ハルトークスの定理のソースを表示

{{dablink|本項において解説されるものの他にもハルトークスの定理と呼ばれるものがある：可除特異点に関する[[ハルトークスの拡張定理|ハルトークスの補題]]、公理的集合論における[[ハルトークス数]]に関する結果、[[ハルトークスの拡張定理]]。}}

[[数学]]における'''ハルトークスの定理'''（ハルトークスのていり、{{Lang-en-short|Hartogs' theorem}}）とは、[[フリードリヒ・ハルトークス]]によって証明された、[[多変数複素函数論]]において基礎となる一結果である。大雑把には、「別々に解析的」な函数は連続であるということが述べられている。正確に言うと、<math>F\colon{\mathbf{C}}^n \to {\mathbf{C}}</math> が他の変数を定数として固定したときの各変数 ''z''<sub>''i''</sub>, 1 &le; ''i'' &le; ''n'' について[[解析関数|解析的な函数]]であるなら、''F'' は[[連続 (数学)|連続函数]]であるということが述べられている。

この結果の[[系 (数学)|系]]として、''F'' は実は ''n'' 変数の意味で解析函数である（すなわち、局所的に[[テイラー展開]]を持つ）というものがある。したがって、多変数複素函数論において「別々に解析的であること」と「解析性」は同一の概念となる。

さらに函数が連続（あるいは有界）であるという仮定を付け加えると、証明がはるかに容易となり、この形は[[オズグットの補題]]として知られている。

ここで[[実数|実変数]]に対してこの[[定理]]と類似の結果は得られないことに注意されたい。すなわち、ある函数 <math>f \colon {\mathbf{R}}^n \to {\mathbf{R}}</math> が各変数について[[微分可能関数|微分可能]]（あるいは[[解析関数|解析的]]）であっても、<math>f</math> は必ずしも連続とはならない。二次元の場合のその反例として、次の函数が挙げられる。

:<math>f(x,y) = \frac{xy}{x^2+y^2}.</math>

さらに <math>f(0,0)=0</math> と定義すると、この函数は原点において <math>x</math> および <math>y</math> についての well-defined な[[偏微分]]を持つが、''f'' は原点において[[連続関数|連続]]ではない。実際、直線 <math>x=y</math> および <math>x=-y</math> のそれぞれに沿った[[極限]]は異なる値となり、''f'' を原点において連続となるように定義することはできない。


== 参考文献 ==
* Steven G. Krantz. ''Function Theory of Several Complex Variables'', AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 1992.

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