ネーター環のソースを表示

[[数学]]において'''ネーター環'''（ネーターかん、{{lang-en-short|Noetherian ring}}）は、[[イデアル]]の[[昇鎖条件]]などのある種の有限性を持つ[[環 (数学)|環]]の一種。[[エミー・ネーター]]によって提唱された。すべてのイデアルは[[イデアル (環論)#イデアルの生成|有限生成]]という条件から[[単項イデアル整域]]の一般化と見ることもできる。

== 定義 ==
環に対して、以下の 3 条件は[[ZFC公理系]]のもとで[[同値]]である。
#（昇鎖条件）：左イデアルの任意の昇鎖列は有限回で停止する。
#（極大条件）：左イデアルの空でない任意の族は包含関係に関する[[極大元]]を持つ。
#（有限型条件）：任意の左イデアルは[[有限生成イデアル|有限生成]]。
これらの条件のどれか一つ、従って全部を満たす環は'''左ネーター的'''であるあるいは'''左ネーター環'''であるという。「左イデアル」を全て「右イデアル」に置き換えても同様のことが成り立ち、'''右ネーター環'''が定義される。左ネーター的かつ右ネーター的である環は'''両側ネーター環'''と呼ぶ（単にネーター環と呼ぶこともある）が、考えている環が可換環であれば左ネーター環あるいは右ネーター環は自然に両側ネーター環となる。ゆえにネーター的可換環は単に'''ネーター環'''と呼ぶ（左右の区別が明確であって誤解の虞のない場合には、左ネーター的あるいは右ネーター的であることをネーター的と省略して呼ぶこともあるので、ネーター環という用語が必ずしも可換ネーター環を意味するものというわけではない）。

可換環がネーターであるためには、任意の[[素イデアル]]が有限生成であることが十分である<ref>{{Cite journal|last=Cohen|first=I. S.|date=1950|title=Commutative rings with restricted minimum condition|url=https://projecteuclid.org/euclid.dmj/1077475897|journal=Duke Mathematical Journal|language=en|volume=17|issue=1|pages=27–42|doi=10.1215/S0012-7094-50-01704-2|issn=0012-7094|via=}}</ref>。

== 諸概念 ==
ネーター環の定義において包含関係の双対をとった、[[降鎖条件]]、極小条件を満たす環を[[アルティン環]]と呼ぶ。アルティン環は一般にネーター環となり、[[組成列#加群に対して|組成列]]を持つ。

ネーター環の定義において、左または右からの積を[[環上の加群|加群]]への左または右作用に読み替え、環のイデアルを環上の部分加群と読み替えることにより[[ネーター加群]]の概念を得る。左ネーター環とは自然に自身の上の左加群とみてネーター加群であるものに他ならない。

== 性質 ==
* ネーター環の[[剰余環]]はネーター環である。あるいは同じことだが、ネーター環の準同型像はネーター環である。
* ネーター環の部分環はネーター環とは限らない。

== 例 ==
''R'' を関係 ''yx'' = ''y''<sup>2</sup> = 0 をもった元 ''x'' と ''y'' で生成される '''Z'''-代数とすると、これは左ネーター環だが右ネーター環でない。証明。<math>R=\mathbb{Z}[x]\oplus\mathbb{Z}[x]y</math> と直和分解し、<math>\mathbb{Z}[x]</math> は部分環であるがヒルベルトの基底定理（後述）よりネーター環なので、''R'' はネーター環 <math>\mathbb{Z}[x]</math> 上左加群として有限生成なので[[ネーター加群]]、したがって ''R'' 上でもネーター加群、すなわち左ネーター環である。また、仮に ''R'' が右ネーター環であるとすると、''R'' のイデアル <math>I=\mathbb{Z}[x]y</math> は有限生成右 ''R'' 加群であり、''x'' と ''y'' は ''I'' に右から自明に作用するので、 ''I'' は有限生成アーベル群となる。これは
:<math>I=\mathbb{Z}y\oplus\mathbb{Z}xy\oplus\mathbb{Z}x^2y\oplus\dotsb</math>
に矛盾する。したがって ''R'' は右ネーター環でない。

== ヒルベルトの基底定理 ==
ネーター環上の一変数多項式環はまたネーター環である。これを'''[[ヒルベルトの基底定理]]'''（{{lang-de-short|[[:de:Hilbertscher Basissatz|Hilbertscher Basissatz]]}}、{{lang-en-short|[[:en:Hilbert's basis theorem|Hilbert's basis theorem]]}}）と呼ぶ。逆は明らかに成り立つ（「0を代入する写像」を考えよ）。帰納的にネーター環上任意有限個変数の多項式環もネーター環である。環上の有限生成環は多項式環の準同型像であるから、基底定理からはネーター環上の有限生成環が再びネーター環となることが従う。また同様にしてネーター環上の[[冪級数|形式的べき級数]]環もネーター環となる。

==次元==
可換環 ''A'' の[[素イデアル]] ''P'' に対して、真の減少列

:<math>P=P_0\supsetneq P_1\supsetneq \cdots \supsetneq P_r</math>
の長さを ''r'' と定める。''P'' で始まる素イデアルの真の減少列の長さの最大値を ''P'' の'''[[クルル次元|高さ]]''' (height) といい、ht ''P'' で表す。また、''A'' の素とは限らないイデアル ''I'' に対しては、その高さ ht ''I'' を ''I'' を含む素イデアルの高さの最小値と定める。''A'' がネーター環であるならば、'''[[クルルの主イデアル定理]]''' (Krull's principal ideal theorem<ref group="注釈">クルルの標高定理(Krull's height theorem)とも</ref>)によって任意の素イデアルの高さは有限である。ネーター環 ''A'' の'''[[クルル次元]]'''（Krull dimension）を、''P'' が ''A'' の素イデアル全体を動くときの ht ''P'' の最大値と定義する。ネーター環の次元は、''A'' の素イデアルの真の上昇列の長さ（これは、ネーター環の定義から有限）の最大値と一致する。ネーター環のクルル次元は常に有限になるとは限らない。

== 注釈 ==
{{Notelist}}
== 出典 ==
<references/>

== 参考文献 ==
* {{cite book | 和書 | author=D. G. Northcott | title=Northcottイデアル論入門 | editor=新妻弘(訳) | publisher=[[共立出版]] | year=2007 | ref=North(2007) }}
* {{cite book
|author=Lam, T. Y.
|authorlink=Tsit Yuen Lam
|title=A first course in noncommutative rings
|series=Graduate Texts in Mathematics
|volume=131
|edition=2nd
|publisher=Springer-Verlag
|place=New York
|year=2001
|pages=xx+385
|isbn=0-387-95183-0
|mr=1838439
| zbl=0980.16001
|ref=harv
}}

== 関連項目 ==
* [[アルティン環]]
* [[グレブナー基底]]

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{{DEFAULTSORT:ねえたあかん}}
[[Category:環論]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]