バーガース方程式のソースを表示

[[物理学]]、特に[[流体力学]]において'''バーガース方程式'''（バーガースほうていしき、{{lang-en-short|Burgers equation}}）とは、[[一次元]]の[[非線形]][[波動]]を記述する二階[[偏微分方程式]]。
==概要==
[[方程式]]の名は、[[オランダ]]の[[物理学者]][[ヤン・バーガース]]に因む。

一次元の[[ナビエ-ストークス方程式]]において、[[圧力]]を無視できる場合に相当する。

[[非線形]]な[[偏微分方程式]]であるが、コール・ホップ変換と呼ばれる[[変換]]にて、線形な[[拡散方程式]]に帰着させることができる。

== 方程式 ==
時間変数''t'' と空間変数''x'' の関数''u'' (''x'', ''t'' )についての非線形偏微分方程式

:<math> 
\frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} =\nu \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} 
</math>

を'''バーガース方程式'''という。ここで、定数&nu;>0は[[粘性率|動的粘性率]]である。''uu<sub>x</sub>''の項は移流項、''u<sub>xx</sub>''は散逸項と呼ばれる。&nu;=0で散逸項がない場合、波の突っ立ちにより、解は[[多価関数]]となり、波の崩壊が生じるが、&nu;>0の場合には、散逸項により、崩壊が抑えられるため、波が伝播する。

バーガース方程式は非線形項''uu<sub>x</sub>''を持つ非線形偏微分方程式であるが、'''コール・ホップ変換'''（Cole-Hopf transformation）と呼ばれる変数変換
:<math>
\begin{align}
u &=- 2 \nu  \frac{\partial }{\partial x}\log{\psi}  \\
  &=- 2 \nu \frac{\psi_x}{\psi} 
\end{align}
</math>

によって、線形な[[拡散方程式]]

:<math>
\frac{\partial \psi}{\partial t} = \nu \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}   
</math>

に帰着させることができる。

== 参考文献 ==
* [[巽友正]]『流体力学 (新物理学シリーズ)』培風館 (1995年) ISBN 978-4563024215
* [[戸田盛和]] 『非線形波動とソリトン』日本評論社(2000年)　ISBN 978-4535783164

== 関連項目 ==
* [[ナビエ-ストークス方程式]]

{{DEFAULTSORT:はあかあすほうていしき}}
[[Category:流体力学の方程式]]
[[Category:人名を冠した数式]]
[[Category:物理学のエポニム]]