ハイゼンベルク描像のソースを表示


'''[[ヴェルナー・ハイゼンベルク|ハイゼンベルク]]描像'''（はいぜんべるくびょうぞう、{{Lang-en-short|Heisenberg picture}}）または'''ハイゼンベルク表示'''（はいぜんべるくひょうじ、{{Lang-en-short|Heisenberg representation}}）は、[[物理学]]において[[量子力学]]を定式化するにあたり、[[演算子 (物理学)|演算子]]（[[可観測量]]やその他）が[[時間発展]]し、[[状態ベクトル]]は時間に依存しないとする理論形式のこと。状態ベクトルが時間発展し、演算子が時間に依存しない'''[[シュレーディンガー描像]]'''とは等価の結果を与える。

'''ハイゼンベルク力学'''とも呼ばれる[[行列力学]]は、時間発展には'''ハイゼンベルク描像'''を採用し、適当な基底を選んで演算子を[[行列表示]]したものに相当する。

[[相対論的量子力学|相対論的]]な[[場の量子論]]では、ハイゼンベルク描像を採用するのが普通である{{sfn|清水明|2004}}。

==数学的内容==

'''ハイゼンベルク描像'''を採用する量子力学では、状態ベクトル {{Math|{{Ket|''&psi;''}}}} は時間発展せず、可観測量 {{Math|{{Hat|''A''}}(''t'')}} が下に示す'''[[ハイゼンベルクの運動方程式]]'''に従い、時間発展する。

{{Indent|<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\hat A(t)=\frac{1}{i \hbar}[\hat A(t),\hat H]+\left(\frac{\partial \hat A(t)}{\partial t}\right)_\text{classical}.</math>}}

また、{{Math|{{Hat|''A''}}(''t'')}} の期待値は以下で与えられる。
{{Indent|<math> \lang \hat A \rang _{t} = \lang \psi  | \hat A(t) | \psi \rang. </math>}}

いくつかの意味で、ハイゼンベルク描像は[[シュレーディンガー描像]]より自然で、本質的だといえる。とくに、[[相対論的量子力学]]においては[[4元ベクトル#内積|ローレンツ不変性]]はハイゼンベルク描像を用いてあらわされる。

また、[[古典力学]]との類似点が見やすいことも重要である。[[交換関係 (量子力学)|交換子]]を[[ポアソン括弧]]で置き換えることによって、'''ハイゼンベルクの方程式'''は[[ハミルトン力学|ハミルトンの運動方程式]]と同じ形を与える。

[[ストーン-フォン・ノイマンの定理]]により、ハイゼンベルク描像とシュレーディンガー描像は[[ユニタリ同値]]であることが示されている。

==  ハイゼンベルクの方程式とシュレーディンガー方程式の等価性  ==

シュレーディンガー描像において、{{Math|{{Hat|''A''}}}} を可観測量である([[線形写像|線形]]な[[エルミート作用素|エルミート演算子]]である)とすると、{{Math|{{Hat|''A''}}}} のある状態 {{Math|{{Ket|''&psi;''}}}} における[[期待値]]は下のように求められる。

{{Indent|<math> \lang \hat A \rang _{t} = \lang \psi (t) | \hat A | \psi(t) \rang. </math>}}

また、[[シュレーディンガー方程式]]の形式解

{{Indent|<math> | \psi (t) \rang = e^{-i\hat Ht / \hbar} | \psi (0) \rang </math>}}

を用いれば、物理量の期待値は、
{{Indent|<math> \lang \hat A \rang _{t} = \lang \psi (0) | e^{i\hat Ht / \hbar} \hat A e^{-i\hat Ht / \hbar} | \psi(0) \rang.</math>}}

よってハイゼンベルク描像において、状態は時間によらず常に {{Math|{{Ket|''&psi;''(0)}}}} であると定義し、物理量を表す演算子を次のように定義すれば、シュレーディンガー描像とハイゼンベルク描像とでは、物理量の期待値 {{Math|{{Ket|''&psi;''(''t'')}}}} は等しくなる。つまりシュレーディンガー描像とハイゼンベルク描像は時間発展について等価な理論になる。

{{Indent|<math> \hat A(t) := e^{i\hat Ht / \hbar} \hat A e^{-i\hat Ht / \hbar}.</math>}}

すると {{Math|{{Hat|''A''}}(''t'')}} の時間依存性は、

{{Indent|<math>
\begin{align}
  \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \hat A(t)
  &= \frac{i}{\hbar} H e^{i\hat Ht / \hbar} \hat A e^{-i\hat Ht / \hbar}
  + \left( \frac{\partial \hat A}{\partial t} \right)_\text{classical}
  + \frac{i}{\hbar} e^{i\hat Ht / \hbar} \hat A
  (-\hat H) e^{-i\hat Ht / \hbar} \\
  &= \frac{i}{\hbar} e^{i\hat Ht / \hbar} (\hat H\hat A - \hat A\hat H) e^{-i\hat Ht / \hbar}
  + \left( \frac{\partial \hat A}{\partial t} \right)_\text{classical} \\
  &= \frac{i}{\hbar} (\hat H \hat A(t) - \hat A(t) \hat H)
  + \left( \frac{\partial \hat A}{\partial t} \right)_\text{classical} \\
  &= \frac{i}{\hbar} [\hat H, \hat A(t)]
  + \left( \frac{\partial \hat A}{\partial t} \right)_\text{classical}.
\end{align}

</math>}}

よってシュレーディンガー方程式から、次の[[ハイゼンベルクの運動方程式]]が得られた。

{{Indent|<math>  {\mathrm d \over \mathrm dt} \hat A(t) = {i \over \hbar } [ \hat H  , \hat A(t) ]  + \left(\frac{\partial \hat A}{\partial t}\right)_\text{classical}. </math>}}

関係式

{{Indent|<math> {e^\hat B \hat A e^{-\hat B}} = \hat A + [\hat B,\hat A] + \frac{1}{2!} [\hat B,[\hat B,\hat A]] + \frac{1}{3!}[\hat B,[\hat B,[\hat B,\hat A]]]+\cdots </math>}}

を使うと、時間依存な可観測量 {{Math|{{Hat|''A''}}(''t'')}}  について下を得る。

{{Indent|<math> \hat A(t)=\hat A+\frac{it}{\hbar}[\hat H,\hat A]-\frac{t^{2}}{2!\hbar^{2}}[\hat H,[\hat H,\hat A]] 
- \frac{it^3}{3!\hbar^3}[\hat H,[\hat H,[\hat H,\hat A]]] + \cdots.
</math>}}

交換子をポアソン括弧に置き換えると、この関係式は[[古典力学]]でも成り立つ。

==交換関係==

ハイゼンベルク描像では、演算子の時間依存性により、同時刻以外ではシュレーディンガー描像を用いたときと[[交換関係 (量子力学)|交換関係]]が異なる。例として、一次元調和振動子の {{Math|''x''(''t''<sub>1</sub>), ''x''(''t''<sub>2</sub>), ''p''(''t''<sub>1</sub>), ''p''(''t''<sub>2</sub>)}} を考えてみると、系の[[ハミルトニアン]]は

{{Indent|<math>\hat H = \frac{\hat p^{2}}{2m} + \frac{m \omega^{2} \hat x^{2}}{2}.</math>}}

よって位置演算子と運動量演算子の時間発展は下のようになる。
{{Indent|
<math>{\mathrm d \over \mathrm dt} \hat x(t) = {i \over \hbar } [ \hat  H  , \hat x(t) ]=\frac {\hat p}{m},</math><br />
<math>{\mathrm d \over \mathrm dt} \hat p(t) = {i \over \hbar } [ \hat H  ,  \hat p(t) ]= -m \omega^{2}  \hat x.</math>
}}
これらをさらに時間微分し適当な初期条件
{{Indent|
<math>\dot{\hat p}(0)=-m\omega^{2} \hat x(0),</math><br />
<math>\dot{\hat x}(0)=\frac{\hat p(0)}{m}</math>
}}
を与えると下を得る。
{{Indent|
<math>\hat x(t)=\hat x_{0}\cos(\omega t)+\frac{\hat p_{0}}{\omega m}\sin(\omega t), </math><br />
<math>\hat p(t)=\hat p_{0}\cos(\omega t)-m\omega\hat x_{0}\sin(\omega t). </math>
}}
よって、直接交換関係を計算すると
{{Indent|
<math>[\hat x(t_{1}), \hat x(t_{2})]=\frac{i\hbar}{m\omega}\sin(\omega t_{2}-\omega t_{1}), </math><br />
<math>[\hat p(t_{1}), \hat p(t_{2})]=i\hbar m\omega\sin(\omega t_{2}-\omega t_{1}), </math><br />
<math>[\hat x(t_{1}), \hat p(t_{2})]=i\hbar \cos(\omega t_{2}-\omega t_{1}).  </math>
}}
同時刻 {{Math|1=''t''<sub>1</sub> = ''t''<sub>2</sub>}} においてはこの交換関係は[[正準交換関係]]に帰着することに注目すべきである。

== 脚注 ==
{{reflist}}

==参考文献==
*{{Cite book|和書|author=清水明|year=2004|title=新版 量子論の基礎―その本質のやさしい理解のために―|publisher=[[サイエンス社]]|id=ISBN 4-7819-1062-9|ref=harv}}
* {{cite book
  | last = Cohen-Tannoudji
  | first = Claude
  | authorlink = クロード・コーエン＝タヌージ
  | coauthors = Bernard Diu, Frank Laloe
  | title = Quantum Mechanics (Volume One)
  | publisher = Wiley
  | date = 1977
  | location = Paris
  | pages = 312-314
  | isbn = 047116433X }}

==関連項目==
* [[ヴェルナー・ハイゼンベルク]]
* [[シュレーディンガー描像]]
* [[相互作用描像]]
* [[ブラ-ケット記法]]

{{量子力学}}
{{Physics-stub|はいせんへるくひょうそう}}

{{DEFAULTSORT:はいせんへるくひょうそう}}
[[Category:量子力学]]
[[Category:ヴェルナー・ハイゼンベルク]]
[[Category:物理学のエポニム]]