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'''バーガース渦'''または'''バーガース・ロット渦'''（バーガースうず、バーガース・ロットうず、{{lang-en-short|Burgers vortex, Burgers–Rott vortex}}）とは、[[粘性]]を考慮した[[ナビエ–ストークス方程式]]の厳密解であり、定常で[[自己相似]]な流れによる渦である。[[ヤン・バーガース]]<ref>{{Cite journal| authors=Burgers, J. M.| date=1948| title=A mathematical model illustrating the theory of turbulence| journal=In Advances in applied mechanics| volume=1|pages=171-199| publisher=[[Elsevier]]| url=https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0065215608701005}}</ref>とニコラス・ロット<ref>{{Cite journal| author=Rott, N| date=1958| title=On the viscous core of a line vortex| journal=Zeitschrift für angewandte Mathematik und Physik ZAMP| volume=9| pages=543-553| publisher=Springer| url=https://link.springer.com/article/10.1007/BF02424773}}</ref>の名前に由来する。

== 概要　==
対称軸中心向きの放射状の流れは、軸周りに[[渦度]]を集中させる傾向にある。また同時に粘性拡散は渦度を拡散する傾向にある。この2つの効果が釣り合うときに定常なバーガース渦が発生する。
バーガース渦は[[竜巻]]のような連続的な[[対流]]駆動などによる渦の伸長によって渦度が与えられる流れを説明することができる。

== 流れ場 ==
バーガース渦の流れは[[円筒座標系]] <math>(r,\theta,z)</math> で表現される。軸対称（<math>\theta</math> に依存しない）を仮定し、軸に対称な滞留点のある流れ場を考える。

:<math>v_r= -\alpha r,</math>
:<math>v_z=2\alpha z,</math>
:<math>v_\theta=\frac{\Gamma}{2\pi r}g(r).</math>

ここで <math>\alpha > 0</math> は伸長度、<math>\Gamma > 0</math> は[[循環 (流体力学)|循環]]である。最初の二式 <math>v_r, v_z</math> により、流れ場は[[連続の式]]を満たす。
ナビエ–ストークス方程式の圧力項と外力項を無視した方位角方向の[[運動方程式]]は次のように表現される<ref>{{Cite book|author=Drazin, P. G.| author2=Riley, N.| date=2006| title=The Navier-Stokes equations: a classification of flows and exact solutions| journal=London Mathematical Society Lecture Note Series| volume=334| publisher=Cambridge University Press}}</ref>。

:<math>r \frac{\mathrm{d}^2 g}{\mathrm{d} r^2} + \left(\frac{\alpha r^2}{\nu} -1 \right) \frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d} r} = 0.</math>

ここで <math>\nu</math> は動粘性係数である。
無限遠ではポテンシャル渦のような振る舞いをし、有限の場所では回転する流れとなるように、方程式は <math>g(\infty)=1</math> を満たすように積分される。この仮定により、軸上では<math>g(0)=0</math> すなわち <math>v_\theta=0</math>が保証される。このとき解は

:<math>g= 1 - \exp \left(-\frac{\alpha r^2}{2\nu}\right).</math>

したがって渦度は非自明な <math>z</math> 軸方向の成分のみ与えられ、以下のように表現される。

:<math>\omega_z = \frac{\alpha\Gamma}{2\pi\nu} \exp \left(-\frac{\alpha r^2}{2\nu}\right).</math>

<math>\omega_z</math> のための渦度方程式の3つの項によって直感的に流れ場を理解することができる。軸方向の速度 <math>v_z</math> は渦の伸長によって軸方向の渦中心の渦度を強める。強まった渦度は動径方向に拡散しようとするが、<math>v_r</math> による動径方向の渦対流により拡散は阻止される。この3つの流れのバランスにより、定常的な渦場が得られる。

== バーガース渦レイヤー ==
バーガース渦レイヤーまたはバーガース渦シートは、バーガース渦を2次元的に近似したシアー層である。これもナビエ–ストークス方程式の厳密解であり、[[1951年]]にA.A.Townsendによって最初に記述された<ref>{{Cite journal| author=Townsend, A. A.| date=1951| title=On the fine-scale structure of turbulence| journal=Proceedings of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences| volume=208| issue=1095| pages=534-542| url=https://royalsocietypublishing.org/doi/10.1098/rspa.1951.0179}}</ref>。[[直交座標系]]で表される速度場 <math>(v_x,v_y,v_z)</math> は

:<math>v_x= -\alpha x,</math>
:<math>v_z=\alpha z,</math>
:<math>v_y= U\mathrm{erf}\left(
\frac{\sqrt\alpha x}{\sqrt{2\nu}}\right).</math>

ここで <math>\alpha > 0</math> は伸長度、<math>v_y(+\infty) = U</math>、<math>v_y(-\infty) = -U</math> である。<math>2U</math> の値は渦レイヤーの強度と解釈できる。渦度は非自明な <math>z</math> 軸方向の成分のみ与えられ、以下のように表現される。

:<math>\omega_z = \frac{2U}{\sqrt{2\pi}}\sqrt{\frac{\alpha}{\nu}} \exp \left(-\frac{\alpha x^2}{2\nu}\right).</math>

== 非軸対称なバーガース渦 ==
非軸対称な流れ場の中では、非軸対称なバーガース渦が現れる。渦の[[レイノルズ数]] <math>Re=\Gamma/(2\pi \nu)</math> が小さい場合の非軸対称なバーガース渦の理論は[[1984年]]に A. C. Robinson と {{仮リンク|Philip Saffman|en|Philip Saffman}} によって構築されたが<ref>{{Cite journal| author=Robinson, A. C.| author2=Saffman, P. G.| date=1984| title=Stability and structure of stretched vortices| journal=Studies in applied mathematics| publisher=[[ジョン・ワイリー・アンド・サンズ|Wiley]]| volume=70| issue=2| pages=163-181| url=https://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/sapm1984702163}}</ref>、[[1994年]]には{{仮リンク|Keith Moffatt|en|Keith Moffatt}}、S. Kida、K. Ohkitani によってレイノルズ数が大きい場合 <math>Re\gg 1</math> の理論を構築した<ref>{{Cite journal| author=Moffatt, H. K.| author2=Kida, S.| author3=Ohkitani, K.| date=1994| title=Stretched vortices–the sinews of turbulence; large-Reynolds-number asymptotics| journal=Journal of Fluid Mechanics| publisher=Cambridge University Press| volume=259| pages=241-264| url=https://www.cambridge.org/core/journals/journal-of-fluid-mechanics/article/abs/stretched-vortices-the-sinews-of-turbulence-largereynoldsnumber-asymptotics/F99711F9F31B71ABBDBD6C2353F4CB5A}}</ref>。

渦のレイノルズ数を任意に設定した場合の非軸対称なバーガース渦は[[数値積分]]によって考えることができ、速度場は次のような形になる<ref>{{Cite journal| author=Prochazka, A.| author2=Pullin, D. I.| date=1998| title=Structure and stability of non-symmetric Burgers vortices| journal=Journal of Fluid Mechanics| volume=363| pages=199-228| url=https://www.cambridge.org/core/journals/journal-of-fluid-mechanics/article/abs/structure-and-stability-of-nonsymmetric-burgers-vortices/916FABFF0C8BE24771C13382789B7158}}</ref>。

:<math>v_x = -\alpha x + u(x,y),</math>
:<math>v_y = -\beta y + v(x,y),</math>
:<math>v_z = \gamma z.</math>

ここで <math>\gamma=\alpha+\beta</math> である。一般性を損なわないように <math>\alpha > 0</math>、<math>\gamma > 0</math> を仮定する。渦の断面は <math>xy</math> 平面上にあり、<math>z</math> 方向に0ではない渦度成分が存在し、以下のように表現される。

:<math>\omega_z = \frac{\partial u}{\partial y}-\frac{\partial v}{\partial x}.</math>

軸対称なバーガース渦は <math>\alpha=\beta=\gamma/2</math> を満たす場合であり、バーガース渦レイヤーは <math>\alpha=\gamma</math> and <math>\beta=0</math> を満たす場合である。

== 円筒座標の淀み面上におけるバーガース渦 ==
伸長した円筒座標の淀み面上におけるバーガース渦についてのナビエ–ストークス方程式の陽解法が2021年に議論された<ref>{{Cite journal| author=P. Rajamanickam| author2=A. D. Weiss| date=2021| title=Steady axisymmetric vortices in radial stagnation flows| journal=The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics| volume=74| issue=3| pages=367–378| url=https://academic.oup.com/qjmam/article-abstract/74/3/367/6353885}}</ref>。
円筒座標系において方程式は以下の速度場に従う。

:<math>v_r= -\alpha \left(r - \frac{r_s^2}{r}\right),</math>
:<math>v_z=2\alpha z,</math>
:<math>v_\theta= \frac{\Gamma}{2\pi r}P\left(1+ \frac{\alpha r_s^2}{2\nu},\frac{\alpha r^2}{2\nu}\right),</math>

ここで <math>\alpha > 0</math> は伸長度、<math>r_s \geq 0</math> は円筒座標上の淀み面の場所である。<math>\Gamma > 0</math> は循環。<math>P</math> は[[不完全ガンマ関数]]である。
この解は[[ポテンシャル流]]による{{仮リンク|線状の強制|en|Potential flow#Examples of two-dimensional flows#Line source and sink|line source}} <math>Q=2\pi \alpha r_s^2</math> が存在する場合のバーガース渦の表現に他ならない。
渦度は非自明な <math>z</math> 軸方向の成分のみ与えられ、以下のように表現される。

:<math>\omega_z = \frac{\alpha\Gamma}{2\pi\nu \tilde\Gamma(1+\alpha r_s^2/2\nu)}\left(\frac{\alpha r^2}{2\nu}\right)^{\alpha r_s^2/2\nu} \exp \left(-\frac{\alpha r^2}{2\nu}\right)</math>

ここで <math>\tilde\Gamma</math> は[[ガンマ関数]]である。<math>r_s\rightarrow 0</math> のとき関数はバーガース渦へ近づき、<math>r_s\rightarrow \infty</math> のときバーガース渦レイヤーの解に近づく。
円筒座標上の淀み面におけるサリバン渦の陽な解も存在する。

== サリバン渦 ==
[[1959年]]に Roger D. Sullivan が以下のような速度場を考えてバーガース渦を拡張した<ref>{{Cite journal| author=Roger D. Sullivan| date=1959| title=A two-cell vortex solution of the Navier-Stokes equations| journal=Journal of the Aerospace Sciences| volume=26| issue=11| pages=767-768| url=https://arc.aiaa.org/doi/10.2514/8.8303}}</ref>。

:<math>v_r=- \alpha r + \frac{1}{r} f(\eta),</math>
:<math>v_z=2\alpha z\left[1-\frac{f'(\eta)}{2\nu}\right],</math>
:<math>v_\theta=\frac{\Gamma}{2\pi r}\frac{g(\eta)}{g(\infty)}. </math>

ここで <math>\eta = \alpha r^2/(2\nu)</math> である。関数 <math>f(\eta)</math> と <math>g(\eta)</math> は次のように表現される。

:<math>f(\eta) = 6\nu (1-e^{-\eta}),</math>
:<math>g(\eta)=\frac{\nu}{\alpha} \int_0^\eta \exp \left[-t + 3 \int_0^t \frac{1-e^{-s}}{s}\mathrm{d}s\right]\mathrm{d} t.</math>

バーガース渦において <math>v_r < 0</math> であり、<math>v_\theta > 0</math> と <math>v_z/z>0</math> は常に正である。サリバンの結果は <math>\eta \leq 2.821</math> のとき <math>v_r > 0</math> となり、<math>\eta \leq 1.099</math> のとき <math>v_z/z < 0</math> となる。
したがってサリバン渦は <math>\eta > 2.821</math> のときバーガース渦と似た構造をもつが、<math>v_z/z</math> の符号が軸付近で異なる2セル構造が発達する。

== 関連項目 ==
* [[流体力学]]
* [[ランキン渦]]
* {{仮リンク|Kerr–Dold vortex|en|Kerr–Dold vortex}}

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist|30em}}

{{DEFAULTSORT:はあかあすうす}}
[[Category:うず]]