バナッハ関数環のソースを表示

[[数学]]の[[関数解析学]]の分野において、ある[[コンパクト空間|コンパクト]][[ハウスドルフ空間]] ''X'' 上の'''バナッハ関数環'''（バナッハかんすうかん、{{Lang-en-short|Banach function algebra}}）とは、''X'' を定義域とするすべての[[連続 (数学)|連続]]な[[複素数|複素数値]]関数からなる[[可換]]な[[C*-環]]の[[単位的環|単位的]][[部分環]] ''A'' のことを言う。あるノルムが備えられることで、[[バナッハ環]]となる。

バナッハ関数環は、すべての <math> (f\in A) </math> に対して f(p) = 0 となるようなある点 p が存在するなら、その点 p において消失する（vanish）と言われる。関数環は、異なる各点のペア <math> (p,q \in X) </math> に対して <math> f(p) \neq f(q) </math> となるような関数 <math> (f\in A) </math> を含むとき、各点を分離する（separate）と言われる。

各 <math>x\in X</math> に対して、<math>\varepsilon_x(f)=f(x)\ (f\in A)</math> を定める。このとき <math>\varepsilon_x</math> は <math>A</math> 上の非ゼロな準同型である。

'''定理''' バナッハ関数環は[[半単純環|半単純]]（すなわちその[[ジャコブソン根基]]が 0 に等しい）で、それぞれの可換な[[単位的環|単位的]]半単純バナッハ環は（{{仮リンク|ゲルファンド表現|label=ゲルファンド変換|en|Gelfand representation}}を通じて）その特性空間上のあるバナッハ関数環への[[同型]]である。ここで特性空間とは、''A'' から複素数への環準同型で[[相対位相|相対]][[弱位相|弱*位相]]が与えられるものからなる空間である。

<math>A</math> 上のノルムが <math>X</math> 上の一様ノルム（あるいは上限ノルム）であるなら、<math>A</math> は[[一様環]]と呼ばれる。一様環はバナッハ関数環の特別な場合として重要なものである。

== 参考文献 ==
* H.G. Dales ''Banach algebras and automatic continuity''

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