バラ曲線のソースを表示

[[Image:rose curve1.png|thumb|150px|right|r = sin(nθ)<br>但しn=1（青）,n=2（緑）,n=3（赤）]] 
[[Image:rose curve2.png|thumb|150px|right|r = sin(θ/n)<br>但しn=1（青）,n=2（緑）,n=3（赤）]] 
[[Image:rose.svg|thumb|256px|right|r = sin(θ×n/d)]] 
'''バラ曲線'''（バラきょくせん<ref>{{Cite web |url=https://www.chart.co.jp/sp/original-goods/22056 |title=バラ曲線 クリアファイル |access-date=2024-8-5 |publisher=数研出版}}</ref>、{{Lang-en-short|rose, rosecurve, rhodonea}}）は[[極座標]]の方程式<math>r=a\sin n\theta</math>または<math>r=a\cos n\theta</math>によって表される[[曲線]]である。バラに似た形のため、1723-1728年の間に[[イタリア]]の[[数学者]]である{{仮リンク|ルイージ・グイード・グランディ|en|Luigi Guido Grandi}}により、このように名付けられた<ref>{{MacTutor Biography|class=Curves|id=Rhodonea|title=Rhodonea}}</ref>。'''正葉曲線'''、'''正葉線'''とも呼ばれるが正葉線は[[デカルトの正葉線]]を指す場合もある<ref name=":0">{{Cite book|和書 |title=微分積分学 続編 |year=1940 |publisher=[[裳華房]] |page=115 |author=[[渡辺義勝]] |doi=10.11501/1217894}}</ref>。原点と「原点から最も離れた点」の距離は''a'' である。cosのときの形はsinのときの形を回転させた形となる（逆も成り立つ）。

== 概要 ==

=== 一般的な性質 ===
バラ曲線<math>r=a\cos(n\theta)</math>は、次のようにして[[デカルト座標]]に変換できる<ref>''[[Mathematical Models (Cundy and Rollett)|Mathematical Models]]'' by [[Martyn Cundy|H. Martyn Cundy]] and A.P. Rollett, second edition, 1961 (Oxford University Press), p. 73.</ref>。

<math>\begin{align}
x &= r\cos(\theta) = a\cos(n\theta)\cos(\theta) \\
y &= r\sin(\theta) = a\cos(n\theta)\sin(\theta)
\end{align}</math>

また、

<math>\sin(n \theta) = \cos\left( n \theta - \frac{\pi}{2} \right) = \cos\left( n \left( \theta-\frac{\pi}{2n} \right) \right)</math>

であるから、{{math|''r'' {{=}} ''a'' sin(''nθ'')}}は{{math|''r'' {{=}} ''a'' cos(''nθ'')}}を{{math|{{sfrac|''π''|2''n''}}}}回転した形となる<ref>{{cite web |title=Rose (Mathematics) |url=https://mathworld.wolfram.com/Rose.html |access-date=2021-02-02}}</ref>。また、''n'' が[[偶数]]のとき 2''n'' のループからなる。''n'' が[[奇数]]のとき''n'' のループからなる。また''n'' が分数の場合も考えることができる。nが有理数ならば、バラ曲線は、デカルト座標上の[[代数曲線]]である<ref name=":2">{{cite web |title=Rose |url=https://mathcurve.com/courbes2d.gb/rosace/rosace.shtml |author=Robert Ferreol |access-date=2021-02-03}}</ref>。

==== 花弁 ====

* バラ曲線の極方程式の正弦波の半周期の部分のグラフを'''petal'''という。1周期を{{math|''T'' {{=}} {{sfrac|2''π''|''k''}}}}とすれば、{{math|''r'' ≥ 0}}の{{math|{{sfrac|''T''|2}} {{=}} {{sfrac|''π''|''k''}}}}の部分と、{{math|''r'' ≤ 0}}の半分の部分である。
* すべてのpetalの形は一致する。また、{{math|(''a'',0)}}を頂上に持つpetalは範囲{{math|−{{sfrac|''T''|4}} ≤ ''θ'' ≤ {{sfrac|''T''|4}}}}のpetalである。
* nが0でない整数であることと、バラ曲線が重ならないことは[[同値]]。

==== 対称性 ====

* {{math|''a'' cos(''kθ'') {{=}} ''a'' cos(−''kθ'')}}や{{math|''a'' sin(''kθ'') {{=}} ''a'' sin(''π'' − ''kθ'')}}などから、バラ曲線は[[対称性]]や周期性を持つ。
* petalは原点を中心に[[回転運動|回転移動]]して重なる。

== 整数の場合 ==
<math>r=a\cos \theta</math>は次の式で表される円である。

<math>\left(x-\frac{a}{2}\right)^2+y^2=\left(\frac{a}{2}\right)^2</math>

<math>r=a \cos 2\theta</math>は'''quadrifolium'''{{Enlink|quadrifolium}}と呼ばれる<ref name=":0" />。直交座標系では次の式で与えられる。

<math>\left(x^2+y^2\right)^3=a^2\left(x^2-y^2\right)^2</math>

<math>r=a \sin 2\theta</math>は四葉曲線（four leaved rose）、四葉線、正四葉線などと呼ばれる<ref name=":1">{{Cite book|和書 |title=実用高等数学 上巻 |year=1933 |publisher=海事教育振興会 |pages=67,68 |author=[[堀乙次郎]] |doi=10.11501/1056792}}</ref>。

<math>r=a \cos 3\theta</math>は'''trifolium'''と呼ばれる<ref name=":0" />。直交座標系では次の式で与えられる<ref>{{cite web |title=Paquerette de Mélibée |url=https://mathworld.wolfram.com/PaquerettedeMelibee.html |author=Eric W. Weisstein |website=Wolfram MathWorld |access-date=2021-02-05}}</ref>。

<math>\left(x^2+y^2\right)^2=a\left(x^3-3xy^2\right)</math>

<math>r=a \sin 3\theta</math>は三葉曲線（Three leaved rose）、三葉線、正三葉線などと呼ばれる<ref name=":1" /><ref>{{Cite book|和書 |title=微分 3版 |year=1947 |publisher=[[修教社]] |pages=124,332-333 |author=[[前原重秋]] |doi=10.11501/1063328}}</ref><ref>{{cite web |title=Trifolium |url=https://proofwiki.org/wiki/Category:Definitions/Trifolium_Curves |access-date=2021-02-02}}</ref>。

<math>r=a \cos 4\theta</math>はoctafoliumと呼ばれ、直交座標系では次の式で与えられる。

<math>\left(x^2+y^2\right)^5=a^2\left(x^4-6x^2y^2+y^4\right)^2</math>

<math>r=a \cos 5\theta</math>はpentafoliumと呼ばれ、直交座標系では次の式で与えられる。

<math>\left(x^2+y^2\right)^3=a\left(x^5-10x^3y^2+5xy^4\right)</math>

=== 面積 ===
<math>r=a\sin k\theta</math>の面積は次の式で与えられる<ref name=":2" />。

<math>\begin{align}
    \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}(a\cos (k\theta))^2\,d\theta &= \frac {a^2}{2} \left(\pi + \frac{\sin(4k\pi)}{4k}\right) = \frac{\pi a^2}{2} &&\quad\text{for even }k\\[8px]
    \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}(a\cos (k\theta))^2\,d\theta &= \frac {a^2}{2} \left(\frac{\pi}{2} + \frac{\sin(2k\pi)}{4k}\right) = \frac{\pi a^2}{4} &&\quad\text{for odd }k
\end{align}</math>

一枚のpetalの面積はこれらをkで割ることにより得られる。

== 有理数の場合 ==
[[既約分数]]{{math|''k'' {{=}} {{sfrac|''n''|''d''}}}}のバラ曲線のpetalの数は、既約分数{{math|{{sfrac|1|2}} − {{sfrac|1|2''k''}} {{=}} {{sfrac|''n'' − ''d''|2''n''}}}}の分母と等しい<ref>{{cite web |title=Rhodonea |author=Jan Wassenaar |url=https://www.2dcurves.com/roulette/rouletter.html |access-date=2021-02-02}}</ref>。nが偶数、dが奇数の場合、[[点対称]]な図形となる。またすべてのバラ曲線は円{{math|''r'' {{=}} ''a''}}に内接する。

=== Dürer folium ===
{{math|''k'' {{=}} {{sfrac|1|2}}}}ならば、バラ曲線はDürer foliumと呼ばれる。[[アルブレヒト・デューラー]]の名を冠する。{{math|''a'' cos({{sfrac|''θ''|2}}) ≠ ''a'' sin({{sfrac|''θ''|2}})}}であっても{{math|''r'' {{=}} ''a'' cos({{sfrac|''θ''|2}})}}と{{math|''r'' {{=}} ''a'' sin({{sfrac|''θ''|2}})}}は一致する。直交座標では次の式で表される<ref>{{cite web |title=Dürer Folium |url=https://mathcurve.com/courbes2d.gb/foliumdedurer/foliumdedurer.shtml |author=Robert Ferreol |access-date=2021-02-03}}</ref>。

<math>\left(x^2+y^2\right)\left(2\left(x^2+y^2\right)-a^2\right)^2=a^4x^2</math>

=== limaçon trisectrix ===
{{math|''k'' {{=}} {{sfrac|1|3}}}}ならば、Limaçon trisectrix{{Enlink|Limaçon trisectrix}}を成す。この曲線は[[角の三等分問題|角の三等分]]に使われる。

{{multiple image|header=バラ曲線{{math|''r'' {{=}} cos(''kθ'')}}の例|align=center|image1=Rose Curve animation with Gears n1 d1.gif|width1=180|caption1=r=a sin(θ)|image2=Rose Curve animation with Gears n1 d3.gif|width2=180|caption2=limaçon trisectrix|image3=Rose Curve animation with Gears n3 d1.gif|width3=180|caption3=三葉曲線|image4=Rose Curve animation with Gears n4 d5.gif|width4=180|caption4=k=4/5としたときのバラ曲線}}

== 無理数の場合 ==
<math>r=a\sin n\theta</math>のnが[[無理数]]である場合、グラフが[[閉曲線]]となることはない。

== 出典 ==
{{Reflist}}

==外部リンク==
*[http://mathworld.wolfram.com/Rose.html MathWorld Rose]（英語）

{{DEFAULTSORT:はらきよくせん}}
[[Category:閉曲線]]
[[Category:数学に関する記事]]