく、座標の変換も含んでいる。
現代的な見方では、場の変分として、同一座標値での差を取った[[リー微分]] <math>\delta_\epsilon\phi(x)</math> で記述すると都合がよい。
{{Indent|
<math>\delta_\epsilon \phi_i(x)
 \equiv \phi'(x) -\phi(x)
 = \delta\phi_i(x) - \delta x^\mu \partial_\mu\phi_i</math>
}}

このとき、ネーターカレントは
{{Indent|
<math>j^\mu = -\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi_i)}
 \delta_\epsilon \phi_i -\mathcal{L} \delta x^\mu</math>
}}
となる。

特に微小変換が次のようなパラメータの線型結合
{{Indent|
<math>\delta x^\mu = \epsilon^a X^{a\mu}(x)</math>
}}
{{Indent|
<math>\delta_\epsilon \phi_i(x) =\epsilon^a \delta^a\phi_i(x)</math>
}}
で書かれている場合には、ネーターカレントはパラメータの成分毎に
{{Indent|
<math>j^{a\mu} \equiv -\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi_i)}
 \delta^a \phi_i -\mathcal{L} X^{a\mu}</math>
}}
と書くことができて、それぞれに[[連続の方程式]]
{{Indent|
<math>\partial_\mu j^{a\mu} =0</math>
}}
を満たす。

ネーターカレントの時間成分を空間積分した
{{Indent|
<math>Q^a \equiv \int \mathrm{d}^3\mathbf{x}\, j^{0a}</math>
}}
は'''ネーターチャージ'''と呼ばれる。
これは微小変換の[[リー群#指数写像|生成子]](無限小生成作用素)
{{Indent|
<math>[iQ^a, \phi_i(x)]=\delta^a\phi_i(x)</math>
}}
となる。

==例==
=== 場の理論における例 ===
==== 時空の並進対称性 ====
座標変換において、無限小の平行移動を考える。
{{Indent|
<math>x^\mu \to x'^\mu = x^\mu +\epsilon^\mu</math>
}}
（<math>\delta x^\mu = \epsilon^\mu</math>である。）
これに付随する場の無限小変換は
{{Indent|
<math>\phi_i(x) \to \phi'_i(x') = \phi_i(x)</math>
}}
であり、ネーターカレントは
{{Indent|
<math>T^\mu_\nu= \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi_i)}
 \partial_\nu\phi_i - \delta^\mu_\nu \mathcal{L}</math>
}}
となる。この <math>T^\mu_\nu</math> は'''[[エネルギー・運動量テンソル]]'''である。
保存則は
{{Indent|
<math> \partial_\mu T^\mu_\nu =0 </math>
}}
であり、エネルギーと運動量の保存則を表している。
対応するネーターチャージ
{{Indent|
<math>P_\nu =\int \mathrm{d}^3x\, T^0_\nu</math>
}}
はエネルギー並びに運動量であり、時空の併進の生成子
{{Indent|
<math>[P_\mu, \phi_i(x)] = i\partial_\mu\phi_i(x)</math>
}}
となる。

==== ローレンツ変換 ====
無限小[[ローレンツ変換]]
{{Indent|
<math>x^\mu \to x'^\mu = x^\mu +\epsilon^\mu{}_\nu x^\nu
 = x^\mu +\tfrac{1}{2}(\epsilon^{\mu\nu}-\epsilon^{\nu\mu})x_\nu</math>
}}
を考える。これに付随する場の無限小変換は
{{Indent|
<math>\phi_i(x) \to \phi'_i(x') = \phi_i(x)
 -\tfrac{i}{2}\epsilon^{\mu\nu} (S_{\mu\nu})_i{}^j \phi_j(x)
</math>
}}
を考える。ここで、行列 <math>S_{\mu\nu}</math> は
{{Indent|
<math>(S_{\mu\nu})_i{}^j =
\left\{\begin{array}{ll}
 0 & (\text{sclar}) \\
 i(g_{\mu i}\delta_\nu^j-g_{\nu i}\delta_\mu^j)
 & (\text{vector}) \\
 \frac{i}{4}(\gamma_{\mu}\gamma_{\nu}-\gamma_{\nu}\gamma_{\mu})_i{}^j \quad
 & (\text{spinor}) \\
\end{array} \right.
</math>
}}
で定義される場の[[スピン角運動量|スピン]]である。<math>\gamma_\mu</math> は[[ガンマ行列]]である。

このとき、ネーターカレントは
{{Indent|
<math>M^\mu_{\nu\rho} = x_\nu T^\mu_\rho -x_\rho T^\mu_\nu
 -i\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi_i)}
 (S_{\nu\rho})_i{}^j \phi_j 
</math>
}}
となる。この <math>M^\mu_{\nu\rho}</math> を'''角運動量密度'''という。
<math>M^\mu_{\nu\rho}</math> は &nu;,&lambda; について反対称である。
保存則は
{{Indent|
<math>\partial_\mu M^\mu_{\nu\rho} = 0</math>
}}
であり、角運動量の保存則を表している。
対応するネーターチャージ
{{Indent|
<math>M_{\nu\rho} =\int \mathrm{d}^3x\, M^0_{\nu\rho}</math>
}}
は角運動量とブースト演算子となる。

==== 位相変換 ====
複素場を考えて場の位相を変える変換を考える。
{{Indent|
<math>\phi_i(x) \to \phi_i(x) -ie\epsilon\phi_i(x),~
\bar{\phi}_i(x) \to \bar{\phi}_i(x) +ie\epsilon\bar{\phi}_i(x)</math>
}}
このとき、ネーターカレントは
{{Indent|
<math>j^\mu = ie \left(
 \bar{\phi}_i \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\bar{\phi}_i)}
 -\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi_i)} \phi_i
 \right)</math>
}}
となる。これは[[4元電流密度]]である。保存則は
{{Indent|
<math>\partial_\mu j^\mu=0</math>
}}
であり、電荷の保存則を表している。
対応するネーターチャージ
{{Indent|
<math>Q = \int \mathrm{d}^3x\, j^0</math>
}}
は電荷である。

== 導出 ==
力学変数 <math>q^i(t)</math> がラグランジュ方程式
{{Indent|
<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial\dot{q}^i}
 -\frac{\partial L}{\partial q^i}=0</math>
}}
を満たしているとする。

微小変換
{{Indent|
<math>t \to t'=t+\epsilon T(t)</math>
}}
{{Indent|
<math> \begin{align}
q^i(t) \to q^i_\epsilon(t')
 & =q^i(t) +\epsilon Q^i(q(t), t) \\
 & =q^i(t'-\epsilon T) +\epsilon Q^i(q(t'-\epsilon T), t'-\epsilon T) \\
\end{align} </math>
}}
を考える。

このとき、系が対称性を持つとは、作用積分
{{Indent|
<math>S[q_\epsilon] = \int_{t_I+\epsilon T}^{t_F+\epsilon T}
 \!\!\!\!\! \mathrm{d}t'\, L(q_\epsilon(t'),\dot{q}_\epsilon(t'),t')
</math>
}}
を <math>\epsilon</math> の関数としてみたとき、
{{Indent|
<math>\frac{\mathrm{d}S[q_\epsilon]}{\mathrm{d}\epsilon}\bigg|_{\epsilon=0}=0</math>
}}
となることである。

この微分を計算すると、
{{Indent|
<math>\frac{\mathrm{d}S[q_\epsilon]}{\mathrm{d}\epsilon}\bigg|_{\epsilon=0}
 = \Big[ L(q(t),\dot{q}(t),t)\, T(t) \Big]_{t_I}^{t_F}
 + \int_{t_I}^{t_F} \mathrm{d}t\, \biggl[
 \frac{\partial L}{\partial q^i}\frac{\mathrm{d}q^i_\epsilon}{\mathrm{d}\epsilon}\bigg|_{\epsilon=0}
 +\frac{\partial L}{\partial\dot{q}^i}\frac{\mathrm{d}\dot{q}^i_\epsilon}{\mathrm{d}\epsilon}\bigg|_{\epsilon=0}
 \biggr]
</math>
}}
である。運動方程式を用いれば、
{{Indent|
<math>\frac{\partial L}{\partial q^i}
 \frac{\mathrm{d}q^i_\epsilon}{\mathrm{d}\epsilon}\bigg|_{\epsilon=0}
 +\frac{\partial L}{\partial\dot{q}^i
 }\frac{\mathrm{d}\dot{q}^i_\epsilon}{\mathrm{d}\epsilon}\bigg|_{\epsilon=0}
 =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\biggl( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i}
 \frac{\mathrm{d}q^i_\epsilon}{\mathrm{d}\epsilon} \bigg|_{\epsilon=0} \biggr)
</math>
}}
となる。また、
{{Indent|
<math>\frac{\mathrm{d}q^i_\epsilon}{\mathrm{d}\epsilon}\bigg|_{\epsilon=0}
 = -\dot{q}^i T(t) +Q^i(q(t), t)</math>
}}
から、
{{Indent|
<math>\frac{\mathrm{d}S_\epsilon}{\mathrm{d}\epsilon}\bigg|_{\epsilon=0}
 = \biggl[\Bigl(L-\frac{\partial L}{\partial\dot{q}^i}\dot{q}^i \Bigr) T(t)
 +\frac{\partial L}{\partial\dot{q}^i} Q^i(q(t), t) \biggr]_{t_I}^{t_F}
 = 0</math>
}}
従って、
{{Indent|
<math>\Bigl(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}^i}\dot{q}^i-L \Bigr) T(t)
 -\frac{\partial L}{\partial\dot{q}^i} Q^i(q(t), t)</math>
}}
が保存する。

[[ハミルトニアン]]を用いれば
{{Indent|
<math>H(p,q,t) T(t) -p_i Q^i(q(t),t)</math>
}}
と書けて、[[ポアソン括弧]]を用いれば
{{Indent|
<math>\{ HT-p_iQ^i, t \} = T,~
\{ HT-p_iQ^i, q^j \} = Q^j</math>
}}
を得る。
<!--
== 脚注 ==
<references/>-->

==参考文献==
{{参照方法|date=2023年9月}}
;原論文
*E. Noether, ''Nachr. Ges. Wiss. Gottingen'', 235 (1918)[http://cwp.library.ucla.edu/articles/noether.trans/german/emmy235.html]
*F. Klein, ''Nachr. Ges. Wiss. Gottingen'', 171 (1918)
*E. Bessel-Hagen, ''Math. Ann.'', '''84''', 258 (1921) {{doi|10.1007/BF01459410}}
;関連論文
*E. L. Hill, ''Rev. Mod. Phys.'', '''23''', 253 (1951) {{doi|10.1103/RevModPhys.23.253}}

== 関連項目 ==
* [[対称性 (物理学)|対称性]]
* [[保存則]]
* [[チャージ (物理学)|チャージ]]
* [[シンプレクティック幾何学]]

{{DEFAULTSORT:ねえたたのていり}}
[[Category:物理学の定理]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:物理学]]
[[Category:保存則]]
[[Category:対称性]]
[[Category:物理学のエポニム]]
[[Category:数学のエポニム]]