ノルム剰余同型定理のソースを表示

数学において、'''ノルム剰余同型定理''' (norm residue isomorphism theorem)<ref group="注釈">ノルム剰余とは、環の元がより大きな環の元のノルムとなっている場合を記述する函数であり、{{仮リンク|ヒルベルト記号|en|Hilbert symbol}}(Hilbert symbol)、{{仮リンク|大域アルティン記号|en|global Artin symbol}}(global Artin symbol)、{{仮リンク|局所アルティン記号|en|local Artin symbol}}(local Artin symbol)、本記事で扱う[[ミルナーのK-理論]]上に定義され[[ガロアコホモロジー]]に値をもつ'''ガロア記号'''(Galois symbol)がある。</ref>または'''ブロック・加藤予想''' (Bloch-Kato conjecture) は、[[ミルナーのK理論|ミルナーのK-理論]]と[[ガロアコホモロジー]]を結びつける、長らく予想されていた定理である。[[ジョン・ウィラード・ミルナー|ジョン・ミルナー]] (John Milnor)<ref name=Milnor1970>Milnor (1970)</ref>はこの定理が<math>\ell=2</math>の場合に正しいと予想し、これは'''[[ミルナー予想]]'''として知られるようになった。一般の場合は{{仮リンク|スペンサー・ブロック|en|Spencer Bloch}}と[[加藤和也 (数学者)|加藤和也]]<ref name=BK1986>Bloch and Kato (1986) p.118</ref>により予想され、'''ブロック・加藤予想''' (Bloch–Kato conjecture) 、もしくは（[[L-函数の特殊値]]におけるブロック・加藤の予想と区別するために）'''モチーフ的ブロック・加藤予想''' (motivic Bloch–Kato conjecture) として知られるようになった。ノルム剰余同型定理は[[ウラジーミル・ヴォエヴォドスキー|ウラジミール・ヴォエヴォツキー]] (Vladimir Voevodsky) により、{{仮リンク|マーカス・ロスト|en|Markus Rost}}(Markus Rost)の数々の斬新な結果を用いて証明された<ref name=Voev2008>Voevodsky (2008)</ref><ref name=Voev2010>Voevodsky (2010)</ref>。<!--In the mathematical field of [[algebraic K-theory]], the '''norm residue isomorphism theorem''' is a long-sought result relating [[Milnor K-theory|Milnor ''K''-theory]] and [[étale cohomology]].  [[John Milnor]]<ref name=Milnor1970>Milnor(1970)</ref>  speculated that a special case of this theorem might be true, and this question became known as '''Milnor's conjecture'''.  The general case was conjectured by [[Spencer Bloch]] and [[Kazuya Kato]]<ref name=BK1986>Bloch and Kato(1986) p.118</ref> and became known as the '''Bloch–Kato conjecture''' or (to distinguish it from the Bloch–Kato conjecture on [[values of L-functions|values of ''L''-functions]]) the '''motivic Bloch–Kato conjecture'''.  Milnor's conjecture was proved by [[Vladimir Voevodsky]].<ref name=Voev1995>Voevodsky(1995)</ref><ref name=Voev1996>Voevodsky(1996)</ref><ref name=Voev2001>Voevodsky(2001)</ref><ref name=Voev2003b>Voevodsky(2003b)</ref>
Later [[Vladimir Voevodsky]] proved the general Bloch–Kato conjecture<ref name=Voev2008>Voevodsky(2008)</ref><ref name=Voev2010>Voevodsky(2010)</ref> Voevodsky's proofs of both results used a number of highly innovative constructions of [[Markus Rost]].-->

==ステートメント==
体<math>k</math>において可逆な整数 <math>\ell</math> に対し、自然な写像 <math>\partial : k^*\rightarrow H^1(k, \mu_\ell) </math> が存在する。ここで <math>\mu_\ell</math> は <math>k</math> の分離閉包における1の <math>\ell</math> -乗根のなす群であり、 <math>H^n(k,{-})</math> は <math>k</math> のガロアコホモロジーである。この写像は同型 <math>k^\times/(k^\times)^\ell \cong H^1(k, \mu_\ell)</math> を導く。これがK-理論に関連していることの最初のヒントは、 <math>k^\times</math> が群 <math>K_1(k)</math> であることである。テンソル積をとりカップ積を適用することで、写像 <math>\partial</math> は
:<math>\partial^n : k^\times \otimes \cdots \otimes k^\times \rightarrow H^n(k, \mu_\ell^{\otimes n}).</math>
に拡張される。これらの写像は <math>k \setminus \{0,1\}</math> のすべての元 <math>a</math> に対して <math>\partial^n(\ldots,a,\ldots,1-a,\ldots)</math> が0になるという性質を持つ。これはミルナーのK-理論の定義関係式である。具体的には、ミルナーK-理論は次の環の斉次部分として定義される：
:<math>K^M_*(k) = T(k^\times)/(\{a \otimes (1-a) \colon a \in k \setminus \{0, 1\}\}) \ .</math>
ここで <math>T(k^\times)</math> は[[乗法群]] <math>k^\times</math> の[[テンソル代数]]であり、商は <math>a \otimes (1 - a)</math> の形をしたすべての元で生成される[[両側イデアル]]によるものである。従って写像 <math>\partial^n</math> は写像
:<math>\partial^n \colon K^M_n(k) \to H^n(k, \mu_\ell^{\otimes n})</math>
を経由する。この写像は'''ガロア記号'''(Galois symbol)、あるいは'''ノルム剰余'''(norm residue)写像と呼ばれる<ref name=Sri146>Srinivas (1996) p.146</ref><ref name=GS108>Gille & Szamuely (2006) p.108</ref><ref name=Efr221>Efrat (2006) p.221</ref>。mod-<math>\ell</math> ガロアコホモロジーは<math>\ell</math>-捻れ群であるので、この写像はさらに <math>K^M_n(k) / \ell</math> を経由する。

ノルム剰余同型定理（もしくはブロック・加藤の予想）は、体 <math>k</math> と <math>k</math> で可逆な整数 <math>\ell</math> に対し、[[ミルナーのK-理論]]から mod-<math>\ell</math> ガロアコホモロジーへのノルム剰余写像
:<math>\partial^n : K_n^M(k)/\ell \to H^n(k, \mu_\ell^{\otimes n})</math>
は同型であるという定理である。 <math>\ell=2</math> の場合が[[ミルナー予想]]であり、 <math>n=2</math> の場合がメルクリエフ・ススリンの定理 (Merkurjev–Suslin theorem) である<ref name=Efr221/><ref name=Sri>Srinivas (1996) pp.145-193</ref>。
<!--==Statement==
For any integer ℓ invertible in a field ''k'' there is a map
<math>\partial : k^*\rightarrow H^1(k, \mu_\ell) </math>
where <math>\mu_\ell</math> denotes the group of ℓ-th roots of unity in some separable extension of ''k''.  It induces an isomorphism <math>k^\times/(k^\times)^\ell \cong H^1(k, \mu_\ell)</math>.  The first hint that this is related to ''K''-theory is that <math>k^\times</math> is the group ''K''<sub>1</sub>(''k'').  Taking the tensor products and applying the multiplicativity of étale cohomology yields an extension of the map <math>\partial</math> to maps:
:<math>\partial^n : k^\times \otimes \cdots \otimes k^\times \rightarrow H^n_{\rm\acute et}(k, \mu_\ell^{\otimes n}).</math>
These maps have the property that, for every element ''a'' in <math>k \setminus \{0,1\}</math>, <math>\partial^n(\ldots,a,\ldots,1-a,\ldots)</math> vanishes.  This is the defining relation of Milnor ''K''-theory.  Specifically, Milnor ''K''-theory is defined to be the graded parts of the ring:
:<math>K^M_*(k) = T(k^\times)/(\{a \otimes (1-a) \colon a \in k \setminus \{0, 1\}\})</math>,
where <math>T(k^\times)</math> is the [[tensor algebra]] of the [[multiplicative group]] ''k''<sup>×</sup> and the quotient is by the [[two-sided ideal]] generated by all elements of the form <math>a \otimes (1 - a)</math>.  Therefore the map <math>\partial^n</math> factors through a map:
:<math>\partial^n \colon K^M_n(k) \to H^n_{\rm\acute et}(k, \mu_\ell^{\otimes n}).</math>
This map is called the '''Galois symbol''' or '''norm residue''' map.<ref name=Sri146>Srinivas (1996) p.146</ref><ref name=GS108>Gille & Szamuely (2006) p.108</ref><ref name=Efr221>Efrat (2006) p.221</ref>  Because étale cohomology with mod-ℓ coefficients is an ℓ-torsion group, this map additionally factors through <math>K^M_n(k) / \ell</math>.

The norm residue isomorphism theorem (or Bloch–Kato conjecture) states that for a field ''k'' and an integer ℓ that is invertible in ''k'', the norm residue map
:<math>\partial^n : K_n^M(k)/\ell \to H^n_{\rm\acute et}(k, \mu_\ell^{\otimes n})</math>
from [[Milnor K-theory]]  mod-ℓ to [[étale cohomology]] is an isomorphism.  The case {{nowrap|1=ℓ = 2}} is the [[Milnor conjecture]], and the case {{nowrap|1=''n'' = 2}} is the Merkurjev–Suslin theorem.<ref name=Efr221/><ref name=Sri>Srinivas (1996) pp.145-193</ref>-->

==歴史==
この予想は[[可換体|体]] <math>k</math> のミルナーのK-群の <math>\ell</math> -次の余捩れ (cotorsion) （ <math>\ell</math> -可除元のなす部分群による商）が1の <math>\ell</math> -乗根のなすガロア加群を係数とする <math>k</math> の[[ガロワコホモロジー|ガロアコホモロジー]]に等しいことを主張する。予想の重要な点は、ミルナーのK-群には成立することが容易に分かるが、ガロアコホモロジーで成立するか直ちに分からない性質、あるいはその逆の性質があることである。ノルム剰余同型定理は、同型の片側の対象に適用可能なテクニックを，もう一方の側の対象へ適用することを可能にする。

<math>n</math> が0の場合は自明であり、 <math>n=1</math> の場合は[[ヒルベルトの定理90]]から容易に従う。 <math>n=2</math> かつ <math>\ell=2</math> の場合は {{harv|Merkurjev|1981}} で証明された。重要な前進は {{nowrap|1=''n'' = 2}} で ℓ  が任意の場合である。この場合は、{{harv|Merkurjev|Suslin|1982}} で証明され、'''メルクリエフ・ススリンの定理'''(Merkurjev–Suslin theorem)として知られている。後日、メルクリエフ(Merkurjev)とススリン(Suslin)と、それとは独立にロスト(Rost)は、{{nowrap|1=''n'' = 3}} と {{nowrap|1=ℓ = 2}} の場合に証明した。{{harv|Merkurjev|Suslin|1991}} {{harv|Rost|1986}}。

名称「ノルム剰余」は、体 <math>k</math> の[[ブラウアー群]]に値をとる[[ヒルベルト記号]] <math>(a_1, a_2)</math> に起源を持つ（ただし体は1の <math>\ell</math> -乗根をすべて持つとする）。この命名は通常の[[局所類体論]]との類似に基づいており、（発展途上の）「高次」類体論の一部をなすと期待されている。

ノルム剰余同型定理は{{仮リンク|キレン・リヒテンバウム予想|en|Quillen–Lichtenbaum conjecture}}を含んでいる。またこれはかつて[[#ベイリンソン・リヒテンバウム予想|ベイリンソン・リヒテンバウム予想]]として知られていた定理と等価である。
<!--==History==
The étale cohomology of a field is identical to [[Galois cohomology]], so the conjecture equates the ℓth multiplicative cotorsion (the quotient by the subgroup of ℓ-divisible elements) of the Milnor ''K''-group of a [[field (mathematics)|field]] ''k'' with the [[Galois cohomology]] of ''k'' with coefficients in the Galois module of ℓth roots of unity.  The point of the conjecture is that there are properties that are easily seen for Milnor ''K''-groups but not for Galois cohomology, and vice versa; the norm residue isomorphism theorem makes it possible to apply techniques applicable to the object on one side of the isomorphism to the object on the other side of the isomorphism.

The case when ''n'' is 0 is trivial, and the case when {{nowrap|1=''n'' = 1}} follows easily from [[Hilbert's Theorem 90]].  The case {{nowrap|1=''n'' = 2}} and {{nowrap|1=ℓ = 2}} was proved by {{harv|Merkurjev|1981}}.  An important advance was the case {{nowrap|1=''n'' = 2}} and ℓ arbitrary.  This case was proved by {{harv|Merkurjev|Suslin|1982}} and is known as the '''Merkurjev–Suslin theorem'''.  Later, Merkurjev and Suslin, and independently, Rost, proved the case {{nowrap|1=''n'' = 3}} and {{nowrap|1=ℓ = 2}} {{harv|Merkurjev|Suslin|1991}} {{harv|Rost|1986}}.

The name "norm residue" originally referred to the [[Hilbert symbol]] <math>(a_1, a_2)</math>, which takes values in the [[Brauer group]] of ''k'' (when the field contains all ℓ-th roots of unity).  Its usage here is in analogy with standard [[local class field theory]] and is expected to be part of an (as yet undeveloped) "higher" class field theory.

The norm residue isomorphism theorem implies the [[Quillen–Lichtenbaum conjecture]].  It is equivalent to a theorem whose statement was once referred to as the [[Norm residue isomorphism theorem#Beilinson-Lichtenbaum conjecture|Beilinson–Lichtenbaum conjecture]].-->

===証明の歴史===

ミルナー予想は[[ウラジーミル・ヴォエヴォドスキー|ウラジミール・ヴォエヴォツキー]] (Vladimir Voevodsky) により証明された。のちにヴォエヴォツキーは一般の場合も証明した。

この予想の証明の出発点は、{{harvtxt|Lichtenbaum|1983}} と {{harvtxt|Beilinson|1987}} による一連の予想にある。彼らは'''モチーフ的複体'''(motivic complexes)という、そのコホモロジーが[[モチヴィック・コホモロジー]]に関連するような層の複体の存在を予想した。これらの複体に予想される性質には次のようなものがあった：

#ミルナーのK-理論と，この複体のザリスキーコホモロジーとを関連づける性質。
#1の巾根の層に係数を持つコホモロジーと，この複体のエタールコホモロジーとを関連づける性質。
#この複体のエタールコホモロジーとザリスキーコホモロジーとを関連づける性質。

これらの性質は非常に特別な場合としてノルム剰余写像同型定理を導く。

予想の証明の重要な特徴として、「ウェイト」（予想におけるコホモロジー群の次元に等しい）に関する帰納法を用いることが挙げられる。帰納的段階には単にブロッホ・加藤の予想のステートメントだけではなく、ベイリンソンとリヒテンバウムによる予想の大半を含むような一般的なステートメントも必要となる。帰納法による証明ではしばしば、帰納的段階の証明のために主張を強めなければならないことがある。この予想の場合、その強化の部分に新しい数学の莫大な進展が必要であった。

ミルナー予想の最初の証明は1995年のヴォエヴォツキーのプレプリント<ref name="Voev1995">Voevodsky (1995)</ref> にあり、これは{{仮リンク|モラヴァのK-理論|en|Morava K-theory}} (Morava ''K''-theory) の代数的類似があるべきだというアイデアに基づいている（この代数的モラヴァのK-理論は、後日、シモーヌ・ボルゲーシ (Simone Borghesi)<ref name="Broghesi2000">Borghesi (2000)</ref>により構成された）。1996年のプレプリントで、ヴォエヴォツキーは{{仮リンク|代数的コボルディズム|en|algebraic cobordism}} (algebraic cobordism) を導入し、当時は証明されていなかったそれらの性質（後日これらの性質は証明された）を使うことで、モラヴァの K-理論を描像から取り去ることを可能とした。1995年と1996年のプレプリントの構成は正しいことが知られているが、ミルナー予想の最初の完全な証明はいくらか異なる枠組みを使っている。

その枠組みはブロック・加藤予想全体の証明が得られる枠組みでもある。それは1996年のプレプリントから数ヶ月後に、ヴォエヴォツキーにより考案された。この枠組みを実現するには、ある一連の性質を持つ代数多様体の構成法を見つけるとともに、{{仮リンク|モチーフ的ホモトピー論|en|motivic homotopy theory|label=}}(motivic homotopy theory) の分野の進展が必要とされた。具体的には、モチーフ的ホモトピー論からは次のことが要求された。

(A) 滑らかな射影代数多様体のモチーフ的基本類を、モチーフ的球面からモチーフ的法束の{{仮リンク|トム空間|en|Thom space}} (Thom space) への射として構成すること。

(B) {{仮リンク|スティーンロッド代数|en|Steenrod algebra|label=}}(Steenrod algebra)のモチーフ的類似の構成。

(C) 標数0の体上では{{仮リンク|モチーフ的スティンロッド代数|en|motivic Steenrod algebra}}(motivic Steenrod algebra) が{{仮リンク|モチヴィックコホモロジー|en|motivic cohomology|label=}}の二重安定なコホモロジー作用素全体を特徴付けることの証明。

(A)と(B)は2003年にヴォエヴォツキーにより開発された。1980年代後半から知られていた結果と合わせると、これらは[[ミルナー予想]]を再証明するのに充分であった。
<!--===History of the proof===

The starting point for the proof that we have now is a series of conjectures due to {{harvtxt|Lichtenbaum|1983}} and {{harvtxt|Beilinson|1987}}.  They conjectured the existence of ''motivic complexes'', complexes of sheaves whose cohomology was related to [[motivic cohomology]].  Among the conjectural properties of these complexes were three properties - one connecting their Zariski cohomology to Milnor's K-theory, one connecting their etale cohomology to cohomology with coefficients in the sheaves of roots of unity and one connecting their Zariski cohomology to their etale cohomology that implied, as a very special case, that the norm residue map should be an isomorphism. The essential characteristic of the proof is that it uses the induction on the "weight" (which equals the dimension of the cohomology group in the conjecture) where the inductive step requires knowing not only the statement of Bloch-Kato conjecture but the much more general statement that contains a large part of of the Beilinson-Lichtenbaum conjectures. It often occurs in proofs by induction that the statement being proved has to be strengthened in order to prove the inductive step. In this case the strengthening that was needed required the development of a very large amount of new mathematics.

The earliest proof of Milnor's conjecture is contained in a 1995 preprint of [[Vladimir Voevodsky]]<ref name=Voev1995/> and is inspired by the idea that there should be algebraic analogs of [[Morava K-theory|Morava ''K''-theory]] (these [[algebraic Morava K-theories]]  were later constructed by [[Simone Borghesi]]<ref name=Broghesi2000>Borghesi(2000)/</ref>).  In a 1996 preprint, Voevodsky was able to remove Morava ''K''-theory from the picture by introducing instead [[algebraic cobordism]]s  and using some of their properties that were not proved at that time (these properties were proved later).  The constructions of 1995 and 1996 preprints are now known to be correct but the first completed proof of Milnor's Conjecture used a somewhat different scheme.

It is also the scheme that the proof of the full Bloch-Kato conjecture follows. It was devised by [[Vladimir Voevodsky]] a few months after the 1996 preprint appeared.  Implementing this scheme required making substantial advances in the field of [[motivic homotopy theory]] as well as finding a way to build algebraic varieties with a specified list of properties.  From the motivic homotopy theory the proof required the following:

#A construction of the motivic analog of the basic ingredient of the [[Spanier-Whitehead duality]] in the form of the motivic fundamental class as a morphism from the motivic sphere to the [[Thom space]] of the motivic normal bundle over a smooth projective algebraic variety.
#A construction of the motivic analog of the [[Steenrod algebra]].
#A proof of the proposition stating that over a field of characteristic zero the [[motivic Steenrod algebra]] characterizes all bi-stable cohomology operations in the motivic cohomology.

The first two constructions were developed by [[Vladimir Voevodsky]] by 2003.  Combined with the results that had been known since late 1980s, they were sufficient to reprove the [[Milnor conjecture]].-->

同じく2003年に、ヴォエヴォツキーは一般の場合の証明をほぼ含んだプレプリントをウェブ上に公開した。このプレプリントは最初の枠組みに従うものであったが、3つのステートメントの証明が残されていた。これらのステートメントのうち1つめと2つめはモチーフ的スティーンロッド代数の性質に関連していて、上記の(C)を必要としており、3つめは「ノルム多様体」に関する当時知られていなかった事実を必要とした。ノルム多様体に要求される性質は1997年にヴォエヴォツキーが定式化し、多様体自体は1998年から2003年にマーカス・ロスト(Markus Rost)により構成されていた。それらが必要な性質を満たすことの証明は、2006年に{{仮リンク|アンドレイ・ススリン|en|Andrei Suslin|label=}}(Andrei Suslin)と{{仮リンク|セヴァ・ジョウコヴィツキー|en|Seva Joukhovitski}}(Seva Joukhovitski)により完成された。

上記の(C)を示すには、モチーフ的ホモトピー論での新しいテクニックの開発が必要であった。目標となったのは、極限や余極限と交換するとは限らないある函手が、ある種の対象の間の弱同値を保存することの証明であった。主要な困難のひとつは、弱同値を調べるための標準的なアプローチであるバウスフィールド・キレンの分解系と[[モデル圏]] (model category) の構造が不十分であることであった。別の方法が開発される必要があり、この仕事はヴォエヴォツキーにより2008年に完成された。

これらのテクニックを開発する過程で、ヴォエヴォツキーの2003年のプレプリントに証明なしで使われている1つめのステートメントが誤りであることが判明した。証明は修正されたステートメントに合わせてわずかに変更される必要があった。ヴォエヴォツキーがモチーフ的{{仮リンク|アイレンバーグ・マックレーン空間|en|Eilenberg-MacLane space|label=}}(Eilenberg-MacLane space) に関する主定理の証明の細部を詰めている間に、{{仮リンク|チャールズ・ワイベル|en|Charles Weibel|label=}}(Charles Weibel) は証明の変更すべき箇所を修正するアプローチを考案した。ワイベルは2009年に、ヴォエヴォツキーの構成の要約と彼の開発した修正を含んだ論文も出版している。
<!--Also in 2003, Voevodsky published on the web a preprint that nearly contained a proof of the general theorem.  It followed the original scheme but was missing the proofs of three statements.  Two of these statements were related to the properties of the motivic Steenrod operations and required the third fact above, while the third one required then-unknown facts about "norm varieties". The properties that these varieties were required to have had been formulated by Voevodsky in 1997, and the varieties themselves had been constructed by Markus Rost in 1998–2003.  The proof that they have the required properties was completed by [[Andrei Suslin]] and [[Seva Joukhovitski]] in 2006.

The third fact above required the development of new techniques in motivic homotopy theory.  The goal was to prove that a functor, which was not assumed to commute with limits or colimits, preserved weak equivalences between objects of a certain form.  One of the main difficulties there was that the standard approach to the study of weak equivalences is based on Bousfield–Quillen factorization systems and [[model category]] structures, and these were inadequate.  Other methods had to be developed, and this work was completed by Voevodsky only in 2008.

In the course of developing these techniques, it became clear that the first statement used without proof in Voevodsky's 2003 preprint is false.  The proof had to be modified slightly to accommodate the corrected form of that statement.  While Voevodsky continued to work out the final details of the proofs of the main theorems about motivic [[Eilenberg-MacLane space]]s, [[Charles Weibel]] invented an approach to correct the place in the proof that had to modified. Weibel also published in 2009 a paper that contained a summary of the Voevodsky's constructions combined with the correction that he discovered.-->

==ベイリンソン・リヒテンバウム予想==
''X'' を <math>1/\ell</math> を含む体の上の滑らかな多様体とする。[[アレクサンダー・ベイリンソン|ベイリンソン]] (Beilinson) とリヒテンバウム (Lichtenbaum) は、{{仮リンク|モチヴィックコホモロジー|en|motivic cohomology|label=}} (motivic cohomology) 群 <math>H^{p,q}(X, \mathbf{Z}/\ell)</math> は、''p''&le;''q'' のとき[[エタールコホモロジー]]群 <math>H^p_{\rm\acute et}(X, \mu^{\otimes q}_\ell)</math> と同型であろうと予想した。この予想はノルム剰余同型定理と同値であり、今では証明されている。
<!--==Beilinson-Lichtenbaum conjecture==
Let ''X'' be a smooth variety over a field containing <math>1/\ell</math>.  Beilinson and Lichtenbaum conjectured that the [[motivic cohomology]] group <math>H^{p,q}(X, \mathbf{Z}/\ell)</math> is isomorphic to the [[étale cohomology]] group <math>H^p_{\rm\acute et}(X, \mu^{\otimes q}_\ell)</math> when ''p''&le;''q''.  This conjecture has now been proven, and is equivalent to the norm residue isomorphism theorem.-->

==脚注==
===注釈===
{{Notelist}}
===出典===
{{reflist|30em}}

==参考文献==
* {{cite journal|last1=Bloch|first1=Spencer|last2=Kato|first2=Kazuya|title=p-adic etale cohomology|journal=Publications Mathématiques de l'IHÉS|date=1986|volume=63|pages=107–152}}
* {{citation | last1=Borghesi | first1=Simone  | url=http://www.math.uiuc.edu/K-theory/0412 | title=Algebraic Morava K-theories and the higher degree formula, | year=2000 | series=Preprint}}
* {{cite book | last=Efrat | first=Ido | title=Valuations, orderings, and Milnor ''K''-theory | series=Mathematical Surveys and Monographs | volume=124 | location=Providence, RI | publisher=[[American Mathematical Society]] | year=2006 | isbn=0-8218-4041-X | zbl=1103.12002 }}
* {{cite book | last1=Gille | first1=Philippe | last2=Szamuely | first2=Tamás | title=Central simple algebras and Galois cohomology | series=Cambridge Studies in Advanced Mathematics | volume=101 | location=Cambridge | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=2006 | isbn=0-521-86103-9 | zbl=1137.12001 }}
* {{cite journal|last1=Milnor|first1=John|title=Algebraic K-theory and quadratic forms|journal=Inv. Math.|date=1970|volume=9|pages=318– 344}}
* {{Cite web | last1=Rost | first1=Markus | title=Chain lemma for splitting fields of symbols | url=http://www.math.uni-bielefeld.de/~rost/chain-lemma.html | year=1998 |accessdate=Dec.2014}}
* {{cite book | last=Srinivas | first=V. | title=Algebraic ''K''-theory | edition=Paperback reprint of the 1996 2nd | series=Modern Birkhäuser Classics | location=Boston, MA | publisher=[[Birkhäuser]] | year=2008 | isbn=978-0-8176-4736-0 | zbl=1125.19300 }}
* {{citation | last1=Voevodsky | first1=Vladimir | author1-link=Vladimir Voevodsky  | url= http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.154.922| title=Bloch-Kato conjecture for Z/2-coefficients and algebraic Morava K-theories, | year=1995 | series=Preprint}}
* {{citation | last1=Voevodsky | first1=Vladimir | author1-link=Vladimir Voevodsky  | url=http://www.math.uiuc.edu/K-theory/0170 | title=The Milnor Conjecture | year=1996 | series=Preprint}}
* {{citation | last1=Voevodsky | first1=Vladimir | author1-link=Vladimir Voevodsky  | url= https://arxiv.org/abs/math/0107110 | title=On 2-torsion in motivic cohomology | year=2001 | series=Preprint}}
* {{Citation | last1=Voevodsky | first1=Vladimir | author1-link=Vladimir Voevodsky | title=Reduced power operations in motivic cohomology | url=http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_2003__98__1_0 | doi=10.1007/s10240-003-0009-z | mr=2031198 | year=2003a| journal=Institut des Hautes Études Scientifiques. Publications Mathématiques | issn=0073-8301 | issue=98 | pages=1–57 | volume=98}}
* {{Citation | last1=Voevodsky | first1=Vladimir | author1-link=Vladimir Voevodsky | title=Motivic cohomology with Z/2-coefficients | url=https://www.researchgate.net/publication/225345330_Motivic_cohomology_with_Z2-coefficients| doi=10.1007/s10240-003-0010-6 | mr=2031199 | year=2003b | journal=Institut des Hautes Études Scientifiques. Publications Mathématiques | issn=0073-8301 | issue=98 | pages=59–104 | volume=98}}
* {{Cite arXiv | last1=Voevodsky | first1=Vladimir | author1-link=Vladimir Voevodsky | title=On motivic cohomology with Z/l coefficients | eprint=0805.4430 | year=2008 | class=math.AG}}
* {{Cite journal | last1=Weibel | first1=Charles | author1-link=Charles Weibel | title=The norm residue isomorphism theorem | doi=10.1112/jtopol/jtp013 | mr=2529300 | year=2009 | journal=[[Journal of Topology]] | volume=2 | issue=2 | pages=346–372}}
* {{cite journal|last1=Voevodsky|first1=Vladimir|title=On motivic cohomology with Z/l-coefficients|journal=Annals of Mathematics|date=2011|volume=174|issue=1|pages=401–438|doi=10.4007/annals.2011.174.1.11|url=http://annals.math.princeton.edu/2011/174-1/p11}}
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