ノーム (数学)のソースを表示

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数学の分野、特に[[楕円函数]]論において、'''ノーム''' (nome) とは、次式によって与えられる[[特殊函数]]のことである。 
:<math>q
=e^{-\frac{\pi K'}{K}}
=e^{\frac{{\rm{i}}\pi\omega_2}{\omega_1}}
=e^{{\rm{i}} \pi \tau}
\, 
</math>
ここに ''K'' と ''iK''&nbsp;&prime; は{{仮リンク|1/4周期|en|quarter period}}(quarter period)であり、&omega;<sub>1</sub> と &omega;<sub>2</sub> は{{仮リンク|周期の基本ペア|en|fundamental pair of periods}}(fundamental pair of periods)である。記号としては、1/4周期 K と iK&nbsp;&prime; は通常、[[ヤコビの楕円函数]](Jacobian elliptic functions)の文脈においてのみ用いられるが、1/2周期 &omega;<sub>1</sub> と &omega;<sub>2</sub> は[[ヴァイエルシュトラスの楕円函数]]の文脈においてのみ用いられる。&omega;<sub>1</sub> と &omega;<sub>2</sub> を1/2周期というより全体の周期を表すために使うアポストル(Apostol)のような著者も居る。

ノームは楕円函数やモジュラ函数が表す値として頻繁に使われる。その一方で、1/4周期が[[j-不変量|楕円モジュラス]]の函数であることから、函数として考えることもある。楕円モジュラス、1/4周期、従ってノームの実数値が一意に決まることから、この曖昧さが起きる。

函数 &tau;&nbsp;=&nbsp;iK&nbsp;&prime;/K&nbsp;=&nbsp;&omega;<sub>1</sub>/&omega;<sub>2</sub> は、楕円函数の 2つの1/2周期の比なので、'''1/2周期比'''(half-period ratio)と呼ばれることもある。

'''補ノーム'''(complementary nome) q<sub>1</sub> は、
:<math>q_1=e^{-\frac{\pi K}{K'}}</math>
で与えられる。

ノームに関連するさらなる定義や関係については、{{仮リンク|1/2周期|en|quarter period}}(quarter period)や[[楕円積分]](elliptic integral)を参照すること。

ヤコビの楕円関数の場合のノーム関数の母数<math>k</math>に対する値<math>q(k)</math>を数値として具体的に求めるのには、たとえば、
* 山内二郎、宇野利雄、一松信：「電子計算機のための数値計算法III」培風館（1972）．
の第11章:"楕円関数"の中の第11.2節:"ノームqの計算" に記述されている方法を用いることができる．

==参考文献==
* Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, ''[[Abramowitz and Stegun|Handbook of Mathematical Functions]]'', (1964) Dover Publications, New York. {{OCLC|1097832}} .  See sections 16.27.4 and 17.3.17.  1972 edition: ISBN 0-486-61272-4
* [[Tom M. Apostol]], ''Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Second Edition'' (1990), Springer, New York ISBN 0-387-97127-0
* 山内二郎、宇野利雄、一松信：「電子計算機のための数値計算法 III」培風館（1972）．

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