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ハーンの分解定理
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[[数学]]における'''ハーンの分解定理'''（ハーンのぶんかいていり、{{Lang-en-short|Hahn decomposition theorem}}）とは、[[オーストリア]]の[[数学者]]である[[ハンス・ハーン]]の名にちなむ定理で、[[可測空間]] (''X'', ''Σ'') およびその [[完全加法族|σ-代数]] ''Σ'' 上で定義される[[符号付測度]] ''μ'' が与えられたとき、次を満たすような二つの可測集合 ''P'' および ''N'' が ''Σ'' 内に存在するということを述べたものである： # ''P'' ∪ ''N'' = ''X'' および ''P'' ∩ ''N'' = ∅. # ''E'' ⊆ ''P'' を満たすような ''Σ'' 内の各 ''E'' に対して ''μ''(''E'') ≥ 0 が成り立つ。すなわち、''P'' は ''μ'' に対する{{仮リンク|正集合と負集合|label=正集合|en|positive and negative sets}}である。 # ''E'' ⊆ ''N'' を満たすような Σ 内の各 ''E'' に対して ''μ''(''E'') ≤ 0 が成り立つ。すなわち、''N'' は ''μ'' に対する負集合である。 このような分解は本質的に一意である。すなわち、上の三つの条件を満たすような他の任意の可測集合のペア (''P′'', ''N′'') に対して、[[対称差]] ''P'' Δ ''P′'' および ''N'' Δ ''N′'' は、そのすべての可測な部分集合が測度 0 であるという強い意味において、''μ''-[[零集合]]である。そのようなペア (''P'', ''N'') は、符号付測度 ''μ'' の'''ハーン分解'''（Hahn decomposition）と呼ばれる。 == ジョルダン測度分解 == ハーンの分解定理の一つの帰結として、すべての符号付測度 ''μ'' には、ある二つの正の測度 ''μ''<sup>+</sup> および ''μ''<sup>–</sup> の差 ''μ'' = ''μ''<sup>+</sup> − ''μ''<sup>–</sup> で表せるような分解が唯一つ存在するという'''ジョルダンの分解定理'''（Jordan decomposition theorem）が存在する。ここで、そのような二つの測度 ''μ''<sup>+</sup> および ''μ''<sup>–</sup> のいずれか一つは有限であり、''E'' ⊆ ''N'' ならば ''μ''<sup>+</sup>(''E'') = 0、''E'' ⊆ ''P'' ならば ''μ''<sup>−</sup>(''E'') = 0 が任意の ''μ'' のハーン分解 (''P'', ''N'') に対して成り立つ。''μ''<sup>+</sup> および ''μ''<sup>–</sup> はそれぞれ、''μ'' の'''正の部分'''（positive part）および'''負の部分'''（negative part）と呼ばれる。そのようなペア (''μ''<sup>+</sup>, ''μ''<sup>–</sup>) は、''μ'' の'''ジョルダン分解'''（Jordan decomposition）と呼ばれる（あるいはしばしば、'''ハーン＝ジョルダン分解'''と呼ばれる）。そのような二つの測度は、次のように定義することが出来る。 :<math>\mu^+(E):=\mu(E\cap P)\,</math> および :<math>\mu^-(E):=-\mu(E\cap N).\,</math> ただし ''E'' は ''Σ'' 内の任意の集合で、(''P'', ''N'') は ''μ'' の任意のハーン分解である。 ハーン分解は「本質的に」一意であるに過ぎなかったが、ジョルダン分解は一意であることに注意されたい。 ジョルダン分解には次のような系が存在する：ある有限符号付測度 ''μ'' のジョルダン分解 (''μ''<sup>+</sup>, ''μ''<sup>−</sup>) が与えられた時、''Σ'' 内の任意の ''E'' に対して :<math> \mu^+(E) = \sup_{B\in\Sigma, B\subset E} \mu(B) </math> および :<math> \mu^-(E) = -\inf_{B\in\Sigma, B\subset E} \mu(B) </math> が成立する。また、有限な非負測度のペア (''ν''<sup>+</sup>, ''ν''<sup>–</sup>) に対して ''μ'' = ''ν''<sup>+</sup> − ''ν''<sup>–</sup> であるなら、 :<math> \nu^+ \geq \mu^+ \text{ and } \nu^- \geq \mu^- </math> が成立する。この最後の式は、ジョルダン分解が ''μ'' のある非負の測度の差への「極小」分解であることを意味する。これはジョルダン分解の「極小性」（minimality property）と呼ばれる。 '''ジョルダン分解の証明：''' ジョルダン測度分解の存在、一意性および極小性に関する初等的な証明については、[https://arxiv.org/abs/1206.5449 Fischer (2012)] を参照されたい。 == ハーンの分解定理の証明 == '''準備：''' ''μ'' は −∞ の値を取らないものと仮定する（そのような値を取る場合は、−''μ'' について考えることとする）。上述のように、''Σ'' 内のある集合 ''A'' が負集合であるとは、そのすべての ''Σ'' 内の部分集合 ''B'' に対して ''μ''(''B'') ≤ 0 が成立することを言う。 '''主張：''' ''Σ'' 内のある集合 ''D'' に対して ''μ''(''D'') ≤ 0 が成立すると仮定する。このとき、''μ''(''A'') ≤ ''μ''(''D'') を満たすようなある負集合 ''A'' ⊆ ''D'' が存在する。 '''主張の証明：''' ''A''<sub>0</sub> = ''D'' とする。[[数学的帰納法|帰納的]]に、自然数 ''n'' に対してある集合 ''A<sub>n</sub>'' ⊆ ''D'' が構成されているものとする。今、 :<math>t_n=\sup\{\mu(B): B\in\Sigma,\, B\subset A_n\}</math> は、''A<sub>n</sub>'' 内のすべての可測部分集合 ''B'' についての ''μ''(''B'') の上限を表す。この上限は先験的に無限大であることもあり得る。''t<sub>n</sub>'' の定義において、空集合 ∅ も ''B'' であり得るため、''μ''(∅) = 0 であることから、''t<sub>n</sub>'' ≥ 0 が従う。''t<sub>n</sub>'' の定義より、次を満たすような ''B<sub>n</sub>'' ⊆ ''A<sub>n</sub>'' が Σ 内に存在する： :<math>\mu(B_n)\ge \min\{1,t_n/2\}.</math> 今 ''A''<sub>''n''+1</sub> = ''A<sub>n</sub>'' ＼ ''B<sub>n</sub>'' とする。また :<math>A=D\setminus\bigcup_{n=0}^\infty B_n </math> を定める。集合 (''B<sub>n</sub>'')<sub>''n''≥0</sub> は互いに素な ''D'' の部分集合であるため、符号付測度 ''μ'' の[[シグマ加法性|σ-加法性]]より :<math>\mu(A)=\mu(D)-\sum_{n=0}^\infty\mu(B_n)\le\mu(D)-\sum_{n=0}^\infty\min\{1,t_n/2\} </math> が従う。この不等式より ''μ''(''A'') ≤ ''μ''(''D'') が従う。今 ''A'' は負集合ではないと仮定する。すると ''Σ'' に属する ''A'' の部分集合 ''B'' で ''μ''(''B'') > 0 を満たすようなものが存在する。このとき、すべての ''n'' に対して ''t<sub>n</sub>'' ≥ ''μ''(''B'') が成立するため、右辺の[[級数]]は +∞ へと発散するが、これは ''μ''(''A'') = –∞ を意味し、はじめの ''μ'' の定め方に矛盾する。したがって、''A'' は負集合でなくてはならない。 '''分解の構成：''' ''N''<sub>0</sub> = ∅ とする。帰納的に ''N<sub>n</sub>'' が与えられたとし、次を定義する。 :<math>s_n:=\inf\{\mu(D):D\in\Sigma,\, D\subset X\setminus N_n\}.</math> これは ''X'' \ ''N<sub>n</sub>'' 内のすべての可測な部分集合 ''D'' についての ''μ''(''D'') の下限である。この下限は先験的に –∞ となることもあり得る。''D'' は空集合であることもあり、''μ''(∅) = 0 であるため、''s<sub>n</sub>'' ≤ 0 となる。したがって Σ に属する ''D<sub>n</sub>'' で、''D<sub>n</sub>'' ⊆ ''X'' ＼ ''N<sub>n</sub>'' および :<math>\mu(D_n)\le \max\{s_n/2, -1\}\le 0 </math> を満たすようなものが存在する。上述の主張より、''μ''(''A<sub>n</sub>'') ≤ ''μ''(''D<sub>n</sub>'') を満たすようなある負集合 ''A<sub>n</sub>'' ⊆ ''D<sub>n</sub>'' が存在する。''N''<sub>''n''+1</sub> = ''N<sub>n</sub>'' ∪ ''A<sub>n</sub>'' を定める。また :<math>N=\bigcup_{n=0}^\infty A_n </math> とする。集合 (''A<sub>n</sub>'')<sub>''n''≥0</sub> は互いに素であるため、''μ'' の σ-加法性より、Σ に属するすべての ''B'' ⊆ ''N'' に対して :<math>\mu(B)=\sum_{n=0}^\infty\mu(B\cap A_n)</math> が成立する。特にこのことは、''N'' が負集合であることを意味する。今 ''P'' = ''X'' ＼ ''N'' を定義する。もし ''P'' が正集合でないのなら、Σ に属するある ''D'' ⊆ ''P'' に対して ''μ''(''D'') < 0 が成立する。このとき、すべての ''n'' に対して ''s<sub>n</sub>'' ≤ ''μ''(''D'') が成立することから、 :<math>\mu(N)=\sum_{n=0}^\infty\mu(A_n)\le\sum_{n=0}^\infty\max\{s_n/2, -1\}=-\infty </math> となるが、これは ''μ'' の定め方に矛盾する。したがって、''P'' は正集合である。 '''一意性の証明：''' <math>(N',P')</math> を <math>X</math> の他のハーン分解とする。このとき <math>P\cap N'</math> は正集合でもあり、負集合でもある。したがって、この集合に含まれるすべての可測な部分集合の測度は 0 である。同様のことが <math>N\cap P'</math> に対しても成り立つ。今 :<math>P\,\triangle\,P'=N\,\triangle\,N'=(P\cap N')\cup(N\cap P') </math> であることから、証明は完成される。[[Q.E.D.]] == 参考文献 == * {{cite book | last = Billingsley | first = Patrick | title = Probability and Measure -- Third Edition | series = Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics |publisher = John Wiley & Sons | location = New York | year = 1995 | isbn = 0-471-00710-2 }} * {{cite arXiv |last=Fischer |first=Tom |eprint=1206.5449 |class=math.ST |title=Existence, uniqueness, and minimality of the Jordan measure decomposition |year=2012 }} == 外部リンク == * [http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=4014 Hahn decomposition theorem] at [[PlanetMath]]. * {{SpringerEOM|title=Hahn decomposition|urlname=Hahn_decomposition}} * [http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Jordan_decomposition_(of_a_signed_measure) Jordan decomposition of a signed measure] at [http://www.encyclopediaofmath.org/ Encyclopedia of Mathematics] {{DEFAULTSORT:はあんのふんかいていり}} [[Category:測度論]] [[Category:数学に関する記事]] [[Category:数学のエポニム]]
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