ハール測度のソースを表示

{{簡易区別|本項におけるモジュラー函数は、[[楕円モジュラー函数]]のような[[保型形式]]論に現れるモジュラー函数（重み 0 の[[モジュラー形式]]）及び劣モジュラかつ優モジュラな集合函数}}
[[解析学]]における'''ハール測度'''（ハールそくど、{{lang-en-short|''Haar measure''}}）は、[[局所コンパクト]][[位相群]]上で定義される[[正則測度|正則]][[不変測度]]である。ハンガリーの数学者[[ハール・アルフレッド|アルフレッド・ハール]]にその名を因む。

== 定義 ==
''G'' を[[局所コンパクト群]]、'''B''' を ''G'' のコンパクト集合全体から生成される[[完全加法族]]とする。零でない非負値[[完全加法的集合関数]] &mu;: '''B''' &rarr; '''R'''<sub>+</sub> &cup; {&infin;} で、以下の条件
# ''G'' のコンパクト集合 ''K'' の測度 &mu;(''K'') は有限値をとる。
# ''G'' の開集合 ''O'' の測度はコンパクト集合 ''K'' &sub; ''O'' で内側から近似される（&mu;(''O'') = sup &mu;(''K'')）。
# ''G'' の任意の部分集合 ''S'' の測度 &mu;(''S'') は開集合 ''O'' &sup; ''S'' で外側から近似される（&mu;(''S'') = inf &mu;(''O'')）。
# ''G'' の元 ''g'' による左移動作用に関して任意の集合 ''S'' の測度は不変である（&mu;(''g''(''S'')) = &mu;(''S'')）。
を全て満たすものを測度空間 (''G'', '''B''') 上の'''左ハール測度'''と呼ぶ。一般に条件の 2-3 が満たされる測度は[[正則測度|正則]] {{en|(regular)}} であるといい、また不変性をいう条件 4 を右移動作用に関する不変性あるいは両側不変性に取り替えて、'''右ハール測度'''や'''ハール測度'''が定義される。

局所コンパクト群上に左（あるいは右）ハール測度は必ず存在して、しかも正定数倍の違いを除いて一意に定まる（二つの左ハール測度 &mu;, &mu;&prime; があれば &mu; = ''c'' &mu;&prime; となる正の定数 ''c'' が取れ、また右不変なものに関しても同様である）。逆元を取る作用により左不変測度は右不変測度に、右不変測度は左不変測度にそれぞれ移される。<!--ゆえに、右と左の不変測度のあいだに、適当な関数を与えれば全ての不変測度は一つのハール測度に比例する。-->

== 不変汎関数 ==
局所コンパクト群 ''G'' 上のコンパクト台を持つ複素数値連続関数のなすベクトル空間を ''C''<sub>''c''</sub>(''G'') とし、その連続的双対空間を ''M''(''G'') とする。不変ハール測度は不変正値汎関数（'''ハール汎関数'''とも呼ばれる）と一対一に対応するので、しばしば不変ハール測度と不変ハール汎関数とを同一視して扱われる。

実際に、局所コンパクト群 ''G'' とその上の左ハール測度 &mu; に対して ''C''<sub>''c''</sub>(''G'') の元  ''f'' の &mu; に関する積分を対応させる汎関数
:<math>\Phi\colon f \mapsto \int_G f(x)d\mu(x)</math>
は左不変ハール汎関数であり、逆に左不変ハール汎関数 &Phi; が与えられたとき、左ハール測度 &mu; で &Phi; の各 ''f'' &isin; ''C''<sub>''c''</sub>(''G'') ので値 &Phi;(''f'') を ''f'' の &mu; に関する積分として実現するものが取れる。ただし、複素数値汎関数が正値あるいは非負値であるとは、''G'' 上の関数 ''f''(''x'') が正値（恒等的に非負）ならば
:<math>\int_G f(x) d\mu(x) \ge 0</math>
となることを言う。また、汎関数が左不変であるとは、''G'' の元 ''g'' の ''G'' における左移動作用の構造移行
:<math>\int_G f(gx)d\mu(x) = \int_G (L_{g^{-1}}f)(x)d\mu(x)
  =\int_G f(x)d(L_{g}\mu)(x)
</math>
によって汎関数の空間 ''M''(''G'') への左移動作用を定めるとき ''L''<sub>''g''</sub>&mu; = &mu; が ''G'' の任意の元 ''g'' でなりたつことをいう。左不変性を右不変性、両側不変性に取り替えたものも同様に定める。

== 例 ==
通常の位相と加法に関する位相群 '''R'''<sup>''n''</sup> における通常の[[ルベーグ測度]] ''dx'' や通常の位相と乗法に関する位相群 '''R'''{{subsup||+|&times;}} の乗法的なルベーグ測度 ''dx''/''x'' はハール測度である。

有限群 ''G'' の平均化作用素
:<math>f(x) \mapsto \frac{1}{|G|}\sum_{g\in G} f(xg)</math>
を積分の形で
:<math>\int_G f(x)d\mu(x) = \frac{1}{|G|}\sum_{g\in G} f(g)</math>
と書いたときの ''d''&mu; はハール測度である。もう少し一般に、離散位相を持つ位相群上の[[数え上げ測度]]はハール測度を与える。

== モジュラー函数 ==
局所コンパクト群 ''G'' とその上の左ハール測度 &mu; および ''G'' の元 ''g'' に対し、''g'' による右移動 ''R''<sub>''g''</sub> で &mu; を移した ''R''<sub>''g''</sub>&mu; はやはり左不変測度である。したがってハール測度の一意性から
:<math>R_g\mu = \Delta_G(g)\mu</math>
となる ''G'' 上の[[正値函数]] &Delta;<sub>''G''</sub> が存在する。これを "群 ''G'' 上の'''モジュラー函数''' {{lang|en|(''modular function'')}}<ref group="note">[[モジュラー函数]]というと、重みが 0 の[[モジュラー形式]]を指すことが多いが、それとは異なる。</ref>と呼ぶ。モジュールは[[トーラス|絶対値 1 の複素数全体の成すコンパクト群]] ''T''<sup>1</sup> を表現加群とする ''G'' の表現（群の指標）を与え、その意味で'''モジュラー指標''' {{lang|en|(modulus character)}} と呼ばれることもある。また、
:<math>\Delta_G^{-1}\mu(x) = \mu(x^{-1})</math>
は右ハール測度であり、この式はハール測度 &mu; の取り方には依らないから、この意味でモジュール &Delta;<sub>''G''</sub> は「左右のハール測度のずれ」を測るものであるとみることもできる。特に &Delta;<sub>''G''</sub> が恒等的に 1 に等しいとき、局所コンパクト群 ''G'' は両側不変なハール測度を持ち'''ユニモジュラー''' {{lang|en|(''unimodular'')}} であるといわれる。
* [[アーベル群]]が必ずユニモジュラーであることは直ちにわかる。
* [[コンパクト群]]は、連続像がコンパクトであることと正数全体の成す乗法群 {{math|{{subsup|'''R'''|+|×}}}} の有界な部分群が {{math|{{mset|1}}}} に限ることとの二者からやはり必ずユニモジュラーになる。

局所コンパクト群 ''G'' 上の左ハール測度 &mu; と自己同型 &phi; があれば、&phi;<sup>&minus;1</sup>(&mu;) (&phi;<sup>&minus;1</sup>(''d''&mu;(x)) := ''d''&mu;(&phi;(''x''))) はやはり左不変測度であり &phi;<sup>&minus;1</sup>(&mu;) = ''a''&mu; なる正定数がある。このとき、mod(&phi;) = ''a'' と記して "自己同型 &phi; の" '''母数'''、'''モジュール'''などと呼ぶ。これはハール測度のとり方によらない（とくに右不変ハール測度から定義しても同じ値が現れる）ことが確かめられる。
* 左移動作用 ''L''<sub>''s''</sub> のモジュール mod<sub>''G''</sub>(''s'') := mod(''L''<sub>''s''</sub>)はちょうど &Delta;<sub>''G''</sub>(''s'') の逆数になる。

''K'' が[[局所コンパクト体]]ならば、''K'' の左正則表現の作用素、つまり乗法群 ''K''<sup>&times;</sup>の元 ''s'' による加法群 ''K'' への左移動作用
:<math>L_s\colon x \mapsto sx</math>
は加法群 ''K'' 上の自己同型であるのでそのモジュールを考えることができるが、これを mod<sub>''K''</sub>(''s'') と記す：
:<math>\mathrm{mod}_K(s) := \mathrm{mod}(L_s).</math>
さらに、mod<sub>''K''</sub>(0<sub>''K''</sub>) = 0<sub>''K''</sub> と置いて ''K'' 上の関数に拡張すると、これは正の実数全体への[[連続函数]]となる。

この局所コンパクト体上のモジュールは[[絶対値]]の概念の自然な一般化である。実際、実数体 '''R''' 上のルベーグ測度 ''dx'' に対して任意の区間 (''a'', ''b'') 上の関数 ''f''(''x'') を与えるとき
:<math>\int_a^b f(x)d(sx) = \begin{cases}
  s\int_{s^{-1}b}^{s^{-1}a} f(x)dx = -s\int_{s^{-1}a}^{s^{-1}b} f(x)dx & (s < 0), \\[5pt]
  s\int_{s^{-1}a}^{s^{-1}b} f(x)dx & (s > 0).
\end{cases}</math>
となるので、''a'' &rarr; &minus;&infin;, ''b'' &rarr; &infin; とすれば
:<math>\int_{\mathbb{R}}f(x)d(sx) = |s| \int_{\mathbb{R}}f(x)dx</math>
となり、''d''(''sx'') = |''s''| ''dx'' すなわち、mod<sub>'''R'''</sub>(''s'') = |''s''| が得られる。また、[[体の拡大]]あるいは有限階数の多元環の拡大 ''L''/''K'' が与えられるとき、''N''<sub>''L''/''K''</sub> を拡大の[[ノルム (体論)|被約ノルム]]として
:<math>\mathrm{mod}_L = \mathrm{mod}_K \circ N_{L/K}</math>
が成り立つ。特に、'''C''' を[[複素数]]体、'''H''' を[[四元数]]体とすると、それぞれの標準的な絶対値 |&bull;| に対して
:<math>
  \mathrm{mod}_{\mathbb{C}}(c) = |c|^2, \quad
  \mathrm{mod}_{\mathbb{H}}(q) = |q|^4
</math>
などとなる。とくに、局所コンパクト体はモジュールを[[付値]]として[[局所体]]の構造を持つ。

== 注記 ==
<div class="references-small"><references group="note"/></div>

== 参考文献 ==
{{参照方法|date=2015年11月}}
* {{Cite book|和書 |author=ニコラ・ブルバキ|authorlink=ニコラ・ブルバキ |title=積分4 |series=ブルバキ数学原論 |translator=宮崎浩・清水達雄 |year=1969 |origyear=1963 |publisher=東京図書 |isbn=978-4489002090}}
* {{cite book|author=André Weil|authorlink=アンドレ・ヴェイユ|title=Basic Number Theory|publisher=Academic Press|year=1971}}
* {{Cite book
 | 和書
 | last1 = 小林
 | first1 = 俊行
 | last2 = 大島
 | first2 = 利雄
 | year = 2005
 | title = リー群と表現論
 | publisher = 岩波書店
 | isbn = 4-00-006142-9
 | ref = harv
}}

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|urlname=HaarMeasure|title=Haar measure}}
* {{PlanetMath|urlname=HaarMeasure|title=Haar measure}}
{{integral}}
{{DEFAULTSORT:はあるそくと}}
[[Category:測度論]]
[[Category:表現論]]
[[Category:リー群論]]
[[Category:調和解析]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]