ノルム多元体のソースを表示

[[数学]]における'''ノルム多元体'''（のるむたげんたい、{{lang-en-short|''normed division algebra''}}; ノルム付き可除代数）とは、乗法的な[[ノルム]]を持つ[[多元体]]のことである。すなわち、[[実数|実]]または[[複素数]]体上のノルム多元体 {{mvar|A}} は、多元体であって、かつ任意の {{math2|''x'', ''y'' ∈ ''A''}} に対して
:<math>\| xy\| = \| x\| \| y\|</math>
を満たすノルム ǁ&bull;ǁ<ref name=P277>Porteous (1969) p.277</ref>に関して[[ノルム線型空間]]の構造も持つ。

定義からは無限次元のノルム多元環と言うものも考えることができるが、実はこれは起こらない。実数体上のノルム多元体は[[同型]]の[[違いを除いて]]
* [[実数]]体 {{mathbf|R}},
* [[複素数]]体 {{mathbf|C}},
* [[四元数]]体 {{mathbf|H}},
* [[八元数]]体 {{mathbf|O}}
しかなく<ref name=Nieto>{{Cite journal |title=Hurwitz theorem and parallelizable spheres from tensor analysis |author=JA Nieto and LN Alejo-Armenta |year=2000 |arxiv=hep-th/0005184 |journal=Arxiv preprint hep-th/0005184}}</ref><ref name=McCrimmon>{{Cite book |title=A taste of Jordan algebras |author=Kevin McCrimmon |url=https://books.google.co.jp/books?id=6YG4ycpKMYkC&pg=PA166&redir_esc=y&hl=ja |page=166 |chapter=Hurwitz's theorem 2.6.2 |quote=Only recently was it established that the only ''finite-dimensional'' real nonassociative division algebras have dimensions 1,2,4,8; the algebras were not classified, and the proof was topological rather than algebraic. |isbn=0-387-95447-3 |year=2004 |publisher=Springer}}</ref>、これは[[フルヴィッツの定理 (代数学)|フルヴィッツの定理]]として知られる。上記のノルム多元体のノルムは何れも標準的な[[絶対値]]によって与えられる。最初の三つが[[結合多元環]]である一方、八元数体は弱い形の結合性しか持たず[[交代代数]]になることに注意。

複素数体上の結合的ノルム多元体（ノルム線型体）は複素数体それ自身のみである。

== 分類 ==
実多元体の分類は[[ゲオルク・フロベニウス|フロベニウス]]に始まり<ref name=Frobenius>{{Cite journal |author=Georg Frobenius |title=Über lineare Substitutionen und bilineare Formen |journal=J. Reine Angew. Math. |volume=84 |pages=1-63 |year=1878}}</ref>、フルヴィッツが続いて<ref name=Hurwitz>{{Cite journal |author=[[Adolf Hurwitz]] |title=Ueber die Composition der quadratischen Formen von beliebig vielen Variabeln (On the composition of quadratic forms of arbitrary many variables) |language=German |journal=Nachr. Ges. Wiss. Göttingen |pages=309-316 |year=1898 |jfm=29.0177.01}}</ref>、一般の形は[[マックス・ツォルン|ツォルン]]によって完成された<ref name=Zorn>{{Cite journal |author=Max Zorn |title=Theorie der alternativen Ringe |journal=Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg |year=1930 |pages=123-147 |volume=8}}</ref>。この辺りの簡潔な歴史的概要は {{harvtxt|Badger|2006}} に見つかる<ref name=Badger>{{Cite web |title=Division algebras over the real numbers |author=Matthew Badger |year=2006 |url=http://www.math.washington.edu/~mbadger/divalg3.pdf |accessdate=2012-09-27 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20110607010921/http://www.math.washington.edu/~mbadger/divalg3.pdf |archivedate=2011-06-07}}</ref>。

完全な証明は {{harvtxt|Kantor|Solodovnikov|1989}}<ref name=Kantor>{{Cite book |title=Hypercomplex numbers. An elementary introduction to algebras |year=1989 |publisher=[[Springer-Verlag]] |first1=I.L. |last1=Kantor |first2=A.S. |last2=Solodovnikov |others=Trans. A. Shenitzer |page=121 |chapter=Normed algebras with an identity. Hurwitz's theorem. |edition=2nd |isbn=0-387-96980-2 |zbl=0669.17001 |url=https://books.google.com/books?btnG=Google+Search&as_epq=Normed+algebras+with+an+identity.+Hurwitz's+theorem}}</ref> および {{harvtxt|Shapiro|2000}}<ref name=Shapiro>{{Cite book |pages=21 ''ff'' |chapter=Appendix to Chapter 1. Composition algebras |first=Daniel B. |last=Shapiro |title=Compositions of quadratic forms |isbn=3-11-012629-X |year=2000 |publisher=Walter de Gruyter |zbl=0954.11011 |series=de Gruyter Expositions in Mathematics |volume=33 |location=Berlin |url=https://books.google.co.jp/books?id=qrFhUda9JbkC&pg=PA21&redir_esc=y&hl=ja}}</ref>にある。 基本的な考え方としては、多元環 ''A'' が 1 に比例するならばそれは実数体に同型であり、さもなくば 1 に比例する部分多元環に同型な部分多元環を[[ケーリー＝ディクソンの構成法|ケーリー＝ディクソン構成]]を用いて拡張して、1 に直交するベクトル ''e'' を導入すれば、得られる部分多元環は複素数体に同型になる。それでも ''A'' 全体を尽くさないならば再びケーリー＝ディクソン構成を適用して全複素数と直交するベクトルをとれば、四元数体に同型な部分多元環を得る。それでも全体を尽くさないならば、三度ケーリー＝ディクソン構成によってケーリー数（八元数）体と同型な部分多元環を得るが、このとき ''A'' の 1 を含む ''A'' でない任意の部分多元環が結合的であることが定理としてわかっているので、結合的でない八元数体は従って ''A'' と一致しなければならない、という具合である。

== フルヴィッツの定理 ==
フルヴィッツの定理（"1, 2, 4, 8 定理"）は[[アドルフ・フルヴィッツ]]により1898年に示されたもので、「''n'' 個の平方数の和が ''n'' 個の平方数の和同士の（双線型な）積に表されるのは ''n'' が 1, 2, 4, 8 の何れかに等しい場合に限る」というものである<ref name=squares>{{Cite book |title=Lure of the integers |author=Joe Roberts |url=https://books.google.co.jp/books?id=DvX90EKMxGwC&pg=PA93&redir_esc=y&hl=ja |chapter=Square identities |isbn=0-88385-502-X |publisher=Cambridge University Press |year=1992 }}</ref>。もともとの証明では二次形式は '''C''' に係数を持つものであった<ref name=Lam130>Lam (2005) p.130</ref>が、標数が 2 でない任意の体にまで拡張されている<ref name=R3>Rajwade (1993) p.3</ref>。

== 合成代数 ==
ノルム多元体は[[合成代数]]の特別の場合である。合成代数とは、乗法的[[二次形式]]を備えた[[単位的多元環]]である。一般の合成代数は必ずしも可除ではなく、零因子を持ち得る。実数体上であれば、ノルム多元体を成すもの以外に三種類、[[分解型複素数]]環、[[分解型四元数]]環、[[分解型八元数]]環が加わる。

== 注記 ==
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
* {{Cite book |title=Introduction to Quadratic Forms over Fields |volume=67 |series=Graduate Studies in Mathematics |first=Tsit-Yuen |last=Lam |publisher=American Mathematical Society |year=2005 |isbn=0-8218-1095-2 |zbl=1068.11023 |mr=2104929}}
* {{Cite book |last=Porteous |first=I.R. |authorlink=イアン・ポーティウス |title=Topological Geometry |publisher=Van Nostrand Reinhold |year=1969 |isbn=0-442-06606-6 |zbl=0186.06304}}
* {{Cite book |title=Squares |volume=171 |series=London Mathematical Society Lecture Note Series |first=A. R. |last=Rajwade |publisher=[[ケンブリッジ大学出版局|Cambridge University Press]] |year=1993 |isbn=0-521-42668-5 |zbl=0785.11022}}

== 関連文献 ==
* John H. Conway, Derek A. Smith ''On Quaternions and Octonions''. A.K. Peters, 2003.
* John Baez, ''[https://math.ucr.edu/home/baez/octonions/ The Octonions]'', AMS 2001.

== 関連項目 ==
* [[ノルム代数]]

== 外部リンク ==
* {{nlab|id=normed+division+algebra|title=normed division algebra}}


{{数の体系}}
{{DEFAULTSORT:のるむたけんたい}}
[[Category:多元環論]]
[[Category:超複素数系]]
[[Category:数学に関する記事]]