ハイパー演算子のソースを表示

{{出典の明記|date=2017年12月}}
{{Expand English|Hyperoperation|date=2024年5月}}
'''ハイパー演算子'''（ハイパーえんざんし、hyper operator）は、[[加算]]、[[乗算]]、[[冪乗]]を一般化した[[二項演算|演算]]のための[[数学記号|演算子]]である。

==表記==
表記の制約のため、以後[[円 (数学)|丸]]囲み文字(①,②,③,…)を[[パーレン|丸かっこ]]入り文字 (''n'') で表すものとする。

加算演算子を上付き(1) (''a'' + ''b'' = ''a'' <sup>(1)</sup>''b'')、乗算演算子を上付き(2) (''ab'' = ''a'' <sup>(2)</sup>''b'')、冪乗演算子を上付き(3) (''a''<sup>''b''</sup> = ''a'' <sup>(3)</sup>''b'')で表し、それらを一般の[[非負整数]]''n''に一般化した上付き(n) (''a'' <sup>(n)</sup> ''b'') がハイパー演算子である。

それらを関数形式で表す hyper''n''、''n''を変数とした3変数関数 hyper も定義される。hyper1は加算、hyper2は乗算、hyper3は冪乗であり、さらにhyper4は[[テトレーション]] (tetration)、hyper5は[[ペンテーション]] (pentation)、hyper6はヘキセーション (hexation)･･･と呼ばれる。

''n'' = 0～4 の例は次のとおり。

:<math>\begin{align} \operatorname{hyper0} \left(a, b\right) = \operatorname{hyper}\left(a, 0, b\right) = a ^ {\left(0\right)} b =& b+1 \\
\operatorname{hyper1} \left(a, b\right) = \operatorname{hyper}\left(a, 1, b\right) = a ^ {\left(1\right)} b =& a+b \\
\operatorname{hyper2} \left(a, b\right) = \operatorname{hyper}\left(a, 2, b\right) = a ^ {\left(2\right)} b =& ab = \underbrace{ a+{a+{\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots+{a+{a}}}} }_{\text{長さ}b} = \int_{0}^{b}a\,db \\
\operatorname{hyper3} \left(a, b\right) = \operatorname{hyper}\left(a, 3, b\right) = a ^ {\left(3\right)} b =& a^b = a \uparrow b = \underbrace{ a\times{a\times{\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\times{a\times{a}}}} }_{\text{長さ}b} \\
\operatorname{hyper4} \left(a, b\right) = \operatorname{hyper}\left(a, 4, b\right) = a ^ {\left(4\right)} b =& \,^b a = a \uparrow
\uparrow b = \underbrace{ a^{a^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{a^{a}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} }_{\text{高さ}b} \end{align} </math>

hyper0は、第2[[被演算子]] ''b'' の[[後者関数]]（第1被演算子 ''a'' は無視される）とする。ただし、他の定義を使うこともある。

''n'' &gt; 4 の場合は次のように定める。これは ''n'' &gt; 1 の場合全てに成り立つが、''n'' = 1 では成り立たない。

:<math>\operatorname{hyper}n \left(a, b\right) = \operatorname{hyper}\left(a, n, b\right) = a ^ {\left(n\right)} b = \underbrace{ a ^{\left(n-1\right)} a ^{\left(n-1\right)} \cdots ^{\left(n-1\right)} a }_{b \text{ copies of } a}</math>

==他の表記法との関係==
''n'' &ge; 3 に対しては、[[クヌースの矢印表記]]や[[コンウェイのチェーン表記]]との間に次の関係が成り立つ。
:<math>\operatorname{hyper}(a, n, b) = a ^ {(n)} b = a \uparrow^{n-2} b = a \rightarrow b \rightarrow (n -2) \quad \mbox{ when } n \ge 3</math>

また、''n'' &ge; 1 に対しては、Bowerの拡張演算子 (Jonathan Bowers' Extended Operator) との間に次の関係が成り立つ。
:<math>\operatorname{hyper}(a, n, b) = a ^ {(n)} b = a \langle n \rangle b \quad \mbox{ when } n \ge 1</math>

==再帰的定義==
次のように[[再帰的]]に定義できる。''b'' = 0のときの[[例外]]処理が''n''によって違うことに注意。
:<math>
  \operatorname{hyper}(a, n, b) = a ^ {(n)} b=
   \begin{cases}
    b+1, & \mbox{if }n=0 \\
    a, & \mbox{if }n=1,b=0 \\
    0, & \mbox{if }n=2,b=0 \\
    1, & \mbox{if }n\ge 3,b=0 \\
    a ^ {(n-1)} ( a ^ {(n)} (b - 1)) & \mbox{otherwise}
   \end{cases}
 </math>

==実数への拡張==
冪乗を[[指数関数]]に拡張したような、''b''、''n'' の実数への自然な拡張はなされていない。

==下付きハイパー演算子==
''n'' &ge; 3（冪乗） 以上では[[結合律]]が成り立たないので、右からの優先順位が定められていて、
:<math>\operatorname{hyper}\left(n+1\right) \left(a, b\right) = a ^ {\left(n+1\right)} b = \underbrace{ a ^{\left(n\right)} a ^{\left(n\right)} \cdots ^{\left(n\right)} a ^{\left(n\right)} a}_{b\text{ copies of }a}  = \underbrace{ a ^{\left(n\right)} \left(a ^{\left(n\right)} \cdots ^{\left(n\right)} \left(a ^{\left(n\right)} a\right)\cdots\right) }_{b\text{ copies of }a}</math>
である。

それに対し、ハイパー演算子を下付きにすることで、優先順位を左からとする演算を表せる。つまり、
:<math>\operatorname{hyper}_{n+1} \left(a, b\right) = a _ {\left(n+1\right)} b = \underbrace{ \left(\cdots\left( a ^{\left(n\right)} a\right) ^{\left(n\right)} \cdots ^{\left(n\right)} a\right) ^{\left(n\right)} a}_{b\text{ copies of }a}</math>
である。

ただし、下付きハイパー''n''+1演算子はハイパー''n''演算子を使って簡単に表せる、たとえば
:<math>a _{\left(4\right)} b = a _{\left(3\right)} a _{\left(3\right)} \left(b-1\right) = a ^ {a ^ {\left(b-1\right)}}</math>
（冪乗法則より）なので、本質的に新しい演算ではなく、下付きハイパー演算子の用途はあまりない。

==外部リンク==
*[http://www.mrob.com/pub/math/largenum.html Large Numbers] {{en icon}}

{{巨大数}}
{{二項演算}}
{{デフォルトソート:はいはあえんさんし}}
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