ハーン–バナッハの定理のソースを表示

[[数学]]における'''ハーン–バナッハの定理'''（ハーン–バナッハのていり、{{Lang-en-short|Hahn–Banach theorem}}）は、[[関数解析学]]の分野における中心的な道具で、[[ベクトル空間]]の部分空間上で定義される[[有界作用素|有界線形汎関数]]が全空間へ拡張できることについて述べたものである。これにより、どのような[[ノルム線形空間]]においても、その上で定義される[[連続写像|連続]]線形汎関数が、[[双対空間]]の研究を「面白い」ものにするに「十分」なほどたくさんあることがわかる。ハーン-バナッハの定理の別形態のものとして、'''ハーン–バナッハの分離定理'''あるいは[[分離超平面定理]]と呼ばれるものがあり、{{仮リンク|凸幾何学|en|convex geometry}}の分野で多く用いられている。

定理の名前の由来は、1920年代後半にそれぞれ独立にこの定理を証明した[[ハンス・ハーン]]と[[ステファン・バナッハ]]である。定理の特別な場合<ref>ある区間 [''a'',&nbsp;''b''] 上の連続関数からなる空間''C''[''a'',&nbsp;''b''] の場合。</ref>については、より早い段階（1912年）で[[エードゥアルト・ヘリー]]によって証明されており<ref>{{MacTutor Biography|id=Helly}}</ref>、またこの定理が導出されるようなある一般の拡張定理が、1923年に[[マルツェル・リース]]によって証明されていた<ref>[[リースの拡張定理]]を参照されたい。{{cite journal|mr=0256837|last=Gȧrding|first=L.|author-link=Lars Gårding|title=Marcel Riesz in memoriam|journal=Acta Math.|volume=124|year=1970|issue=1|pages=I–XI|ref=harv}}によれば、1918年にはすでにリースはこの定理の内容について知っていたとされる。</ref>。

==定式化==
定理の最も一般な定式化においては、いくつかの準備が必要とされる。[[実数]][[可換体|体]] '''R''' 上の[[ベクトル空間]] ''V'' に対し、[[関数 (数学)|関数]] {{nowrap|''&fnof;''&thinsp;: ''V'' &rarr; '''R'''}} が{{仮リンク|劣線形写像|label=劣線形|en|sublinear function}}であるとは、

:任意の <math>\gamma\in 
\mathbb{R}_+</math> および ''x''&nbsp;&isin;&nbsp;''V'' に対して <math>f(\gamma x ) =  \gamma f\left( x\right) </math>&nbsp; が成立する（[[同次函数|正同次性]]）

:任意の ''x'',&nbsp;''y''&nbsp;&isin;&nbsp;''V'' に対して <math>f(x + y) \le f(x) + f(y)</math>&nbsp; が成立する（[[劣加法的関数|劣加法性]]）

が成立することを言う。

''V'' 上のすべての[[ノルム|半ノルム]]（特に、''V'' 上のすべての[[ノルム]]）は劣線形である。他の劣線形関数、特に凸集合の[[ミンコフスキー汎関数]]なども同様に有用なものとなりうる。

<div style="margin: 1ex auto; padding:1ex 1em; border:1px solid gray; align: center; width: 80%;">
'''ハーン-バナッハの定理'''は次のようなものである: <math>\scriptstyle\mathcal{N}:\; V\to\mathbb{R}</math> が劣線形関数で、&phi;: ''U'' &rarr; '''R''' が[[線形部分空間]] ''U'' ⊆ ''V'' 上の[[線形汎関数]]であり、''U'' 上では &phi; は <math>\scriptstyle\mathcal{N}</math> によって[[支配 (数学)|支配]]されるようなもの、すなわち

:<math>\varphi(x) \leq \mathcal{N}(x)\qquad\forall x \in U</math> 

が成立するようなものとする。このとき、&phi; には全空間 ''V'' へのある線形拡張 &psi;: ''V'' &rarr; '''R''' が存在する。すなわち、次を満たすような線形汎関数 ψ が存在する:

:<math>\psi(x)=\varphi(x)\qquad\forall x\in U</math>

および

:<math>\psi(x) \le \mathcal{N}(x)\qquad\forall x\in V.</math>
{{harv|Rudin|1991|loc=Th. 3.2}}
</div>
'''ハーン–バナッハの定理'''の別形態は次のようなものである: ''V'' を係数体 '''K''' （実数 '''R''' あるいは[[複素数]] '''C'''）上のベクトル空間とし、<math>\scriptstyle\mathcal{N}:\;V\to\mathbb{R}</math> を半ノルムとし、&phi;: ''U'' &rarr; '''K''' を ''V'' の '''K'''-線形部分空間 ''U'' 上の '''K'''-線形汎関数とし、''U'' 上ではその絶対値が <math>\scriptstyle\mathcal{N}</math> によって支配されるもの、すなわち

:<math>|\varphi(x)|\leq\mathcal{N}(x)\qquad\forall x \in U</math> 

が成立するものとする。このとき、φ には全空間 ''V'' への線形拡張 &psi;: ''V'' &rarr; '''K''' が存在する。すなわち、次を満たすような '''K'''-線形汎関数 ψ が存在する:

:<math>\psi(x)=\varphi(x)\qquad\forall x\in U</math>

および

:<math>|\psi(x)| \le \mathcal{N}(x)\qquad\forall x\in V.</math>

この定理の複素数の場合において '''C'''-線形性を仮定として要求するということは、実数の場合での仮定に、すべてのベクトル ''x''&nbsp;∈&nbsp;''U'' に対して、ベクトル {{nowrap|i&thinsp;''x''}} も ''U'' に属し、{{nowrap|''&phi;''(i&thinsp;''x'') {{=}} i&thinsp;''&phi;''(''x'')}} が成立するという仮定を加えて要求するということである。

一般には、拡張 ψ は φ によって一意に定まるものではなく、また、定理の証明を見ても ψ を見つける明示的な方法は分からない。無限次元空間 ''V'' の場合には、[[選択公理]]の一形態である[[ツォルンの補題]]が、証明に必要とされる。

{{harv|Reed|Simon|1980}}によれば、<math>\scriptstyle\mathcal{N}</math> に対する劣線形性の条件は、条件

:<math>\mathcal{N}(ax+by)\leq|a| \, \mathcal{N}(x) + |b| \, \mathcal{N}(y),\qquad x,y\in V,\quad |a|+|b|\leq1</math>

に、少し弱めることが出来る。この条件は、ハーン–バナッハの定理と[[凸関数|凸性]]の間の深い関係を明らかにするものである。

[[Mizar|Mizarプロジェクト]]は、ハーン–バナッハの定理の完全な定式化と自動検証された証明を[http://mizar.uwb.edu.pl/JFM/Vol5/hahnban.html HAHNBAN file]に有している。

==重要な帰結==
この定理にはいくつかの重要な帰結が存在し、しばしばそれらも「ハーン–バナッハの定理」と呼ばれることがある。

* ''V'' をノルム線型空間、''U'' をその線形部分空間（必ずしも閉ではない）とし、作用素 {{nowrap|φ: ''U'' → '''K'''}} は連続かつ線型であるとする。このとき、φ には連続かつ線型な拡張 {{nowrap|ψ: ''V'' → '''K'''}} が存在し、そのノルムは φ と等しいものとなる（線型写像のノルムについては「[[バナッハ空間]]」を参照されたい）。これはすなわち、ノルム線型空間の圏において、空間 '''K''' は[[入射的対象]]であることを意味する。
* ''V'' をノルム線型空間、''U'' をその線型部分空間（必ずしも閉ではない）とし、''z'' を、''U'' の[[閉包 (位相空間論)|閉包]]に含まれないような ''V'' の元とする。このとき、すべての ''U'' の元 ''x'' に対しては ψ(''x'')&nbsp;= 0 であり、ψ(''z'')&nbsp;=&nbsp;1 および {{unicode|1= ǁψǁ = 1&thinsp;&frasl;&thinsp;dist(''z'', ''U'')}} を満たすような連続線型作用素 {{math|ψ: ''V'' → '''K'''}} が存在する。
* 特に、ノルム線型空間 ''V'' の任意の元 ''z'' に対して、{{nowrap begin}}ψ(''z'')&nbsp;=&nbsp;ǁzǁ{{nowrap end}} かつ {{unicode|ǁψǁ&nbsp;≤&nbsp;1}} を満たすような連続線型作用素 {{math|ψ: ''V'' → '''K'''}} が必ず存在する。このことは、ノルム線型空間 ''V'' からその二重双対 {{nowrap|''V''&thinsp;&prime;&prime;}} への[[回帰的空間|自然な単射]]は等長写像であるということを意味する。

=={{anchors|ハーン-バナッハの分離定理|分離定理}}ハーン–バナッハの分離定理==
ハーン–バナッハの定理の別形態のものとして、'''ハーン–バナッハの分離定理'''というものが知られている<ref>Gabriel Nagy, [http://www.math.ksu.edu/~nagy/real-an/ap-e-h-b.pdf  Real Analysis] [http://www.math.ksu.edu/~nagy/real-an/ lecture notes]</ref> 。この定理は{{仮リンク|凸幾何学|en|convex geometry}}<ref>{{cite journal |first=R. |last=Harvey |first2=H. B. |last2=Lawson |title=An intrinsic characterisation of Kahler manifolds |journal=[[Inventiones Mathematicae|Invent. Math]] |volume=74 |year=1983 |issue=2 |pages=169–198 |doi=10.1007/BF01394312 |ref=harv }}</ref>、[[最適化問題|最適化理論]]、[[経済学]]の分野で幅広く用いられている。

; 定理.: ''V'' を、'''K''' (= {{unicode|ℝ または ℂ}}) に対する[[位相ベクトル空間]]とし、''A'' および ''B'' を、''V'' の空でない凸な部分集合とし、''A'' ∩ ''B'' = ∅ とする。このとき、次が成立する:
:# ''A'' が開ならば、ある連続線型作用素 &lambda;: ''V'' &rarr; '''K''' および実数 ''t'' &isin; '''R''' が存在して、Re&thinsp;&lambda;(''a'') &lt; ''t'' &le; Re&thinsp;&lambda;(''b'') がすべての ''a'' &isin; ''A'', ''b'' &isin; ''B'' に対して成立する。
:# ''V'' が局所凸、''A'' がコンパクトで、''B'' が閉ならば、ある連続線型作用素 &lambda;: ''V'' &rarr; '''K''' および実数 ''s'', ''t'' &isin; '''R''' が存在して、Re&thinsp;&lambda;(''a'') &lt; ''t'' &lt; ''s'' &lt; Re&thinsp;&lambda;(''b'') がすべての ''a'' &isin; ''A'', ''b'' &isin; ''B'' に対して成立する。

==選択公理との関係==
上述のように、[[選択公理]]からハーン–バナッハの定理は従うが、その逆は真ではない。このことを示す一つの方法としては、選択公理よりも真に弱い{{仮リンク|ウルトラフィルターの補題|en|ultrafilter lemma}}からハーン・バナッハの定理を証明することができるが、この場合その逆は成り立たないということに着目すればよい。ハーン–バナッハの定理は、実は、ウルトラフィルターの補題よりもさらに弱い仮定を用いて証明することも出来る<ref>{{cite book |first=D. |last=Pincus |chapter=The strength of Hahn–Banach's Theorem |title=Victoria Symposium on Non-standard Analysis |series=Lecture notes in Math. |volume=369 |location=New York |publisher=Springer |year=1974 |pages=203–248 |isbn=0-387-06656-X }} Citation from {{cite journal |first=M. |last=Foreman |first2=F. |last2=Wehrung |url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm138/fm13812.pdf |title=The Hahn–Banach theorem implies the existence of a non-Lebesgue measurable set |journal=Fundamenta Mathematicae |volume=138 |issue= |year=1991 |pages=13–19 |doi= |ref=harv }}</ref>。  
更に、ブラウンとシンプソンは、[[弱ケーニヒの補題]]を公理の一つとする{{仮リンク|二階算術|en|second-order arithmetic}}の部分体系WKL<sub>0</sub> から[[可分空間|可分]]な[[バナッハ空間]]上の[[有界作用素|有界]]線型汎関数に対するハーン-バナッハの定理がしたがう、ということを証明した<ref>{{cite journal |first=D. K. |last=Brown |first2=S. G. |last2=Simpson |title=Which set existence axioms are needed to prove the separable Hahn–Banach theorem? |journal=Annals of Pure and Applied Logic |volume=31 |issue= |year=1986 |pages=123–144 |doi=10.1016/0168-0072(86)90066-7 |ref=harv }} [http://www.math.psu.edu/simpson/papers/hilbert/node7.html#3 Source of citation].</ref>。

== {{math|''C''[''a'', ''b'']}} の双対空間 ==
ハーン–バナッハの定理の帰結として、次のようなものも存在する。

; 命題.: {{math|&minus;&infin; &lt; ''a'' &lt; ''b'' &lt; &infin;}} のとき、{{math|''F'' &isin; ''C''[''a'', ''b'']<sup>&lowast;</sup>}} であるための必要十分条件は、有界変動関数 {{math|&rho;: [''a'', ''b''] &rarr; '''R'''}} が存在して
:: <math>F(u)=\int_a^b u(x)\,d\rho(x)</math> 
: がすべての {{math|''u'' &isin; ''C''[''a'', ''b'']}} に対して成立することである。
: さらに、&rho; の全変動 ''V''(&rho;) に対し、ǁFǁ = ''V''(&rho;) が成立する。

==関連項目==
* [[リースの拡張定理]]
* [[分離超平面定理]]

==注釈==
<references />

==参考文献==
* Lawrence Narici and Edward Beckenstein, "[http://at.yorku.ca/p/a/a/a/16.htm The Hahn–Banach Theorem: The Life and Times]", ''Topology and its Applications'', Volume '''77''', Issue 2 (1997) pages 193–211. 
* Michael Reed and Barry Simon, ''Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1, Functional Analysis,'' Section III.3. Academic Press, San Diego, 1980. ISBN 0-12-585050-6.
* {{Cite book | last=Rudin | first=Walter | author-link=ウォルター・ルーディン | title=Functional Analysis | publisher=McGraw-Hill Science/Engineering/Math |edition=2nd|isbn=978-0-07-054236-5 | year=1991 | ref=harv | postscript=<!-- Bot inserted parameter. Either remove it; or change its value to "." for the cite to end in a ".", as necessary. -->}}
* Terence Tao, [http://terrytao.wordpress.com/2007/11/30/the-hahn-banach-theorem-mengers-theorem-and-hellys-theorem The Hahn–Banach theorem, Menger’s theorem, and Helly’s theorem] 
*Eberhard Zeidler, ''Applied Functional Analysis: main principles and their applications'', Springer, 1995.

{{DEFAULTSORT:はあんはなつはのていり}}
[[Category:関数解析学の定理]]
[[Category:ステファン・バナフ]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]