バナッハ空間のソースを表示

[[数学]]における'''バナッハ空間'''（バナッハくうかん、{{lang-en-short|''Banach space''}}; バナハ空間）は、[[完備距離空間|完備]]な[[ノルム空間]]、即ち[[ノルム]]付けられた[[線型空間]]であって、そのノルムが定める[[距離構造]]が完備であるものを言う。

解析学に現れる多くの[[無限次元空間|無限次元]][[函数空間]]、例えば[[連続函数]]の空間（[[コンパクトハウスドルフ空間上の連続写像]]の空間）、 [[Lp空間|''L''<sup>''p''</sup>-空間]]と呼ばれる[[ルベーグ可積分函数]]の空間、[[ハーディ空間]]と呼ばれる[[正則函数]]の空間などはバナッハ空間を成す。これらはもっとも広く用いられる[[位相線型空間]]であり、これらの位相は[[ノルム]]から規定されるものになっている。

バナッハ空間の名称は、この概念を[[ハンス・ハーン|ハーン]]と[[エドゥアルト・ヘリー|ヘリー]]らと共に1920-1922年に導入したポーランドの数学者[[ステファン・バナフ]]に因む<ref>{{harvnb|Bourbaki|1987|loc=V.86}}<!--From French edition.  Please check the "Historical Note" in the English edition.--></ref>。

== 定義 ==
バナッハ空間の厳密な定義<ref>{{cite book|first=Pavel | last = Šolín | title=Partial differential equations and the finite element method|year=2006 |publisher=Wiley-interscience}}</ref>は、

: ノルム空間 ''V'' がバナッハ空間であるとは、''V'' 内の各[[コーシー列]] {''v''<sub>''n''</sub>}{{su|b= n=1|p=&infin;}} に対して ''V'' の適当な元 ''v'' を選べば<div style="margin: 1ex 2em;"><math>\lim_{n\to\infty}v_n=v</math></div>とすることができるときに言う。

バナッハ空間のうち一般によく知られる二種類は、その台となる線型空間の係数体（基礎体）''K'' が実数体 '''R''' または複素数体 '''C''' であるもので、それぞれ'''実バナッハ空間'''および'''複素バナッハ空間'''と呼ばれる。

== 例 ==
{{main|[[バナッハ空間の一覧]]}}
以下はすべて実数体 '''R''' 上のバナッハ空間の例であるが、すべての例においてそれぞれ対応する複素数体上のバナッハ空間を考えることができる。
* ''n'' 次元[[ユークリッド空間]] '''R'''<sup>''n''</sup> は、''x'' = (''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>) &isin; '''R'''<sup>''n''</sup> に対して次で定義されるどのノルムについてもバナッハ空間である：
**<math>\lVert x\rVert=\sqrt{|x_1|^2+\cdots+|x_n|^2}</math>.
**<math>\lVert x\rVert_p=(|x_1|^p+\cdots+|x_n|^p)^{1/p}</math>（''p'' は 1 以上の実数）。上のノルムは ''p'' = 2 の場合である。
**<math>\lVert x\rVert_{\infty}=\max\{|x_1|,\ldots,|x_n|\}</math>.
* ''p'' を 1 以上の実数とし、実数列 {''a<sub>n</sub>''} であって ''p'' 乗総和可能、つまり <div style="margin: 1ex auto 1ex 2em;"><math>\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|^p<\infty</math></div> を満たすもの全体を ℓ<sup>''p''</sup> と書く。これは、''a'' = {''a<sub>n</sub>''} &isin; ℓ<sup>''p''</sup> に対して <div style="margin: 1ex auto 1ex 2em;"><math>
 \lVert a\rVert_p=\left(\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|^p\right)^{\frac{1}{p}}
</math></div> で定まるノルムに関してバナッハ空間である。
* [[有界]]な実数列全体の集合 ℓ<sup>&infin;</sup> は、''a'' = {''a<sub>n</sub>''} &isin; ℓ<sup>&infin;</sup> に対して <div style="margin: 1ex auto 1ex 2em;"><math>\lVert a\rVert_{\infty}=\sup_{n=1,2,\ldots}|a_n|</math></div> で定まるノルムに関してバナッハ空間である。
* (&Omega;, &mu;) を[[測度空間]]とし、''p'' を 1 以上の実数とするとき、&Omega; 上の ''p'' 乗可積分関数全体の集合<ref group="注" name="ae">測度空間では、その測度に関する零集合上での挙動は測れないものとして、二つの函数が「[[殆ど至る所]]一致する」場合には函数自体を区別しないで同一視する。この殆ど至る所一致するという関係は同値関係であり、函数空間はこの同値関係で割ったものを考える。</ref> ''L<sup>p</sup>''(&Omega;, &mu;) は、<div style="margin: 1ex auto 1ex 2em;"><math>
 \lVert f\rVert_p=\left(\int_{\Omega}|f|^p\,d\mu\right)^{1/p}
</math></div> で定まるノルムに関してバナッハ空間である。&Omega; が自然数全体の集合 '''N''' で、&mu; が[[数え上げ測度]]のとき、''L<sup>p</sup>''(&Omega;, &mu;) は上で述べた ℓ<sup>''p''</sup> と一致する。
* (&Omega;, &mu;) を測度空間とし、&Omega; 上の[[本質的に有界]]な関数、すなわちほとんどすべての ''x'' &isin; &Omega; に対して ''f''(''x'') &le; ''M'' となる ''M'' が ''x'' に依存せずに存在するような関数全体の集合<ref group="注" name="ae" /> ''L''<sup>&infin;</sup>(&Omega;, &mu;) は、上のような ''M'' の[[下限]]で定義されるノルムに関してバナッハ空間である。&Omega; が自然数全体の集合 '''N''' で、&mu; が数え上げ測度のとき、''L''<sup>&infin;</sup>(&Omega;, &mu;) は上で述べた ℓ<sup>&infin;</sup> と一致する。
* 有界閉区間 ''I'' 上の実数値連続関数全体 ''C''(''I'') は <div style="margin: 1ex auto 1ex 2em;"><math>\lVert f\rVert=\max_{x\in I}|f(x)|</math></div> で定まるノルムに関してバナッハ空間である。
* 実[[ヒルベルト空間]]は内積から導かれるノルムに関してバナッハ空間となっている。

== バナッハ空間の構成 ==
=== 直和空間 ===
二つのバナッハ空間 ''X'', ''Y'' に対して、それらの[[加群の直和|加群としての直和]] ''X''&nbsp;⊕ ''Y'' には自然に[[位相線型空間]]の構造が入るが、標準的なノルムは存在しない。それでもこれをバナッハ空間とするようないくつか同値なノルムが存在し、その一つとして
:<math> \|x \oplus y\| = \bigl( \|x\|^p + \|y\|^p \bigr)^{1/ p}, \quad (1 \le p \le \infty) </math>
を挙げることができる。またこの構成を一般化して、任意個のバナッハ空間に対する ℓ<sup>''p''</sup>-直和を定義することができるが、非零な直和因子が無限個存在する場合には、この方法で得られる空間は ''p'' に依存して変わる。

=== 商空間 ===
''M'' をバナッハ空間 ''X'' の閉[[部分線型空間]]とすると、代数的な[[商線型空間|商空間]] ''X''&nbsp;/&nbsp;''M'' は再びバナッハ空間を成す。

== 連続線型写像と双対空間 ==
{{main|有界作用素}}
同じ基礎体 '''K''' 上のバナッハ空間 ''V'', ''W'' に対し、[[連続写像|連続]][[線型作用素| '''K'''-線型写像]] ''A'': ''V'' → ''W'' 全体の成す空間を ''L''(''V'', ''W'') で表す。無限次元空間の場合には任意の線型写像が自動的に連続となるわけではない。一般にノルム空間上の線型写像が連続となることと、それが単位閉球体上の[[有界作用素|有界]]となることとは同値である。従て、線型空間 ''L''(''V'', ''W'') に[[作用素ノルム]]
:<math>\|A\| = \sup\{\|Ax\|_W \mid x\in V,\ \|x\|_V\le 1\}</math>
を入れることができて、このノルムに関して ''L''(''V'',''W'') はバナッハ空間を成す。このことは仮定を ''V'' がノルム空間である場合に緩めても成り立つ。

''V'' = ''W'' である場合、空間 End(''V'') = L(''V'') := L(''V'', ''V'') は[[写像の合成]]を積として単位的[[バナッハ環]]を成す。

''V'' がバナッハ空間で '''K''' をその基礎体（つまり実数体 '''R''' もしくは複素数体 '''C'''の何れか）とすると、'''K''' は（その[[絶対値]]をノルムとして）それ自身バナッハであり、''V'' から '''K''' への連続線型函数の空間 ''L''(''V'', '''K''') として、''V'' の[[双対空間]]（[[連続的双対]]、位相的双対）''V''&prime; を定義することができる。''V''&prime; もまた（[[作用素ノルム]]に関して）バナッハ空間になる。双対空間を介して ''V'' に新たな位相（[[弱位相]]）を定義することができる。

ここで写像の連続性は本質的であることに注意せよ。''V'' が無限次元ならば、連続でない線型写像が存在し、従ってそれは[[有界函数|有界]]でないから、'''K''' への線型写像全体の成す空間 ''V''<sup>∗</sup> はバナッハでない（''V''<sup>∗</sup> は ''V''&prime; との区別のために[[代数的双対]]とも呼ばれる）。代数的双対空間 ''V''<sup>∗</sup> を使っても弱位相を誘導することができるが、（{{nowrap|''V''&prime; ⊆ ''V''<sup>&lowast;</sup>}}）これは連続的双対から誘導されるものよりも[[細かい位相|細かい]]ものになる。

''V'' から ''V''&prime;&prime;（双対の双対; 二重双対空間）への自然な写像 ''F'' が
: <math>F(x)(f) := f(x) \in \mathbb{K},\quad (x\in V,\,f\in V')</math>
で定義される。''F''(''x'') は ''V''&prime; から '''K''' への写像であるから、これは確かに ''V''&prime;&prime; の元であり、従って写像 ''F'': ''x''&nbsp;→ ''F''(''x'') は ''V''&nbsp;→ ''V''&prime;&prime; なる写像を定めていることがわかる。[[ハーン・バナッハの定理]]の帰結として、この写像は[[単射]]かつ[[等距変換]]である。さらにこれが[[全射]]でもあるときにはバナッハ空間 ''V'' は[[回帰的空間|回帰的]] (reflexive; 再帰的、反射的）であると言う。反射的空間は幾何学的に重要な性質を多く持つ。バナッハ空間が反射的であるための必要十分条件は、その双対空間が反射的となることであり、これはまた、その単位球体が[[弱位相]]に関して[[コンパクト空間|コンパクト]]となることと同値である。

例えば ℓ<sup>''p''</sup> は 1 &lt; ''p'' &lt; ∞ なるとき反射的であるが、ℓ<sup>1</sup> および ℓ<sup>∞</sup> は反射的でない。''p'' &lt; ∞ のとき、ℓ<sup>''p''</sup> の双対は ℓ<sup>''q''</sup> になる。ただし ''p'' と ''q'' とは 1/''p'' + 1/''q'' = 1 なる関係にあるものとする。詳細は[[ルベーグ空間| ''L''<sup>&nbsp;''p''</sup>-空間]]の項目を見よ。

== 極化形式とヒルベルト空間 ==
任意の[[内積]]には対応するノルムが付随し（ノルムと内積との対応は ǁ'''v'''ǁ² = ('''v''','''v''') で与えられる）、内積に付随するノルムに関して完備な内積空間は[[ヒルベルト空間]]と呼ばれるから、任意のヒルベルト空間は定義によりバナッハ空間であるが、逆は必ずしも真でない。バナッハ空間 ''V'' のノルム ǁ&bull;ǁ が内積に付随する（従って ''V'' がヒルベルト空間になる）ための必要十分条件は、[[中線定理]]（平行四辺形法則）:
:<math>\|u+v\|^2 + \|u-v\|^2 = 2(\|u\|^2 + \|v\|^2)</math>
を任意の ''u'', ''v'' &isin; ''V'' に対して満たすことである。故に、例えば '''R'''<sup>''n''</sup> がその上で定義される「任意の」ノルムに関してバナッハであるのと対照的に、ヒルベルトとなるのはユークリッドノルムに関してのみということになる。同様に無限次元の場合、例えばルベーグ空間 ''L''<sup>''p''</sup> は常にバナッハだがヒルベルトとなるのは ''p'' = 2 の場合に限る。

バナッハ空間のノルムが中線定理の等式を満たすとき、バナッハ空間をヒルベルトとする内積は[[偏極恒等式]]（極化形式）によって与えられる。''V'' が実バナッハ空間のとき、偏極恒等式は
:<math>\langle u,v\rangle = \frac{1}{4}\,(\|u+v\|^2 - \|u-v\|^2)</math>
で与えられる。一方 ''V'' が複素バナッハ空間のとき、偏極恒等式は（エルミート内積は第一変数に関して線型とする場合）
:<math>\langle u,v\rangle = \frac{1}{4}\,(\|u+v\|^2 - \|u-v\|^2 + i(\|u+iv\|^2 - \|u-iv\|^2))</math>
となる。この条件の必要性は内積の性質から容易に従う。これが十分であること（即ち、平行四辺形法則から偏極恒等式の定める形式が実際に完備内積となることが出ること）を見るには、この形式が加法的であることを代数的に確認して、それから[[数学的帰納法|帰納的に]]整係数、有理係数上線型であることを示し、さらに任意の実数がある有理コーシー列の極限であることとノルムの完備性を使って実線型性を示せばよい。複素係数の場合には、実双線型性に加えてさらに一方の引数については虚数単位 ''i'' に対する線型性と他方の引数に関する共軛線型性とを持つことを確かめればよい。

== 次元の非可算性 ==
バナッハ空間の完備性と[[ベールの範疇定理]]の帰結として、無限次元バナッハ空間の[[ハメル基底]]は[[非可算]]となることがわかる。

== バナッハ空間上の微分法 ==
バナッハ空間上でいくつかの微分の概念を考えることができる。詳細は[[フレシェ微分]]や[[ガトー微分]]の項などを参照せよ。

== 一般化 ==
函数解析学において様々な重要な空間が存在するが、例えば無限回微分可能な函数 '''R''' &rarr; '''R''' 全体の成す空間や '''R''' 上の[[シュヴァルツ超函数]]全体の成す空間は完備ではあるがノルムが付かず、従ってバナッハ空間にはならない。[[フレシェ空間]]には同じく[[完備距離空間|完備な計量]]が付くが、その極限として得られる[[LF空間| ''LF''-空間]]は[[完備一様空間|完備]]な[[一様空間|一様]]線型空間になる。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
{{Notelist2}}
=== 出典 ===
<references />

== 関連項目 ==
* [[位相線形空間]]
* {{仮リンク|歪み問題|en|Distortion problem}}

== 参考文献 ==
* {{cite book|和書|title=関数解析|author=藤田宏、黒田成俊、伊藤清三|publisher=岩波書店|location=東京|year=1991|id=ISBN 4000078100}}
* {{citation | first=Stefan | last=Banach | authorlink=ステファン・バナフ|　url=http://matwbn.icm.edu.pl/kstresc.php?tom=1&wyd=10 | title=Théorie des opérations linéaires | publication-place=Warszawa | publisher=Subwencji Funduszu Kultury Narodowej | year=1932 | series=Monografie Matematyczne | volume=1 | zbl=0005.20901}}.
* {{citation | last=Beauzamy | first=Bernard | title=Introduction to Banach Spaces and their Geometry | year=1985 | origyear=1982 | edition=Second revised | publisher=North-Holland}}.
* {{citation | first=Nicolas | last=Bourbaki | authorlink=ニコラ・ブルバキ | title=Topological vector spaces | series=Elements of mathematics | publisher= Springer-Verlag | publication-place=Berlin | year=1987 | isbn=978-3-540-13627-9}}.
* {{Citation | last1=Dunford | first1=Nelson | last2=Schwartz | first2=Jacob T. | title=Linear Operators. I. General Theory | publisher=Interscience Publishers, Inc., New York | series=With the assistance of W. G. Bade and R. G. Bartle. Pure and Applied Mathematics, Vol. 7 | mr=0117523 | year=1958}}

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|urlname=BanachSpace|title=Banach Space}}
* {{PlanetMath|urlname=BanachSpace|title=Banach space}}

{{Functional Analysis}}
{{authority control}}

{{DEFAULTSORT:はなつはくうかん}}
[[category:関数解析学]]
[[Category:バナッハ空間|*]]
[[Category:ステファン・バナフ]]
[[Category:数学のエポニム]]
[[Category:数学に関する記事]]