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'''バースカラ'''（Bhāskara、[[マラーティー語]]: भास्कराचार्य、1114年 - 1185年）は、[[インド]]の[[インドの数学|数学者]]で[[天文学]]者。7世紀の数学者{{仮リンク|バースカラ1世|hi|भास्कर प्रथम|en|Bhāskara I}}と区別するため'''バースカラ2世''' (Bhaskara II) または'''バースカラーチャーリヤ'''（Bhaskara Achārya、バースカラ先生の意）とも呼ばれる。[[南インド]]の現在の[[マハーラーシュトラ州]][[ビード県]]{{Enlink|Beed district, Maharashtra}}にあたる Bijjada Bida で[[バラモン]]階級の家に生まれる。当時のインド数学の中心地であった[[ウッジャイン]]{{Enlink|Ujjain}}の[[天文台]]の天文台長を務めた。前任者には、[[ブラーマグプタ]]（598年 - 665年）や[[ヴァラーハミヒラ]]がいる。[[西ガーツ山脈]]地方に住んでいた。

== 人物・生涯 ==
代々、宮廷学者の地位を世襲しており、バースカラの息子やその子孫もその地位を継承していることが記録に残っている。父マヘーシュヴァラ（Mahesvara）は[[占星術師]]で、バースカラに数学を教え、バースカラはそれを息子 Loksamudra に継承させた。Loksamudra の息子は1207年に学校設立を助け、そこでバースカラの書いた文書の研究を行った<ref>{{cite book | first = Kim | last = Plofker | year = 2007 | pages = 447 | title = Mathematics in India}}</ref>。

バースカラは、12世紀の数学および天文学の発展に大きな業績を残した。主な著書として、『リーラーヴァティ』''{{Enlink|Lilavati}}''（主に[[算術]]を扱っている）、『ビージャガニタ』''{{Enlink|Bijaganita}}''（[[代数学]]）、『シッダーンタ・シローマニ』''{{Enlink|Siddhānta Shiromani}}''（1150年）がある。『シッダーンタ・シローマニ』は Goladhyaya（[[球面]]）と Grahaganita（[[惑星]]の数学）の2部構成になっている。

== 伝説 ==
バースカラ2世の算術の本は、彼の娘リーラーヴァティのために書かれたという伝説がある。[[ペルシア語]]版の『リーラーヴァティ』に書かれていた物語は、バースカラ2世がリーラーヴァティのホロスコープを研究して占ってみたところ、娘がある特定の時刻に結婚しないと彼女の夫が結婚後間もなく死ぬとでた、というものである。娘にその正しい時刻を警告するため、バースカラ2世は水の入った容器を置き、その上に底に小さな穴の開いたカップを浮かべ、ちょうどよい時刻にカップが沈むように設定した。そして、リーラーヴァティ にはそれに近づかないよう警告した。しかし娘は奇妙に思ってそれを覗き込み、鼻につけていた真珠がカップに落ち、沈み方が変わってしまった。そのため、結婚が間違った時間に執り行われ、彼女は間もなく未亡人となった。<ref>細部は異なるが、{{Cite book |和書 |author=イアン・スチュアート |authorlink=イアン・スチュアート (数学者) |title=数学の魔法の宝箱 |publisher=ソフトバンク クリエイティブ |page=7 |isbn=978-4-7973-5982-4}}に同様の話が紹介されている。</ref>

バースカラ2世は、有限の数をゼロで割ると（[[ゼロ除算]]）無限大になるという近代的な数学と同じ考え方をしていた<ref>Arithmetic and mensuration of Brahmegupta and Bhaskara, [[ヘンリー・トーマス・コールブルック|H.T Colebrooke]], 1817</ref>。なお、現代数学の観点では、ゼロ除算はいかなるアプローチから定義を試みようとも必ず破綻に至るとして、「値を定義し得ないため、計算は不可能である」との見解で一致している。詳細は[[ゼロ除算]]を参照。

== 数学 ==
バースカラ2世の数学への貢献には、以下のようなものがある。

* [[ピタゴラスの定理]]の証明。同じ領域の[[面積]]を2種類の方法で計算し、項を相殺させて消すことで ''a''<sup>2</sup>&nbsp;+&nbsp;''b''<sup>2</sup>&nbsp;=&nbsp;''c''<sup>2</sup> という式を導いた。
*『リーラーヴァティ』において、[[二次方程式]]、[[三次方程式]]、[[四次方程式]]の解を示した。
* [[線型性|線形]]および二次の方程式で[[整数]]解を求める方法（クッタカ法）。17世紀[[ルネサンス]]期のヨーロッパの数学者と同じ方法である。
* ''ax''<sup>2</sup> + ''bx'' + ''c'' = ''y'' という形式の方程式を解く[[チャクラバーラ法]]{{Enlink|Chakravala method}}。この方程式は1657年に[[ウィリアム・ブラウンカー]]が解いたとされていたが、彼の方法はチャクラバーラ法よりも複雑だった。
* [[ペル方程式]]と呼ばれる ''x''<sup>2</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;''ny''<sup>2</sup> = 1 という形式の方程式の整数解を求める方法を示した。
<!-- これではペル方程式と同じ。別の方程式の間違いでは？ * 61''x''<sup>2</sup> + 1 = ''y''<sup>2</sup> のような二次の[[ディオファントス方程式]]の解法。この方程式は1657年、[[フランス]]の数学者[[ピエール・ド・フェルマー]]が問題として提示したが、ヨーロッパでこの解法を明らかにしたのは[[レオンハルト・オイラー]]で18世紀になってからのことである。 -->
* 変数が複数ある[[二次方程式]]を解き、[[正の数と負の数|負数]]と[[無理数]]の解を発見した。
* [[解析学]]の基本概念。
* [[微分法]]の基本概念と[[積分法]]の元となる貢献。[[導関数]]と[[微分係数]]を発見。[[平均値の定理]]の特殊な場合である[[ロルの定理]]を発見。平均値の定理と思われる記述も著作の中に見つかっている。
* [[三角関数]]の導関数を計算。
* 『シッダーンタ・シローマニ』の中で、いくつかの[[三角法]]と共に[[球面三角法]]を展開している。

=== 算術 ===
バースカラ2世の[[算術]]についての著書『リーラーヴァティ』は、定義、算術用語、利子計算、算術級数と幾何級数、[[平面]]幾何学、[[立体]]幾何学、[[日時計]]の影、不変方程式の解法、[[組合せ (数学)|組合せ]]などを扱っている。

『リーラーヴァティ』は13章からなり、算術だけでなく代数学や幾何学も扱い、一部は三角法や求積法を扱っている。具体的には、次のような内容がある。
* 定義
* [[0|ゼロ]]の性質（[[除法]]を含むゼロの演算規則）
* その他の数に関すること。[[正の数と負の数|負数]]や[[無理数]]（[[冪根]]）を含む。
* [[円周率]]の近似値。
* 算術。[[乗法]]や[[冪乗|平方]]など。
* 逆三数法 (inverse rule of three)。3だけでなく、5, 7, 9, 11 に拡張。
* [[利子]]計算に関する問題。
* 算術級数と幾何級数。
* [[平面]]の幾何学。
* [[立体]]の幾何学。
* [[組合せ数学]]（順列と組合せ）。
* 線型および二次の不定方程式の整数解の求め方（クッタカ）。これについては、17世紀[[ルネサンス]]期のヨーロッパの数学者と同じ解法を示しており、非常に重要である。バースカラ2世の解法は、[[アリヤバータ]]など先人の成果に基づくものだった。

彼の著書は体系化、解法の改善、新たな問題の導入などの点が優れている。さらに『リーラーヴァティ』には素晴らしい例題もあり、バースカラ2世は『リーラーヴァティ』で学ぶ学生にその内容を具体的に役立てて欲しいと意図していたとも思われる。

=== 代数学 ===
『ビージャガニタ』（[[代数学]]）は12章からなる。正の数に（正と負の）2つの[[平方根]]があることを初めて示した文書である。次のような内容を含む。
* 正数と[[正の数と負の数|負数]]
* [[0|ゼロ]]
* 未知数
* 未知の数量の決定
* [[冪根]]と[[無理数]]
* クッタカ法（不定方程式および[[ディオファントス方程式]]の解法）
* 単純な方程式（二次、三次、四次）
* 複数の変数のある単純な方程式
* 不定[[二次方程式]]（ax<sup>2</sup> + b = y<sup>2</sup> という形式のもの）
* 二次、三次、四次の不定方程式の解法
* 二次方程式
* 複数の変数のある二次方程式
* 複数の変数の積の操作

バースカラ2世は ax<sup>2</sup> + bx + c = y という形式の不定二次方程式の解法として[[チャクラバーラ法]]を導き出した。[[ペル方程式]]と呼ばれる Nx<sup>2</sup> + 1 = y<sup>2</sup> という形式の問題の整数解を求めるバースカラ2世の方法も重要である（こちらもチャクラバーラ法）。

=== 三角法 ===
『シッダーンタ・シローマニ』（1150年）では、三角法を扱っており、正弦関数の数表や各種三角関数の関係も記している。また、いくつかの興味深い[[三角法]]に混じって[[球面三角法]]も発見している。バースカラ2世以前のインドの数学者は三角法を計算の道具としか見ていなかったが、バースカラ2世自身は三角法に大きな興味を持っていたように思われる。[[三角関数]]の加法定理といわれる <math> \sin\left(a + b\right) </math> や <math> \sin\left(a - b\right) </math> なども扱っている。

=== 微分積分学 ===
『シッダーンタ・シローマニ』は天文学を中心に扱っているが、それ以前の著作にはない様々な理論が含まれている。特に、いくつかの[[三角法]]の成果に沿った[[微分法]]や[[解析学]]の基本概念、[[積分法]]の考え方などが見られる。

その著作から、バースカラ2世は[[微分法]]のいくつかの考え方を知っていたと見られている。しかし、それら成果の使い方を理解していなかったと見られ、そのために数学史家からは一般に無視されている。バースカラ2世は関数の極値で微分係数がゼロになることを示唆しており、[[無限小]]の概念を知っていたことを示している<ref>{{cite journal | last = '''Shukla''' | first = Kripa Shankar | authorlink = | coauthors = | title = Use of Calculus in Hindu Mathematics | journal = Indian Journal of History of Science | volume = 19 | issue = | pages = 95–104 |date=1984 | url = | doi = | id = | accessdate =  }}</ref>。
* [[ロルの定理]]の原型が著作に見られる。
** <math> f\left(a\right) = f\left(b\right) = 0 </math> であるとき、<math>\ a < x < b </math> という範囲のある <math>\ x </math> で <math> f'\left(x\right) = 0 </math> となる。
* <math>x \approx y</math> なら <math>\sin(y) - \sin(x) \approx (y - x)\cos(y)</math> となるという結果を得ている。正弦関数の導関数を見つけたことになるが、それを微分として一般化しようとしていない<ref>{{cite book|first=Roger|last=Cooke|authorlink=|title=The History of Mathematics: A Brief Course|publisher=Wiley-Interscience|year=1997|chapter=The Mathematics of the Hindus|pages=213–214|isbn=0471180823}}</ref>。
** バースカラ2世は[[黄道]]上の位置角を求めるのに使っている。これは、食が起きる時刻を正確に予測するのに必要だった。
* 惑星の瞬間的な運行を計算するにあたって、惑星の位置を{{分数|1|33750}}秒以下の間隔で測定しており、このような[[無限小]]の時間単位で速度を測定していた。
* 彼は、変数が極大値となったとき微分係数が消える（ゼロになる）ことに気づいていた。
* また、惑星が地球から最も遠い位置にあるとき、あるいは最も近い位置にあるとき、惑星が見かけ上一定速度で運行すると仮定して計算した位置と実際の位置の差がゼロになることを示した。そこで彼は、その差分を示す式と実際の運行の差がゼロになる点が中間に存在すると結論付けた。これは[[解析学]]の最重要な定理である[[平均値の定理]]の考え方と同じであり、今日では[[ロルの定理]]から導き出すのが一般的である。[[平均値の定理]]は15世紀、バースカラ2世の『リーラーヴァティ』の注釈本である[[パラメーシュヴァラ]]{{Enlink|Parameshvara}}の ''Lilavati Bhasya'' で発見されている。

[[マーダヴァ]]（1340年 - 1425年）と14世紀から16世紀にかけての[[ケーララ学派]] の数学者ら（パラメーシュヴァラを含む）は、バースカラ2世の業績を発展させ、インドにおける[[微分積分学]]を発展させていった。

== 天文学 ==
[[ブラーマグプタ]]が7世紀に発展させた天文モデルを使い、バースカラ2世は[[恒星年]]（地球が太陽の周りを一周するのにかかる時間）の長さを（『スールヤ・シッダーンタ』{{Enlink|Surya Siddhanta}}と同じく）365.2588日とするなど{{要出典|date=2010年1月}}、様々な天文学上の量を定義した。現在の測定値は365.2563日で、その差異はたったの3.5分である。

彼の天文学の著書『シッダーンタ・シローマニ』は2つの部分からなる。前半は数学的天文学であり、後半は[[球面]]を扱っている。

前半部の12章では、次のような内容を扱っている。
{{Div col}}
* [[惑星]]の平均[[経度]]
* 惑星の真の経度
* [[日周運動]]の3つの問題
* [[惑星直列]]
* [[月食]]
* [[日食]]
* 惑星の[[緯度]]
* [[出没方程式]]
* 月の満ち欠け
* 2つの惑星の[[合 (天文)|合]]
* 惑星と[[恒星]]の合
<!-- 太陽と月の patas って何？（訳者）
* The patas of the Sun and Moon. -->
{{Div col end}}

後半は球面に関する13章からなる。次のような内容を扱っている。
{{Div col}}
* 球面の研究への賛辞
* 球面の性質
* [[宇宙誌]]と[[地理学]]
* 惑星の平均運行速度
* 惑星の[[離心率|離心]][[従円と周転円|周転円]]モデル
* [[天球儀]]
* [[球面三角法]]
* [[楕円]]の計算{{要出典|date=2010年1月}}
* 惑星の可視性
* [[月]]の満ち欠けの計算
* 天文用器具
* [[季節]]
* 天文計算の問題
{{Div col end}}

== 工学 ==
1150年、バースカラ2世は永久に回り続ける車輪について記述しており、[[永久機関]]の古い例の1つとなっている<ref>Lynn Townsend White, Jr. (April 1960), "Tibet, India, and Malaya as Sources of Western Medieval Technology", ''The American Historical Review'' '''65''' (3): 522-6</ref>。

バースカラ2世は ''Yasti-yantra'' と呼ばれる測定器具を使っていた。単純な棒状になったり、V字型に変形させたりでき、定規と組み合わせて角度を測るのに主に使ったという<ref name="Ohashiast-inst">Ōhashi, Yukio (2008), "Astronomical Instruments in India", in ''Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures (2nd edition)'' edited by Helaine Selin, Springer, pp. 269-273, ISBN 978-1-4020-4559-2</ref>。

== 脚注・出典 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
* [[楠葉隆徳]]・[[林隆夫]]・[[矢野道雄]] 『インド数学研究―数列・円周率・三角法―』[[恒星社厚生閣]]、1997年。
* [[ジョージ・G・ジョーゼフ]]『非ヨーロッパ起源の数学』[[垣田高夫]]・[[大町比佐栄]]訳、[[講談社]]、1996年。

== 外部リンク ==
{{wikisourcelang|en|Author:Bhāskara II|Bhāskara II}}
* [http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Bhaskara_II.html Bhaskara II (1114 - 1185)]{{en icon}} - Biography - MacTutor History of Mathematics
* {{kotobank|バースカラ[2世]|3=バースカラ<nowiki>[2世]</nowiki>}}
* {{kotobank|ブハースカラ}}

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:はあすから2}}
[[Category:12世紀の数学者|140000]]
[[Category:インドの天文学者]]
[[Category:代数学者]]
[[Category:1114年生]]
[[Category:1185年没]]
[[Category:インドの数学者]]
[[Category:数学に関する記事]]