ハーディゼータ関数のソースを表示

[[ファイル:Z_function_in_the_complex_plane,_-5,_5.svg|サムネイル|Z function in the complex plane, plotted with a variant of [[定義域の着色|domain coloring]].]]
[[ファイル:Z_function_in_the_complex_plane,_-40_--_40.svg|サムネイル| Z function in the complex plane, zoomed out.]]
'''ハーディゼータ関数'''（ハーディゼータかんすう、{{lang-en|Z function}}）は[[数学]]において、臨界線に沿った[[リーマンゼータ関数]]を研究するために使用される[[関数 (数学)|関数]]である。

== 定義式 ==
{{出典の明記| date = 2024年4月| section = 1}}

ハーディゼータ関数は[[リーマンゼータ関数]]と [[リーマン・ジーゲルのシータ関数]] を用いて次のようにあらわせる<ref name=":0">{{Cite web |title=ジーゲルのZ関数を数値計算する |url=https://tsujimotter.hatenablog.com/entry/2014/07/01/201007 |website=tsujimotterのノートブック |date=2014-07-01 |access-date=2024-02-05 |language=ja |last=tsujimotter}}</ref><ref name=":1" />。

: <math>Z(t) = e^{i \theta(t)} \zeta\left(\frac 1 2 + it\right).</math>

<math>Z(t)</math>の[[関数の零点|零点]]は<math>\zeta (\frac{1} {2}+ it)</math>の非自明零点と一致している。また、<math>Z(t)</math>は[[実数値関数|実関数]]であり<ref name=":0" /><ref name=":1">{{Cite web |title=リーマンゼータ関数のゼロ点を手計算してみた |url=https://mattyuu.hatenadiary.com/entry/2016/10/02/134730 |website=mattyuuの数学ネタ集 |date=2016-10-02 |access-date=2024-02-05 |language=ja |last=mattyuu}}</ref>、臨界域において[[正則関数|正則]]である{{要出典|date=2024年2月}}。

== リーマン・ジーゲルの公式 ==
{{出典の明記| date = 2024年2月| section = 1}}
臨界線に沿ったゼータ関数の計算は、[[リーマン・ジーゲルの公式]]によって

: <math>Z(t) = 2 \sum_{n^2 < t/2\pi} n^{-1/2}\cos(\theta(t)-t \log n) +R(t),</math>

とあらわせる<ref name=":0" /><ref name=":1" /><ref>{{Cite web |title=リーマンゼータ関数 零点の謎｜超入門・リーマン予想 |url=https://club.informatix.co.jp/?p=4261 |website=空間情報クラブ｜インフォマティクス運営のWebメディア |date=2017-04-25 |access-date=2024-02-05 |language=ja |last=author}}</ref><ref name=":2">{{Cite web |title=Riemann-Siegel Formula |url=https://mathworld.wolfram.com/Riemann-SiegelFormula.html |website=mathworld.wolfram.com |access-date=2024-04-11 |language=en |first=Eric W. |last=Weisstein}}</ref>。

ここで誤差項<math>R(t)</math>は、

:

<math>u = \left( \frac t {2\pi} \right)^{1/4}</math>, <math>N=\lfloor u^2 \rfloor</math> , <math>p = u^2 - N</math> として

: <math>R(t) \sim (-1)^{N-1}
\left( \Psi(p)u^{-1} - \frac{1}{96 \pi^2}\Psi^{(3)}(p)u^{-3} + \cdots\right)</math>とあらわせる。
: ただし
: <math>\Psi(z) = \frac{\cos 2\pi(z^2-z-1/16)}{\cos 2\pi z}</math>
: である<ref name=":2" />。


他の効率的な<math>Z(t)</math>の級数も存在する。特に[[不完全ガンマ関数]]を使用する[[級数]]が知られている。

: <math>Q(a, z) = \frac{\Gamma(a,z)}{\Gamma(a)} = \frac 1 {\Gamma(a)} \int_z^\infty u^{a-1} e^{-u} \, du</math>

特に良い例は

: <math>Z(t) =2 \Re \left(e^{i \theta(t)} \left(\sum_{n=1}^\infty  Q\left(\frac{s}{2},\pi i n^2 \right) - \frac{\pi^{s/2} e^{\pi i s/4}} {s \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)} \right) \right) </math>
などである{{要出典|date=2024年2月}}。
:

== 脚注 ==
{{Normdaten}}
<references />
== 参考資料 ==
* [https://club.informatix.co.jp/?p=4261 リーマンゼータ関数 零点の謎｜超入門・リーマン予想 - 空間情報クラブ｜インフォマティクス運営のWebメディア] 
* [https://mathworld.wolfram.com/Riemann-SiegelFormula.html Riemann-Siegel Formula -- from Wolfram MathWorld]
* {{cite book |last=Edwards |first=H.M. |author-link=Harold Edwards (mathematician) |title=Riemann's zeta function |series=Pure and Applied Mathematics |volume=58 |location=New York-London |publisher=Academic Press |year=1974 |isbn=0-12-232750-0 |zbl=0315.10035}}
* {{cite book |last=Ivić |first=Aleksandar |title=The theory of Hardy's ''Z''-function |series=Cambridge Tracts in Mathematics |volume=196 |location=Cambridge |publisher=[[Cambridge University Press]] |year=2013 |isbn=978-1-107-02883-8 |zbl=1269.11075}}
* {{cite book |last1=Paris |first1=R. B. |last2=Kaminski |first2=D. |title=Asymptotics and Mellin-Barnes Integrals |publisher=[[Cambridge University Press]] |year=2001 |series=Encyclopedia of Mathematics and Its Applications |volume=85 |location=Cambridge |isbn=0-521-79001-8 |zbl=0983.41019 |url-access=registration |url=https://archive.org/details/asymptoticsmelli0000pari}}
* {{cite book |last=Ramachandra |first=K. |title=Lectures on the mean-value and Omega-theorems for the Riemann Zeta-function |series=Lectures on Mathematics and Physics. Mathematics. Tata Institute of Fundamental Research |date=February 1996 |volume=85 |location=Berlin |publisher=[[Springer-Verlag]] |isbn=3-540-58437-4 |zbl=0845.11003}}
* {{cite book |author-link=Edward Charles Titchmarsh |last=Titchmarsh |first=E. C. |title=The Theory of the Riemann Zeta-Function |edition=second revised |editor-first=D.R. |editor-last=Heath-Brown |editor-link=Roger Heath-Brown |publisher=[[Oxford University Press]] |year=1986 |orig-year=1951}}

== 関連項目 ==
:* [[リーマンゼータ関数]]
:* [[リーマン・ジーゲルのシータ関数]]
:* [[リーマン・ジーゲルの公式]]

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|title=Riemann–Siegel Functions|urlname=Riemann-SiegelFunctions}}
* [http://functions.wolfram.com/ZetaFunctionsandPolylogarithms/RiemannSiegelZ/ Wolfram Research – Riemann-Siegel function Z] (includes function plotting and evaluation)

{{DEFAULTSORT:はあていせえたかんすう}}
[[Category:ベルンハルト・リーマン]]
[[Category:ゼータ関数とL関数]]
[[Category:数学に関する記事]]