ノイマン境界条件のソースを表示

[[数学]]の分野における'''ノイマン境界条件'''（のいまんきょうかいじょうけん、{{lang-en|''Neumann boundary condition''}}）あるいは'''第2種境界条件'''とは、数学者の{{仮リンク|カール・ノイマン|en|Carl Neumann}}の名にちなむ[[境界条件]]のことである<ref>Cheng, A. and D. T. Cheng (2005). Heritage and early history of the boundary element method, ''Engineering Analysis with Boundary Elements'', '''29''', 268–302.</ref>。[[常微分方程式]]あるいは[[偏微分方程式]]に対し、その解の[[微分]]が[[定義域]]の[[境界 (位相空間論)|境界]]でとる値を定める。

例えば、常微分方程式
:<math>y'' + y = 0~</math>
に対し、定義域 <math>[a, \, b]</math> 上のノイマン境界条件は次のような形をとる：
:<math>y'(a)= \alpha \text{ and } y'(b) = \beta.</math>
ここで ''&alpha;'' および ''&beta;'' は与えられた数である。

別の例では、偏微分方程式
:<math>\nabla^2 y + y = 0</math>
（ただし、&nabla;<sup>2</sup> は[[ラプラス作用素|ラプラシアン]]を表す）に対し、定義域 <math>\Omega \subset \mathbb{R}^n</math> 上のノイマン境界条件は次のような形をとる：
:<math>\frac{\partial y}{\partial \boldsymbol{n}}(x) = f(x) \quad \forall x \in \partial \Omega.</math>
ここで '''''n''''' は境界 &part;&Omega; への[[法線ベクトル]]を表し、''f'' は与えられた[[スカラー場|スカラー関数]]である。

上式の左辺に現れる{{仮リンク|法線微分|en|normal derivative}}は
:<math>\frac{\partial y}{\partial \boldsymbol{n}}(x)=\nabla y(x)\cdot \boldsymbol{n}(x)</math>

で定義される。すなわち[[勾配 (ベクトル解析)|勾配]]と法線ベクトルの[[内積]]である。

[[熱伝導]]の問題において、定義域の境界から熱の出入りが全く無いという状況に出くわすことはよくある（すなわち、定義域は完全に断熱されている）。これは、法線微分がゼロであるようなノイマン境界条件に対応する。

ノイマン境界条件の他にも多くの境界条件が存在する。例えば、'''[[コーシー境界条件]]'''や、ノイマンと[[ディリクレ境界条件|ディリクレ]]の条件が組み合わされた'''[[混合境界条件]]'''などがある。

==参考文献==
<references />

{{境界条件}}

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:のいまんきようかいしようけん}}
[[Category:境界条件]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]