ハーシャッド数のソースを表示

'''ハーシャッド数'''（ハーシャッドすう、{{lang-en-short|harshad number}}）とは、[[自然数]]の各位の[[数字和]]が元の数の[[約数]]に含まれている[[自然数]]である。

例えば、[[315]]の約数は ([[1]], [[3]], [[5]], [[7]], [[9]], [[15]], [[21]], [[35]], [[45]], [[63]], [[105]], 315) であって、各位の和は 3 + 1 + 5 = 9 である。9は315の約数なので、315はハーシャッド数である。

ハーシャッド数は[[インド]]の[[数学者]] [[ダッタトリヤ・ラムチャンドラ・カプレカル|D. R. カプレカル]]（[[英語]]表記: D. R. Kaprekar、[[カプレカー数]]の考案者でもある）によって定義され、[[サンスクリット語]]の {{IAST|harṣa}} （喜び）と {{IAST|da}} （与える）が語源である。[[イヴァン・ニーベン]]の名を冠し、ニーベン数（Niven number）とも呼ばれる。

ハーシャッド数は無数に存在し、そのうち最小の数は1である。[[十進法]]でのハーシャッド数を1から小さい順に列記すると
:[[1]], [[2]], [[3]], [[4]], [[5]], [[6]], [[7]], [[8]], [[9]], [[10]], [[12]], [[18]], [[20]], [[21]], [[24]], [[27]], [[30]], [[36]], [[40]], [[42]], [[45]], [[48]], [[50]], [[54]], [[60]], [[63]], [[70]], [[72]], [[80]], [[81]], [[84]], [[90]], [[100]], …（{{OEIS|A005349}}）

== 定義 ==
自然数 ''X'' を ''n'' 進法で ''m'' 桁の数とする。右端から ''k'' 桁目の数字を ''a<sub>k</sub>'' (''k'' = 1, 2, 3, …, ''m'') とすると、
:<math>X = \sum_{k=1}^{m} a_k n^{k-1}</math>
である。
:<math>X = A\sum_{k=0}^{m} a_k</math>
を満たす自然数 ''A'' が存在するとき、''X'' は ''n'' 進法での'''ハーシャッド数'''である。

== 性質 ==
''n'' 進法の場合、1 から ''n'' までの数および ''n''<sup>''k''</sup>（''k'' は自然数）<ref>''n''<sup>''k''</sup> は、最上位桁の 1 ひとつと 0 だけで構成されているので、必ず各位の和が 1 になる。</ref>は必ずハーシャッド数である。特に 1, 2, 4, 6 の 4 数だけは何進法においてもハーシャッド数となる。

ハーシャッド数は 1 桁の[[素数]]と 10 自体が素数である場合を除いて全て[[合成数]]である。

[[w:Helen G. Grundman|H. G. Grundman]] は[[1994年]]に、十進法では 21 個以上の連続する自然数が全てハーシャッド数になるような組はないことを証明した。また彼は 20 個の連続する自然数が全てハーシャッド数になる最小の組を見つけ、それらは 10<sup>44363342786</sup> を超える数である。[[二進法]]では 4 つの連続する自然数が全てハーシャッド数であるような組は無数に存在し、[[三進法]]では 6 つの連続する自然数が全てハーシャッド数であるような組が無数に存在する。これらの事実は [[w:T. Tony Cai|T. Cai]] によって[[1996年]]に証明された。一般的にそれらの数の組は ''n'' 進法で ''N'' &times; ''n''<sup>''k''</sup> &minus; ''n'' から ''N'' &times; ''n''<sup>''k''</sup> + (''n'' &minus; 1) までの連続する 2''n'' 個の数である。ここで ''N'' はある定数で ''k'' は比較的大きな数である。

数の間に 0 が連続して続く数を使って無数にハーシャッド数を作ることができる。例えば 21 を使うと、21, 201, 2001, 20001 などは全てハーシャッド数になる。

自然数 ''x'' 以下のハーシャッド数の個数を ''N''(''x'') とおくと、どんな正の数 ε に対しても以下の式が成り立つ。
:<math>x^{1-\varepsilon} \ll N(x) \ll \frac{x\log\log x}{\log x}</math>
これは [[w:Jean-Marie De Koninck|Jean-Marie De Koninck]] と Nicolas Doyon によって証明された。De Koninck、Doyon、Kátai はまた
:<math>N(x) = (c+o(1))\frac{x}{\log x}</math>
を証明した。ただし ''c'' = {{sfrac|14|27}} log10 = 1.1939… である。

[[各位の和]] (ハーシャッド数の基数、数字和) が1, 3, 9となる数はすべてハーシャッド数である。特に[[10の冪|10の累乗数]]はすべてハーシャッド数である。

== 一覧 ==
{| class="wikitable"
|+ ハーシャッド数（十進数）
! 基数<BR>(各位の和) !! 10000以下の<BR>個数 !! 値の例 !! 値の詳細 
|-
| <center>[[1]]</center> || <center>5</center> || [[1]], [[10]], [[100]], [[1000]], [[10000]], [[100000]], [[1000000]], [[10000000]], [[100000000]], … || {{OEIS2C|A011557}}
|-
| <center>[[2]]</center> || <center>7</center> || [[2]], [[20]], [[110]], [[200]], [[1010]], [[1100]], [[2000]], 10010, 10100, 11000, [[20000]],… || {{OEIS2C|A069537}}
|-
| <center>[[3]]</center> || <center>20</center> || [[3]], [[12]], [[21]], [[30]], [[102]], [[111]], [[120]], [[201]], [[210]], [[300]], [[1002]], [[1011]],… || {{OEIS2C|A052217}}
|-
| <center>[[4]]</center> || <center>12</center> || [[4]], [[40]], [[112]], [[220]], [[400]], [[1012]], [[1120]], [[1300]], [[2020]], [[2200]], 3100, [[4000]],… || {{OEIS2C|A063997}}
|-
| <center>[[5]]</center> || <center>22</center> || [[5]], [[50]], [[140]], [[230]], [[320]], [[410]], [[500]], [[1040]], [[1130]], [[1220]], [[1310]], [[1400]], [[2030]],… || {{OEIS2C|A069540}}
|-
| <center>[[6]]</center> || <center>50</center> || [[6]], [[24]], [[42]], [[60]], [[114]], [[132]], [[150]], [[204]], [[222]], [[240]], [[312]], [[330]],… || {{OEIS2C|A062768}}
|-
| <center>[[7]]</center> || <center>18</center> || [[7]], [[70]], [[133]], [[322]], [[511]], [[700]], [[1015]], 1141, [[1204]], [[1330]], [[2023]], 2212,… || {{OEIS2C|A063416}}
|-
| <center>[[8]]</center> || <center>25</center> || [[8]], [[80]], [[152]], [[224]], [[440]], [[512]], [[800]], [[1016]], 1160, [[1232]], 1304, [[1520]],… || {{OEIS2C|A069543}}
|-
| <center>[[9]]</center> || <center>220</center> || [[9]], [[18]], [[27]], [[36]], [[45]], [[54]], [[63]], [[72]], [[81]], [[90]], [[108]], [[117]], [[126]],… || {{OEIS2C|A052223}}
|-
| <center>[[10]]</center> || <center>63</center> || [[190]], [[280]], [[370]], [[460]], [[550]], [[640]], [[730]], [[820]], [[910]], [[1090]], 1180,… || {{OEIS2C|A218292}}
|-
| <center>[[11]]</center> || <center>16</center> || [[209]], [[308]], [[407]], [[506]], [[605]], [[704]], [[803]], [[902]], 2090, 3080,… ||{{OEIS2C|A283742}}
|-
| <center>[[12]]</center> || <center>113</center> || [[48]], [[84]], [[156]], [[192]], [[228]], [[264]], [[336]], [[372]], [[408]], [[444]],… ||{{OEIS2C|A333814}}
|-
| <center>[[13]]</center> || <center>36</center> || [[247]], [[364]], [[481]], [[715]], [[832]], [[1066]], 1183, 1417, 1534, 1651,… ||{{OEIS2C|A283737}}
|-
| <center>[[14]]</center> || <center>41</center> || [[266]], [[392]], [[518]], [[644]], [[770]], 1148, 1274, 1526, 1652, [[1904]], 2156,… ||
|-
| <center>[[15]]</center> || <center>136</center> || [[195]], [[285]], [[375]], [[465]], [[555]], [[645]], [[690]], [[735]], [[780]], [[825]],…||
|-
| <center>[[16]]</center> || <center>41</center> || [[448]], [[592]], [[736]], [[880]], 1168, 1456, 1744, 2176, 2464, 2608,… ||
|-
| <center>[[17]]</center> || <center>41</center> || [[476]], [[629]], [[782]], 935, 1088, 1394, 1547, 1853, 2159, 2465,… ||
|-
| <center>[[18]]</center> || <center>335</center> || [[198]], [[288]], [[378]], [[396]], [[468]], [[486]], [[558]], [[576]], [[594]], [[648]], [[666]], [[684]],… ||
|-
| <center>[[19]]</center> || <center>33</center> || [[874]], 1387, 1558, [[1729]], [[2584]], 2755, 2926, 3097, 3268, 3439,… ||
|-
| <center>[[20]]</center> || <center>16</center> || 3980, 4880, 5780, 5960, 6680, 6860, 7580, 7760, 7940, 8480,… ||
|-
| <center>[[21]]</center> || <center>85</center> || [[399]], [[588]], [[777]], [[966]], [[1596]], 1659, 1785, [[1848]], [[1974]], 2289,… ||
|-
| <center>[[22]]</center> || <center>32</center> || 2398, 2596, 2794, 2992, 3388, 3586, 3784, 3982, 4378, 4576,… ||
|-
| <center>[[23]]</center> || <center>20</center> || 1679, 1886, 3749, 3956, 4577, 4784, 4991, 5198, 5819, 6647,… ||
|-
| <center>[[24]]</center> || <center>48</center> || [[888]], 1896, [[1968]], [[2688]], 2976, 3696, 3768, 3984, 4488, 4776,… ||
|-
| <center>[[25]]</center> || <center>7</center> || 4975, 5875, 6775, 7675, 8575, 9475, 9925, 13975, 14875, 15775,… ||
|-
| <center>[[26]]</center> || <center>9</center> || 1898, 5876, 6578, 7748, 7982, 8684, 8918, 9386, 9854, 12896,… ||
|-
| <center>[[27]]</center> || <center>76</center> || [[999]], [[1998]], 2889, 2997, 3699, 3888, [[3969]], 3996, 4698, 4779,… ||
|-
| <center>[[28]]</center> || <center>4</center> || 7588, 8596, 8848, 9856, 13888, 14896, 17668, 18676, 18928, 19684,… ||
|-
| <center>[[29]]</center> || <center>5</center> || 4988, 7598, 7859, 9686, 9947, 15689, 16994, 17777, 18299, 19865,… ||
|-
| <center>[[30]]</center> || <center>0</center> || 39990, 48990, 49890, 49980, 57990, 58890, 58980, 59790, 59880, 59970,… ||
|-
| <center>[[31]]</center> || <center>2</center> || 8959, 9796, 17887, <br/>25699, 25978, 28489, 28768, 29884, 36859, 37696,… ||
|-
| <center>[[32]]</center> || <center>0</center> || 17888, 27968, 29696, 29984, 36896, 39488, 39776, 46688, 46976, 48992,… ||
|-
| <center>[[33]]</center> |||| 42999, 43989, 44979, 45969, 46959, 47949, 48939, 49929, 52899, 52998,… ||
|-
| <center>[[34]]</center> |||| 28798, 37978, 38896, 48688, 48994, 57868, 58786, 59398, 63988, 67966,… ||
|-
| <center>[[35]]</center> |||| 57995, 59885, 69965, 76895, 78785, 86975, 88865, 89495, 95795, 97685,… ||
|-
| <center>[[36]]</center> |||| 29988, 38988, 39888, 39996, 47988, 48888, 48996, 49788, 49896, 49968,… ||
|-
| <center>[[37]]</center> |||| 37999, 38998, 39997, 47989, 48988, 49987, 57979, 58978, 59977, 67969,… ||
|-
| <center>[[38]]</center> |||| 59888, 76988, 78698, 88958, 89984, 95798, 98876, 129998, 179588, 187796,… ||
|-
| <center>[[39]]</center> |||| 49998, 67899, 69888, 78897, 79599, 87789, 88959, 89778, 89895, 95979,… ||
|-
| <center>[[40]]</center> |||| 699880, 789880, 798880, 799960, 879880, 888880, 889960, 897880, 898960, 899680, 969880, 978880,… ||
|-
| <center>[[41]]</center> |||| 177899, 188969, 277898, 288599, 288968, 295979, 299669, 369779, 377897, 388598,… ||
|-
| <center>[[42]]</center> |||| 88998, 189798, 197988, 198996, 199878, 289968, 296898, 298788, 299796, 359898, 369978,… ||
|-
| <center>[[43]]</center> |||| 99889, 179998, 188899, 299968, 388978, 397879, 459799, 477988, 486889,… ||
|-
| <center>[[44]]</center> |||| 479996, 489896, 499796, 578996, 579788, 588896, 589688, 598796,… ||
|-
| <center>[[45]]</center> |||| 499995, 589995, 598995, 599895, 599985, 679995, 688995, 689895,… ||
|-
|}

上記の一覧表でも明確な通り、ハーシャッド数は3の倍数 (基数、[[自然数]]ともに) に多いことがわかる。

* 各基数における最小のハーシャッド数は {{OEIS2C|A002998}}、2番目は {{OEIS2C|A245065}} を参照。
* 各基数 ''n'' における ''n'' 番目のハーシャッド数は {{OEIS2C|A082260}} を参照。

== 各種数列 ==
* ハーシャッド数が[[フィボナッチ数]]である数は
:[[1]], [[2]], [[3]], [[5]], [[8]], [[21]], [[144]], [[2584]], …（{{OEIS|A117774}}） 

* ハーシャッド数が[[三角数]]である数は
:[[1]], [[3]], [[6]], [[10]], [[21]], [[36]], [[45]], [[120]], [[153]], [[171]], [[190]], [[210]], [[300]], …（{{OEIS|A076713}}）

* ハーシャッド数が[[平方数]]である数は
:[[1]], [[4]], [[9]], [[36]], [[81]], [[100]], [[144]], [[225]], [[324]], [[400]], [[441]], [[576]], [[900]], [[1296]], [[1521]], …（{{OEIS|A118547}}）

* ハーシャッド数が[[楔数]]である数は
:[[30]], [[42]], [[70]], [[102]], [[110]], [[114]], [[190]], [[195]], [[230]], [[266]], [[285]], [[322]], [[370]], [[399]], [[402]], …

* ハーシャッド数が[[五角数]]である数は
:[[1]], [[5]], [[12]], [[70]], [[117]], [[210]], [[247]], [[330]], [[715]], [[782]], [[1080]],…（{{OEIS|A242043}}）

* ハーシャッド数が[[立方数]]である数は
:[[1]], [[8]], [[27]], [[216]], [[512]], [[1000]], [[1728]], [[4913]], [[5832]], [[8000]], [[13824]], …（{{OEIS|A118720}}）

* 立方数になるハーシャッド数のうち、各位の和の基数と ''n''{{sup|3}} の ''n'' が等しい数は
:[[1]], [[512]], [[4913]], [[5832]], [[17576]], [[19683]] （{{OEIS|A061209}}）

* ハーシャッド数が[[回文数]]である数は
:[[1]], [[2]], [[3]], [[4]], [[5]], [[6]], [[7]], [[8]], [[9]], [[111]], [[171]], [[222]], [[252]], [[333]], [[414]], [[444]], [[555]], …（{{OEIS|A082232}}）

* ハーシャッド数が[[半素数]]である数は
:[[4]], [[6]], [[9]], [[10]], [[21]], [[111]], [[133]], [[201]], [[209]], [[247]], [[407]], …（{{OEIS|A118693}}）

* ハーシャッド数のうち、(元の数) ÷ (各位の和)で求められた商がまたハーシャッド数になり、最後には1となる数がある。その数は
:[[1]], [[2]], [[3]], [[4]], [[5]], [[6]], [[7]], [[8]], [[9]], [[12]], [[18]], [[21]], [[24]], [[27]], [[36]], [[42]], [[45]], [[48]], [[54]], [[63]], [[72]], [[81]], [[84]], [[108]], [[162]], [[216]], [[243]], [[324]], [[378]], [[405]], …（{{OEIS|A114440}}）
:（例：216 ÷ (2+1+6) = 24 → 24 ÷ (2+4) = 4 → 4 ÷ 4 = 1）

* ハーシャッド数でかつ各位の積で割り切れる数（[[ズッカーマン数]]）は
:[[1]], [[2]], [[3]], [[4]], [[5]], [[6]], [[7]], [[8]], [[9]], [[12]], [[24]], [[36]], [[111]], [[112]], [[132]], [[135]], [[144]], [[216]], [[224]], [[312]], [[315]], [[432]], [[612]], [[624]], [[735]], [[1116]], …（{{OEIS|A038186}}）
:（例：216 ÷ (2+1+6) = 24、216 ÷ (2×1×6) = 18）

* ハーシャッド数で各位の和かつ[[因数分解]]の合計も基数に等しい数（[[スミス数]]）は
:[[4]], [[27]], [[378]], [[576]], [[588]], [[645]], [[648]], [[666]], [[690]], 825, 915, [[1872]], 1908, 1962, 2265, 2286, 2484, 2556, [[2688]], 2934,…（{{OEIS|A334527}}）
: （例①：4 = 2{{sup|2}}、2 × 2 = 2 + 2 = 4
: 例②：378 (18) = 2 × 3{{sup|3}} × 7、2 + 3 × 3 + 7 = 3 + 7 + 8 = 18
: 例③：645 (15) = 3 × 5 × 43、3 + 5 + 4 + 3 = 6 + 4 + 5 = 15）

* [[2の累乗数]]でハーシャッド数になるのは1桁の1～8（2{{sup|0}}～2{{sup|3}}）と512（2{{sup|9}}）のみ。3の累乗数でハーシャッド数になるのは
:[[1]], [[3]], [[9]], [[27]], [[81]], [[243]], [[19683]], [[59049]], [[177147]],…（{{OEIS|A67500}}）
:であり、5の累乗数では1桁の1, 5と、390625のみである。
:素数の累乗数の中でハーシャッド数になるのは
:[[2]], [[3]], [[4]], [[5]], [[7]], [[8]], [[9]], [[27]], [[81]], [[243]], [[512]], [[2401]], [[4913]],…（{{OEIS|A111747}}）

* [[階乗]]数のうちハーシャッド数でない最小の数は 432! である。

== 関連項目 ==
* [[ズッカーマン数]] - 各位の総乗が[[約数]]となる数

== 脚注 ==
<references />

== 参考文献 ==

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|title=Harshad Number|urlname=HarshadNumber}}

{{Divisor classes}}
{{DEFAULTSORT:はあしやつとすう}}
[[Category:数論]]
[[Category:整数の類]]
[[Category:数学に関する記事]]