ハルナックの不等式のソースを表示

[[数学]]における'''ハルナックの不等式'''（ハルナックのふとうしき、{{Lang-en-short|Harnack's inequality}}）とは、ある正の[[調和函数]]の二点での値を関連付ける[[不等式]]で、{{harvs|txt|authorlink=:en:Carl Gustav Axel Harnack|first=A.|last=Harnack|year=1887}} によって導入された。{{harvs|txt|first=J. |last=Serrin|authorlink=:en:James Serrin|year=1955}} と {{harvs|txt|last=Moser|first=J.|authorlink=:en:Jürgen Moser |year1=1961|year4=1964}} はハルナックの不等式を、楕円型あるいは放物型[[偏微分方程式]]の解へと一般化した。[[ポアンカレ予想]]に対する[[グリゴリー・ペレルマン]]の解法では、{{harvs|txt|first=R.|last=Hamilton|authorlink=:en:Richard Hamilton (mathematician)|year=1993|txt}} によって発見された[[リッチフロー]]に対するハルナックの不等式のある変形版が用いられている。ハルナックの不等式は、調和函数の列の収束に関する[[ハルナックの原理|ハルナックの定理]]を証明するためにも用いられる。また、ハルナックの不等式は、偏微分方程式の弱解の内部での[[ヘルダー条件|正則性]]を示すためにも使うことができる。

== 内容 ==

'''ハルナックの不等式'''は '''R'''<sup>''n''</sup> 内の ''x''<sub>0</sub> を中心とする半径 ''R'' の閉球上で定義される非負函数 ''f'' に対して適用される。''f'' がその閉球上で連続であり、その内部で[[調和函数|調和的]]であるなら、|''x'' - ''x''<sub>0</sub>| = ''r'' < ''R'' を満たす任意の点 ''x'' に対して次が成り立つ。

:<math>\displaystyle{{1-(r/R)\over [1+(r/R)]^{n-1}}f(x_0)\le f(x) \le  {1+(r/R)\over [1-(r/R)]^{n-1}} f(x_0).}</math>

''n'' = 2 の場合、平面 ''R''<sup>2</sup> に対してこの不等式は次のように書き換えられる。

:<math>{R-r\over R+r} f(x_0)\le f(x)\le {R+r\over R-r}f(x_0).</math>

<math>\mathbf{R}^n</math> 内の一般の領域 <math>\Omega</math> に対するハルナックの不等式は次のようなものである。<math>\omega</math> は <math>\bar{\omega} \subset \Omega</math> を満たす有界領域とする。このとき、次を満たすある定数 <math>C</math> が存在する。

:<math> \sup_{x \in \omega} u(x) \le C \inf_{x \in \omega} u(x).</math>

ただし <math>u(x)</math> は任意の二回微分可能な非負の調和函数である。定数 <math>C</math> は <math>u</math> に独立であり、定義域にのみ依存する。

== 球内でのハルナックの不等式の証明 ==

[[ポアソン核|ポアソンの公式]]より、

:<math>\displaystyle{f(x) = {1\over \omega_{n-1}} \int_{|y-x_0|=R} {R^2 -r^2\over R|x-y|^n}\cdot f(y)\, dy}</math>

が成立する。ただし ω<sub>''n'' − 1</sub> は '''R'''<sup>''n''</sup> 内の単位球面の面積であり、''r'' = |''x'' - ''x''<sub>0</sub>| である。

今

:<math>\displaystyle{R-r \le |x-y| \le R+r}</math>

であるため、上の被積分函数の中にある核は次の不等式評価を満たす。

:<math>\displaystyle{{R -r\over R (R+r)^{n-1}} \le {R^2 -r^2\over R|x-y|^n}\le {R+r\over R(R-r)^{n-1}}.}</math>

この不等式を上述の積分に代入し、調和函数の球面についての平均はその球面の中心での函数の値と等しい、すなわち

:<math>\displaystyle{f(x_0)={1\over R^{n-1}\omega_{n-1}} \int_{|y-x_0|=R} f(y)\, dy}</math>

という事実を用いることで、ハルナックの不等式は示される。

== 楕円型偏微分方程式 ==

楕円型偏微分方程式に対するハルナックの不等式は、ある連結開領域内の正の解の上限は、その下限とあるデータの汎函数のノルムを含む項の和にある定数を掛けたものによって上から評価される。すなわち

:<math>\sup u \le C ( \inf u + ||f||)</math>

が成り立つ。この定数は方程式の楕円度（ellipticity）と連結開領域に依存する。

== 放物型偏微分方程式 ==

[[熱方程式]]のような線型の[[放物型偏微分方程式]]に対しても、ハルナックの不等式は存在する。

<math>\mathcal{M}</math> を <math>\mathbb{R}^n</math> 内のある滑らかな領域とし、次の線型の放物型作用素を考える。

: <math>\mathcal{L}u=\sum_{i,j=1}^n a_{ij}(t,x)\frac{\partial^2 u}{\partial x_i\,\partial x_j}+\sum_{i=1}^n b_i(t,x)\frac{\partial u}{\partial x_i} + c(t,x)u. </math>

ここで各係数は滑らかかつ有界で、行列 <math>(a_{ij})</math> は正定値であるとする。<math>u(t,x)\in C^2((0,T)\times\mathcal{M})</math> は不等式

: <math>\frac{\partial u}{\partial t}-\mathcal{L}u\ge0</math> 

および

: <math>\quad u(t,x)\ge0</math>

を満たす <math>(0,T)\times\mathcal{M}</math> 内の解とする。

<math>K</math> を <math>\mathcal{M}</math> のコンパクトな部分空間とし、<math>\tau\in(0,T)</math> を選ぶ。このとき、<math>K</math>、<math>\tau</math> および <math>\mathcal{L}</math> の係数にのみ依存するある定数 <math>\quad C>0</math> が存在し、各 <math>\quad t\in(\tau,T)</math> に対して次が成立する。

: <math>\sup_K u(t-\tau,\cdot)\le C\inf_K u(t,\cdot).\,</math>

== 関連項目 ==

* [[ハルナックの原理|ハルナックの定理]]
* [[調和関数]]

== 参考文献 ==

*{{Citation |title=Fully Nonlinear Elliptic Equations |last=Caffarelli |first=Luis A. |coauthors=Xavier Cabre |year=1995 |publisher=American Mathematical Society |location=Providence, Rhode Island |pages=31–41 |isbn=0-8218-0437-5}}
*{{citation|last=Folland|first= Gerald B.|title= Introduction to partial differential equations|edition=2nd|publisher=[[プリンストン大学出版局|Princeton University Press]]|year=1995|id= ISBN 0-691-04361-2}}
*{{Citation |title= Elliptic Partial Differential Equations of Second Order |last=Gilbarg |first=David |coauthors=Neil S. Trudinger | year=1988| publisher=Springer |isbn=3-540-41160-7}}
*{{Citation | last1=Hamilton | first1=Richard S. | title=The Harnack estimate for the Ricci flow |mr=1198607 | year=1993 | journal=Journal of Differential Geometry | issn=0022-040X | volume=37 | issue=1 | pages=225–243}}
*{{citation|first=A. |last=Harnack|title=Die Grundlagen der Theorie des logarithmischen Potentiales und der eindeutigen Potentialfunktion in der Ebene|publisher=V. G. Teubner|place= Leipzig  |year=1887|url=https://archive.org/details/vorlesunganwend00weierich}}
*{{citation|last=John|first= Fritz|title=Partial differential equations|edition=4th|series= Applied Mathematical Sciences|volume= 1|publisher= Springer-Verlag|year= 1982|id= ISBN 0-387-90609-6}}
*{{SpringerEOM|title=Harnack theorem|last= Kamynin|first=L.I.|urlname=Harnack_theorem}}
*{{SpringerEOM|title=Harnack inequality|last1= Kamynin|first1=L.I.|last2= Kuptsov|first2=L.P.|urlname=Harnack_inequality}}
*{{Citation | last1=Moser | first1=Jürgen | title=On Harnack's theorem for elliptic differential equations |mr=0159138 | year=1961 | journal=[[Communications on Pure and Applied Mathematics]] | volume=14 | issue=3 | pages=577–591 | doi=10.1002/cpa.3160140329}}
*{{Citation | last1=Moser | first1=Jürgen | title=A Harnack inequality for parabolic differential equations |mr=0159139 | year=1964 | journal=[[Communications on Pure and Applied Mathematics]] | volume=17 | issue=1 | pages=101–134 | doi=10.1002/cpa.3160170106}}
*{{Citation | last1=Serrin | first1=James | title=On the Harnack inequality for linear elliptic equations |mr=0081415 | year=1955 | journal=Journal d'Analyse Mathématique | volume=4 | issue=1 | pages=292–308 | doi=10.1007/BF02787725}}
*L. C. Evans (1998), ''Partial differential equations''. American Mathematical Society, USA. For elliptic PDEs see Theorem 5, p.&nbsp;334 and for parabolic PDEs see Theorem 10, p.&nbsp;370.

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:はるなつくのふとうしき}}
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