ネーター的位相空間のソースを表示

[[数学]]において、'''ネーター的位相空間'''（{{lang-en-short|noetherian topological space}}）とは、[[閉集合|閉部分集合]]について[[降鎖条件]]を満たす[[位相空間]]のことである。

== 定義 ==
位相空間 ''X'' がネーター的とは、任意の閉部分集合の列
:<math> Y_1 \supseteq Y_2 \supseteq \cdots </math>
に対して、ある ''r'' が存在し、
:<math>Y_r=Y_{r+1}=\cdots</math>
となることである。

== 特徴づけ ==
''x'' を位相空間とするとき、以下は同値。
* ''X'' はネーター的（すなわち閉部分集合について降鎖条件を満たす）。
* ''X'' の閉部分集合の空でない任意の族は包含関係に対して[[極小元]]をもつ。
* ''X'' は開部分集合について[[昇鎖条件]]を満たす。
* ''X'' の開部分集合の空でない任意の族は包含関係に対して[[極大元]]をもつ。
* ''X'' の任意の部分集合はコンパクト。

== 性質 ==
* ネーター的位相空間は[[準コンパクト]]である。
* ネーター的位相空間の部分空間はネーター的である。
* ネーター的位相空間が[[ハウスドルフ空間|ハウスドルフ]]であれば、有限集合に離散位相を入れたものである。
* ネーター的位相空間''X'' は有限個の[[既約位相空間|既約]]な閉部分集合の和で書ける
:<math>X=X_1\cup \cdots \cup X_r</math>
ここで<math>i\neq j</math>のとき<math>X_i\nsubseteq X_j</math>とすれば既約成分<math>X_i</math>全体は一意に定まる。

== 例 ==
* 体 ''k'' 上のアフィン ''n''-空間 <math>\mathbb{A}^n_k</math> は[[ザリスキ位相]]でネーター的である。一般に、ネーター環のスペクトラムはネーター的である。

== 参考文献 ==
*{{Hartshorne AG}}

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