ハミルトンベクトル場のソースを表示

{{no footnotes|date=June 2015}}
[[数学]]および[[物理学]]において、[[シンプレクティック多様体]]上の'''ハミルトンベクトル場'''（ハミルトンベクトルば、{{lang-en-short|Hamiltonian vector field}}）は、任意の'''エネルギー関数'''あるいは'''ハミルトニアン'''に対して定義される[[ベクトル場]]である。名前は物理学者・数学者の[[ウィリアム・ローワン・ハミルトン]]に因む。<!--ハミルトンベクトル場は[[古典力学]]における[[ハミルトン方程式]]の幾何学的な表現である。ハミルトンベクトル場の{{仮リンク|積分曲線|en|integral curve}}はハミルトン形式における動きの方程式の解を表す。ハミルトンベクトル場の[[フロー (数学)|]]から生じるシンプレクティック多様体の[[微分同相写像]]は、物理学において[[正準変換]]と呼ばれ、数学において（ハミルトン）[[シンプレクティック同相]]と呼ばれる。-->

ハミルトンベクトル場は系の時間発展に幾何学的な解釈を与える：相空間上の系の時間発展は、ハミルトンベクトル場のフローに一致する。すなわち、''H'' をハミルトニアンとし、(''q''(''t''), ''p''(''t'')) を ''H'' に関する正準方程式の解とするとき、(''q''(''t''), ''p''(''t'')) はハミルトンベクトル場の ''X{{sub|H}}'' の積分曲線 <math>e^{tX_H}</math> に一致する。

ハミルトンベクトル場はより一般に任意の[[ポアソン多様体]]上定義できる。多様体上の関数 ''f'', ''g'' に対応する2つのハミルトンベクトル場の{{仮リンク|ベクトル場のリー括弧|label=リー括弧|en|Lie bracket of vector fields}}はそれ自身ハミルトンベクトル場であり、そのハミルトニアンは ''f'' と ''g'' の[[ポワソンブラケット|ポアソン括弧]]により与えられる。

== 定義 ==
(''M'', ''ω'') を[[シンプレクティック多様体]]とする。''M'' 上の[[滑らかな関数]] <math> f \in C^{\infty}(M)</math> に対して、

: <math> \mathsf{d}f= \omega(X_{f},\cdot)</math>

を満たす ''M'' 上の[[ベクトル場]] ''X{{sub|f}}'' が唯一つ定まる。（''X{{sub|f}}'' の存在性はシンプレクティック形式 ''ω'' が非退化である事と[[外積代数]]の一般論から従う。）

''H'' を[[ハミルトニアン]]とするとき、ベクトル場 ''X{{sub|H}}'' を ''H'' から定まる'''ハミルトンベクトル場'''という。

ハミルトンベクトル場 ''X{{sub|H}}'' を[[ダルブー座標]] <math>(q_{1},\cdots,q_{n},p_{1},\cdots,p_{n})</math> を用いて表すと、

:<math> 
X_H = \sum_{i=1}^{n}
\left( \frac{\partial H}{\partial p_{i}} \frac{\partial}{\partial q_{i}}
-\frac{\partial H}{\partial q_{i}} \frac{\partial}{\partial p_{i}} \right)
</math>

と書ける。ここで、''M'' の次元は 2''n'' であるとした。

== 性質 ==

*対応 ''f'' ↦ ''X<sub>f</sub>'' は[[線型写像|線型]]であるので、2つのハミルトン関数の和は対応するハミルトンベクトル場の和へ変換される。

* (''q''<sup>1</sup>, ..., ''q<sup>n</sup>'', ''p''<sub>1</sub>, ..., ''p<sub>n</sub>'') を ''M'' 上の[[正準座標]]とする（上記参照）。すると、曲線 ''γ''(''t'') = (''q''(''t''), ''p''(''t'')) がハミルトンベクトル場 ''X<sub>H</sub>'' の[[積分曲線]]であることと、この曲線が次の{{仮リンク|ハミルトン方程式|en|Hamilton's equations}}の解であることは、同値である。

:<math>\dot{q}^i = \frac {\partial H}{\partial p_i}</math>
:<math>\dot{p}_i = - \frac {\partial H}{\partial q^i}.</math>

* ハミルトニアン ''H'' は積分曲線に沿って定数である。なぜならば、<math>\langle dH, \dot{\gamma}\rangle = \omega(X_H(\gamma),X_H(\gamma)) = 0</math> だからである。すなわち、''H''(''γ''(''t'')) は実は ''t'' とは独立である。この性質は、[[ハミルトン力学]]における[[エネルギー保存則]]と対応する。

* より一般に、2つの関数 ''F'' と ''H'' の[[ポアソンの括弧|ポアソン括弧]]（下記参照）が 0 であるとき、''F'' は ''H'' の積分曲線に沿って定数であり、同様に、''H'' は ''F'' の積分曲線に沿って定数である。この事実は[[ネーターの定理]]の背後にある抽象的な数学的原理である。

*[[シンプレクティック形式]] ''ω'' はハミルトンフローにより保存される。同じことであるが、[[リー微分]]は <math>\mathcal{L}_{X_H} \omega= 0</math> である。

==ポアソンの括弧==
ハミルトンベクトル場の考え方は、シンプレクティック多様体 ''M'' 上の微分可能な関数上の[[双線型形式|歪対称]]な双線型作用素である'''[[ポアソンの括弧|ポアソン括弧]]'''を導く。それは
 
:<math>\{f,g\} = \omega(X_g, X_f)= dg(X_f) = \mathcal{L}_{X_f} g</math>

で定義される。ここに、<math>\mathcal{L}_X</math> はベクトル場 ''X'' に沿った[[リー微分]]を表す。さらに、次の等式が成り立つ。

: <math> X_{\{f,g\}}= [X_f,X_g]. </math>

ここに右辺はハミルトニアン ''f'' と ''g'' を持つハミルトンベクトル場のリー括弧を表す。したがって（[[ポアソンの括弧|ポアソン括弧]]の証明より）、ポアソン括弧は[[ヤコビ恒等式]]

: <math> \{\{f,g\},h\}+\{\{g,h\},f\}+\{\{h,f\},g\}=0</math>

を満たす。これは以下のことを意味する。''M'' 上の可微分関数全体のなすベクトル空間にポアソン括弧を与えると '''R''' 上の[[リー代数|リー環]]の構造を持ち、対応 ''f'' ↦ ''X<sub>f</sub>'' は[[リー環準同型]]であり、その[[核 (線型代数学)|核]]は局所定数関数（''M'' が連結ならば定数関数）からなる。

== 参考文献 ==
* {{cite book|last=Abraham|first=Ralph|authorlink=Ralph Abraham|author2=Marsden, Jerrold E. |authorlink2=Jerrold E. Marsden |title=Foundations of Mechanics|publisher=Benjamin-Cummings|location=London|year=1978|isbn=9780805301021 }}''See section 3.2''.
* {{cite book|last=Arnol'd|first=V.I.|authorlink=Vladimir Arnold|title=Mathematical Methods of Classical Mechanics|publisher=Springer |location=Berlin etc|year=1997|isbn=0-387-96890-3}}
* {{cite book|last=Frankel|first=Theodore|title=The Geometry of Physics|publisher=Cambridge University Press|location=Cambridge|year=1997|isbn=0-521-38753-1}}
* {{cite book|last=McDuff|first=Dusa|author2=Salamon, D.|authorlink=Dusa McDuff|title=Introduction to Symplectic Topology|series=Oxford Mathematical Monographs|year=1998|isbn=0-19-850451-9}}

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