ハミルトン力学のソースを表示

{{出典の明記|date=2011年7月}}
{{古典力学}}
'''ハミルトン力学'''（ハミルトンりきがく、[[英語]]：{{lang|en|Hamiltonian mechanics}}）は、[[一般化座標]]と一般化運動量を基本変数として記述された[[古典力学]]である。[[イギリス]]の物理学者[[ウィリアム・ローワン・ハミルトン]]が創始した。[[ラグランジュ力学]]と同様に[[ニュートン力学]]を再定式化した[[解析力学]]の一つの定式化/記述法である。

== 概要 ==
ハミルトン形式の解析力学は、[[ラグランジュ形式]]から'''[[ルジャンドル変換]]'''で移行することにより得られる。
最初はニュートン力学の分野において成立したものであるが、ラグランジュ形式と同様に幅広い分野に応用されている。

特に[[量子力学]]においては、古典力学のハミルトン形式での[[物理量]]を[[演算子 (物理学)|演算子]]に置き換え、演算子の間に正準交換関係を設定する[[正準量子化]]の手続きによって量子化を行う。

また量子多体論において用いられる[[TDHF]]近似は、ある変換の下でハミルトン力学と等価である事が知られている。この事は[[古典力学]]が単なる[[量子力学]]の近似ではなくて、この世界における何らかの事実を表しているという期待を持たせる。

ハミルトン形式では運動方程式は[[一般化座標]]と一般化運動量を用いて記述されており、その方程式は両者に対して（符号を除いて）対称的となっている。力学変数の数が2倍になるので運動方程式の数も増すが、二階微分方程式は一階微分方程式になる。

== 定式化 ==
[[File:Hamiltonian and Equation of motion.jpg|thumb|ハミルトン力学における[[ルジャンドル変換]]に{{仮リンク|Thermodynamic square|en|Thermodynamic square}}を適用したときの正準方程式。]]
ハミルトン形式において、力学系の運動状態を指定する力学変数は'''[[一般化座標]]''' <math>q(t) = (q_1(t),\ldots )</math> と'''一般化運動量''' <math>p(t) = (p_1(t),\ldots )</math> である。力学系の性質は一般化座標と一般化運動量、および時間を変数とする'''ハミルトン関数'''（'''ハミルトニアン'''） <math>H(p,q;t)</math> によって記述される。

ハミルトン形式において、作用汎関数は時間積分
{{Indent|
<math>S[p,q] =\int_{t_\text{i}}^{t_\text{f}} \left[ \sum_i p_i(t)\, \dot{q}_i(t) -H(p,q;t) \right] dt</math>
}}
として与えられる。力学変数 p,q は束縛条件の下で可能なあらゆる運動状態を取り得るが、[[最小作用の原理]]（変分原理、停留条件）により実際に起こる運動が導かれる。

作用の停留条件から導かれる運動方程式は
{{Indent|
<math>\frac{\partial S[p,q]}{\delta p_i(t)} =\dot{q}_i(t) -\frac{\partial H}{\partial p_i} =0</math>
}}
{{Indent|
<math>\frac{\partial S[p,q]}{\delta q_i(t)} =-\dot{p}_i(t) -\frac{\partial H}{\partial q_i} =0</math>
}}
である。この運動方程式は'''正準方程式'''、或いは'''ハミルトン方程式'''と呼ばれる。

ハミルトン形式において[[物理量]]は一般化座標、一般化運動量、および時間の関数
<math>A(\boldsymbol{p},\boldsymbol{q},t)</math> として書かれる。物理量の時間微分は
{{Indent|
<math>\dot{A} = \dot{q}_i\, \frac{\partial A}{\partial q_i}
 +\frac{\partial A}{\partial p_i} \dot{p}_i
 +\frac{\partial A}{\partial t}
 = \frac{\partial H}{\partial p_i} \frac{\partial A}{\partial q_i}
 -\frac{\partial A}{\partial p_i} \frac{\partial H}{\partial q_i}
 +\frac{\partial A}{\partial t}</math>
}}
となる。特にハミルトニアンの時間微分は
{{Indent|
<math>\dot{H}= \frac{\partial H}{\partial p_i} \frac{\partial H}{\partial q_i}
 -\frac{\partial H}{\partial p_i} \frac{\partial H}{\partial q_i}
 +\frac{\partial H}{\partial t}
 =\frac{\partial H}{\partial t}</math>
}}
である。

=== ハミルトニアン ===
'''ハミルトニアン'''は[[ラグランジアン]]から
{{Indent|
<math>H(p,q,t) = \sum_i p_i\, \dot{q}_i(p,q,t) -L(q, \dot{q}(p,q,t), t)</math>
}}
で定義される。

ラグランジアンが
{{Indent|
<math>L(q,\dot{q},t) = \sum_i \frac{\alpha_i(q)}{2}\dot{q}_i^2 -V(q)</math>
}}
の形で書かれている場合のハミルトニアンは
{{Indent|
<math>H(p,q,t)=\sum_i \frac{1}{2\alpha_i(q)}p_i^2+V(q)</math>
}}
となり、[[運動エネルギー]]と[[ポテンシャルエネルギー]]の和、すなわち、系の全[[エネルギー]]であることが分かる。
ハミルトニアンの時間微分は
{{Indent|
<math>\dot{H} =\frac{\partial H}{\partial t}</math>
}}
であり、ハミルトニアンが陽に時間に依存しないときには全系のエネルギーが保存する。

なお、ハミルトニアンは一般化座標、一般化運動量、および時間の関数として書かれている量であり、引数が違えば大きさが同じであってもハミルトニアンではない。
ハミルトニアンの定義式内での一般化速度は、一般化運動量の定義式を逆に解いて一般化座標、一般化運動量、および時間の関数 <math>\dot{q}_i(p,q,t)</math> として書かれている。

== 正準変換 ==
一般化座標 q、一般化運動量 p から、変換を行って
{{Indent|
<math>P_i = P_i(p,q,t),\quad Q_i=Q_i(p,q,t)</math>
}}
をしたとき、P,Q と時間の関数として書かれた新たなハミルトニアン H'(P,Q,t) を用いて、
{{Indent|
<math>\dot{Q}_i = \frac{\partial H'}{\partial P_i},~
\dot{P}_i = -\frac{\partial H'}{\partial Q_i}</math>
}}
となるとき、この変換を'''正準変換'''と言う。
一般化座標と一般化運動量は正準変換によって相互に混ざり合い、両者の区別は曖昧なものとなる。
一般化座標と一般化運動量を総称して'''正準共役量'''と呼ぶ。

正準共役量 p,q によって張られる空間は[[位相空間 (物理学)|位相空間]]と呼ばれ、正準変換は二つの位相空間を対応付ける変換である。

== ポアソン括弧 ==
'''[[ポアソン括弧]]'''（ポアソンの括弧式）とは、正準変数と時間の関数として書かれた[[物理量]] A, Bに対して、
{{Indent|
<math>\{ A, B \} = \sum_i \biggl(
 \frac{\partial A}{\partial p_i}\frac{\partial B}{\partial q_i}
 -\frac{\partial B}{\partial p_i}\frac{\partial A}{\partial q_i}
 \biggr)</math>
}}
で定義される物理量である。

物理量の時間微分はハミルトニアンとのポアソン括弧を用いて
{{Indent|
<math>\dot{A} = \{ H, A \} +\frac{\partial A}{\partial t}</math>
}}
となる。物理量が陽に時間に依存しないときは
{{Indent|
<math>\dot{A} = \{ H, A \}</math>
}}
となる。

[[量子力学]]ではポアソン括弧は[[正準量子化]]の手続きによって、[[正準交換関係]]と対応付けられる。

== 導出 ==
ラグランジアン <math>L(q_i,\dot{q}_i,t)</math> の[[全微分]]は
{{Indent|
<math>dL = \sum_i \biggl(
 dq_i\, \frac{\partial L}{\partial q_i}
 +d\dot{q}_i\, \frac{\partial L}{\partial\dot{q}_i}
 \biggr) +\frac{\partial L}{\partial t} dt
</math>
}}
である。
一般化運動量は
<math>p_i=\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_i}</math>
で定義され、[[ラグランジュ力学|ラグランジュの運動方程式]]から
<math>\dot{p}_i=\frac{\partial L}{\partial q_i}</math>
である。これを用いて先ほどの全微分を書き換えれば、
{{Indent|
<math> \begin{align}
dL &=\sum_i (dq_i\, \dot{p}_i +d\dot{q}_i\, p_i)
 +\frac{\partial L}{\partial t}dt \\
 &= \sum_i (dq_i\, \dot{p}_i -\dot{q}_i\, dp_i +d(\dot{q}_i\, p_i)]
 +\frac{\partial L}{\partial t} dt \\
\end{align}</math>
}}
となる。全微分を移項して
{{Indent|
<math>d\Bigl(\sum_i \dot{q}_i\, p_i -L \Bigr)
 = \sum_i (\dot{q}_i\, dp_i -dq_i\, \dot{p}_i)
 -\frac{\partial L}{\partial t} dt
</math>
}}
となる。ハミルトニアン
{{Indent|
<math>H(p,q,t) =\sum_i \dot{q}_i(p,q,t)\, p_i -L(q, \dot{q}(p,q,t), t)</math>
}}
を定義すれば、
{{Indent|
<math> \begin{align}
dH & =\sum_i \bigg(\frac{\partial H}{\partial p_i} dp_i
 +dq_i \frac{\partial H}{\partial q_i}
 \biggr) +\frac{\partial H}{\partial t} dt
 = \sum_i (\dot{q}_i\, dp_i -dq_i\, \dot{p}_i)
 -\frac{\partial L}{\partial t} dt
\end{align} </math>
}}
となり、
{{Indent|
<math>\dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i},~
\dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i},~
\frac{\partial H}{\partial t} =-\frac{\partial L}{\partial t}</math>
}}
を得る。
<!--
== 脚注 ==
<references />-->

== 参考文献 ==
* {{Cite book|和書
|author1=L.D.ランダウ|authorlink1=レフ・ランダウ|author2=E.M.リフシッツ|authorlink2=エフゲニー・リフシッツ
|title=力学
|publisher=[[東京図書出版]]
|series=[[理論物理学教程]]
|year=1974
|isbn=4-489-01160-1
}}
* {{Cite book|和書
|author=江沢洋|authorlink=江沢洋
|title=解析力学
|publisher=[[培風館]]
|series=新物理学シリーズ
|year=2007
|isbn=978-4-563-02436-9
}}

== 関連項目 ==
*[[変分原理]]
*[[シンプレクティック幾何学]] - [[ハミルトンベクトル場]]
*[[ハミルトン場の理論]]
{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:はみるとんりきかく}}
[[Category:ハミルトン力学|*]]
[[Category:ウィリアム・ローワン・ハミルトン]]
[[Category:物理学のエポニム]]