ノートンのドームのソースを表示


[[ファイル:Cross_section_of_Norton's_dome.svg|サムネイル|300x300ピクセル|ノートンのドームの断面図。hとxは<math> 2g^2/(3b^4)</math>を単位として表示している。]]
ノートンのドームとは、[[ニュートン力学]]の範疇における非[[決定論]]的システムの存在を示す[[思考実験]]である<ref name="originalpaper">{{cite journal|last=Norton|first=John D.|date=November 2003|title=Causation as Folk Science|journal=Philosophers' Imprint|volume=3|issue=4|pages=1–22|hdl=2027/spo.3521354.0003.004}}</ref><ref>{{cite journal|last=Laraudogoitia|first=Jon Pérez|date=2013|title=On Norton's dome|journal=Synthese|volume=190|issue=14|pages=2925–2941|doi=10.1007/s11229-012-0105-z|s2cid=37756181}}</ref>。2003年に[[:en:John_D._Norton|ジョン・D・ノートン]]によって考案された。 これは、1997年にサンジェイ・バットとデニス・バーンスタインによって示されたより一般的なクラスの特別なケースである<ref>{{Cite journal|last1=Bhat|first1=Sanjay P.|last2=Bernstein|first2=Dennis S.|date=1997-02-01|title=Example of indeterminacy in classical dynamics|journal=International Journal of Theoretical Physics|volume=36|issue=2|pages=545–550|language=en|bibcode=1997IJTP...36..545B|doi=10.1007/BF02435747|issn=1572-9575|s2cid=10195818}}</ref>。ノートンのドーム問題は、[[物理学]]、[[数学]]、[[哲学]]の問題とみなすことができる<ref>{{Cite book |title=A Theory of Causation in the Social and Biological Sciences |publisher=Palgrave Macmillan |year=2013 |isbn=9781137281043 |page=109 |last1=Reutlinger |first1=Alexander}}</ref><ref>{{cite journal|last=Wilson|first=Mark|date=2009|title=Determinism and the Mystery of the Missing Physics|url=http://philsci-archive.pitt.edu/3372/1/Determinism_and__the_Mystery_of_the_Missing_Physics.pdf|journal=The British Journal for the Philosophy of Science|volume=60|issue=1|pages=173–193|doi=10.1093/bjps/axn052}}</ref><ref name=":0">{{cite journal|last=Fletcher|first=Samuel Craig|date=2011|title=What counts as a Newtonian system? The view from Norton's dome|journal=European Journal for Philosophy of Science|volume=2|issue=3|pages=275–297|doi=10.1007/s13194-011-0040-8|citeseerx=10.1.1.672.9952|s2cid=10898530}}</ref><ref name=":1">{{Cite journal|last=Malament|first=David B.|date=2008|title=Norton's Slippery Slope|journal=Philosophy of Science|volume=75|issue=5|pages=799–816|doi=10.1086/594525|issn=0031-8248|id=PhilSci:[http://philsci-archive.pitt.edu/3195 3195]|s2cid=2436612}}</ref>。

== 説明 ==
静止した理想的な[[点粒子]]を、以下の式で定義された形状の理想的な放射対称の[[摩擦]]のないドームの[[頂点]]に設定する<ref name=":0" /><ref name=":1" />。

<math>h = {\frac {2b^2}{3g}}r^{3/2}, \quad 0 \leq r < \frac{g^2}{b^4}</math>

ここで、''h''はドームの頂上からドーム上の点までの垂直変位、''r''はドームの頂点からその点までの[[測地線]]距離、''g''は[[重力加速度]]、''bは''比例定数である<ref name=":0" />。

[[運動の第二法則]]によれば、摩擦のない表面上にある質点の加速度の接線成分は<math>a_{\parallel}=b^2\sqrt r</math>であり<ref name=":0" />、 以下の運動方程式が導出できる。<math display="block">\ddot{r} = b^2 \sqrt{r}.</math>

=== 運動方程式の解 ===
ノートンは、この運動方程式には 2 種類の数学的解があることを示した。一番目においては粒子はドームの頂点に永遠に留まり、以下の解になる。

<math display="block">r(t) = 0.</math>

二番目においては、粒子はしばらくドームの頂点に留まり、その後任意の時間''T''が経過すると、任意の方向にドームを滑り降り始める。これは次の解として与えられる<ref name="originalpaper" />。

<math display="block">r(t) = \begin{cases}
  0 & t \leq T, \\[4pt]
  \frac{1}{144}[b(t-T)]^4 & t > T.
\end{cases}</math>

重要なのは、これら 2 つはいずれも運動方程式から導かれる以下の[[初期値問題]]の解であるということである。

<math display="block">\ddot{r} = b^2\sqrt{r}, \quad r(0)=0, \quad \dot{r}(0) = 0.</math>

したがって、ニュートン力学の枠組みでは、この問題は非決定的な解を持つ。言い換えれば、初期条件が与えられても、粒子が取る可能性のある軌道が複数存在するということである。これが、ニュートン力学が非決定論的なシステムである可能性を示唆する[[パラドックス]]となっている。

これらの運動方程式がすべて物理的に可能な解であることを確認するには、ニュートン力学の[[時間反転対称性]]を利用するのが有用である。有限の時間内にエネルギーゼロで頂点に到達して停止させるように、ボールをドームの上まで転がすことは可能である。従って時間反転により、ボールがしばらく頂点で止まり、その後任意の方向に転がり落ちるのは有効な解であると見なせる。

しかし、普通のドーム（例えば半球）に同じ議論を適用してもうまくいかない。なぜなら、頂点に到達してそこに留まるのにちょうどよいエネルギーで打ち上げられたボールは、実際にはそこに到達するまでに無限の時間がかかるからである<ref name="nortonspage">{{cite web |last1=Norton |first1=John |title=The Dome |url=http://www.pitt.edu/~jdnorton/Goodies/Dome/ |access-date=20 January 2021 |website=www.pitt.edu}}</ref>。

2 番目のケースでは、粒子が原因もなく、他の実体によって放射状の力が加えられることもなく動き始めたように見える。これは、物理的直感と[[因果性|因果関係]]に関する普通の直感の両方に明らかに反するが、それでもこの動きは[[ニュートン力学|ニュートンの運動法則]]の数学と整合しているため、これを以て非物理的であると除外することができない。{{要出典|date=2025年1月}}

== パラドックスの解消 ==
ノートンの思考実験に対しては、[[リプシッツ連続|リプシッツ連続性]]の原理に違反している（ニュートンの第2法則に現れる力は粒子の軌道に対するリプシッツ連続関数ではなく、これにより[[常微分方程式]]の[[解の存在と一意性の定理]]を回避できる）、[[対称性 (物理学)|物理的対称性]]の原理に違反している、あるいはその他の理由によって「非物理的」であるなどと多くの批判がなされているが、批判者の間ではなぜそれを無効とみなすかについて合意は得られていない。

== 参照 ==

* [[決定論|非決定論]]
* [[自発的対称性の破れ]]
* [[ビュリダンのロバ]]

== 参考文献 ==
<references />

== 外部リンク ==

* [http://www.pitt.edu/~jdnorton/Goodies/Dome/ ノートンのドーム問題に関するジョン・ノートンのウェブページ]
[[Category:物理学における思考実験]]
[[Category:決定論]]
[[Category:思考実験]]
[[Category:物理学のパラドックス]]
[[Category:古典力学]]