バーゼル問題のソースを表示

{{出典の明記|date=2015年7月}}
'''バーゼル問題'''（バーゼルもんだい、{{lang-en-short|Basel problem}}）は、[[級数]]の問題の一つで、[[平方数]]の[[逆数]]全ての和はいくつかという問題である。[[ヤコブ・ベルヌーイ]]や[[レオンハルト・オイラー]]など[[バーゼル]]出身の[[数学者]]がこの問題に取り組んだことからこの名前で呼ばれる。

== 概説 ==
[[ファイル:Pietro Mengoli.gif|サムネイル|ピエトロ・メンゴリ]]
[[1644年]]に{{仮リンク|ピエトロ・メンゴリ|it|Pietro Mengoli|de|Pietro Mengoli}}が「平方数の逆数全ての和は[[収束]]するか？仮に収束するとしてそれは幾らの数値に収束するか？」という問題を提起した。この問題は何人もの数学者が解決に挑み、中でも[[ヤコブ・ベルヌーイ]]は[[1689年]]にこの問題について取り組んだものの解決には至らなかった。

ベルヌーイに学んだ[[レオンハルト・オイラー]]は、[[1735年]]にこの問題を平方数に限らず、自然数の偶数乗の逆数和について[[一般化]]した形式で解決した。[[ベルンハルト・リーマン]]はそのアイディアを取り入れることで[[リーマンゼータ函数|ゼータ関数]]を定義し、その性質を調べることに繋がった（[[1859年]]の論文「[[与えられた数より小さい素数の個数について]]」）。

平方数の逆数和は
:<math>\sum_{n=1}^\infin \frac{1}{n^2} =\lim_{n\to \infty} \left( \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} +\cdots +\frac{1}{n^2} \right)</math>
と表せる。これは、ゼータ関数
:<math>\zeta (s)=\sum_{n=1}^\infty {n^{-s}}</math>
の {{math|1=''s'' = 2}} における値 {{math|''ζ''(2)}} でもある。その値は {{math|1=''&pi;''{{sup|2}}/6 (= 1.644934…)}} である（''{{pi}}'' は円周率）。[[オイラー積]]によれば
:<math>\sum_{n=1}^\infin \frac{1}{n^2} = \prod_{p\text{: prime}} \frac{1}{1-p^{-2}} =\frac{1}{{1-(\frac{1}{2}})^2} \cdot \frac{1}{{1-(\frac{1}{3}})^2} \cdot \frac{1}{{1-(\frac{1}{5}})^2} \cdot \cdots </math>
となる。

== 収束することの証明 ==
[[比較判定法]]による。
<math>\frac{1}{n^2} < \frac{1}{n(n-1)}</math>、(<math>n \ge 2</math>)であることを利用し、
:<math>\begin{align}
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}=1+\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n^2} <1+\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n(n-1)}&=1+\sum_{n=2}^\infty \left( \frac{1}{n-1} -\frac{1}{n} \right) \\ 
&=1+\left( \frac{1}{1} -\frac{1}{2} \right) +\left( \frac{1}{2} -\frac{1}{3} \right) +\left( \frac{1}{3} -\frac{1}{4} \right) +\cdots \\ 
&=2 \\
\end{align}</math>
である。したがってこの級数は収束する。一般にゼータ関数 {{math|''ζ''(''s'')}} は {{math|Re ''s'' > 1}} の範囲で収束する。

== オイラーの解法 ==
オイラーは、{{math|sin ''x''}} の[[マクローリン展開]]を利用して解く方法を編み出した。まずは {{math|sin ''x''}} を
:<math>\sin x=\frac{x^1}{1!} -\frac{x^3}{3!} +\frac{x^5}{5!} -\frac{x^7}{7!} +\cdots</math>
と展開する。この両辺を {{mvar|x}} で割ると
:<math>(1)\qquad\frac{\sin x}{x} =\frac{1}{1!} -\frac{x^2}{3!} +\frac{x^4}{5!} -\frac{x^6}{7!} +\cdots </math>
となる。左辺はちょうど {{math|1=''x'' = ±''nπ''}}（{{mvar|n}} は[[正の整数]]）のとき {{math|0}} であるから、右辺を形式的に以下のように「[[因数分解]]」できる。
:<math>\frac{\sin x}{x} =\left( 1-\frac{x}{1\pi} \right) \left( 1+\frac{x}{1\pi} \right) \left( 1-\frac{x}{2\pi} \right) \left( 1+\frac{x}{2\pi} \right) \left( 1-\frac{x}{3\pi} \right) \left( 1+\frac{x}{3\pi} \right) \cdots.</math>
隣接する2項を掛け合わせると
:<math>(2)\qquad\frac{\sin x}{x} = \left(1 - \frac{x^2}{1^2 \pi^2}\right) \left(1 - \frac{x^2}{2^2 \pi^2}\right) \left( 1-\frac{x^2}{3^2 \pi^2} \right) \cdots.</math>
(1) と (2) の右辺の {{math|''x''<sup>2</sup>}} の係数は
:<math>(1)\colon-\frac{1}{3!} =-\frac{1}{6},</math>
:<math>(2)\colon-\left( \frac{1}{1^2 \pi^2} +\frac{1}{2^2 \pi^2} +\frac{1}{3^2 \pi^2} +\cdots \right) =-\frac{1}{\pi^2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}</math>
である。これらは等しいはずなので
:<math>-\frac{1}{\pi^2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} = - \frac{1}{6}</math>
である。ゆえに、求める級数の値は
:<math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}} = \frac{\pi^2}{6}</math>
である。なおオイラーは一般的に、{{mvar|k}} 番目の[[ベルヌーイ数]]を {{mvar|B{{sub|k}}}} とすると
:<math>\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2k}} =(-1)^{k+1} \frac{B_{2k}(2\pi)^{2k}}{2(2k)!}</math>
が成り立つことも示した。

== フーリエ解析を用いた解法 ==
{{see|フーリエ級数#フーリエ級数の例}}
[[放物線]]を[[フーリエ級数]]で表す方法を用いる。
:<math>f(x)=\frac{x^2}{4} \quad (-\pi \le x \le \pi)</math>
を考える。この放物線は[[偶関数]]であるから余弦関数で展開できる：
:<math>\frac{x^2}{4} = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty a_n \cos nx.</math>
ここで
:<math>a_0=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{x^2}{4}\,dx=\frac{{\pi}^2}{6}</math>
であり、{{mvar|a{{sub|n}}}} {{math|(''n'' ≥ 1)}} は
:<math>\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{x^2}{4} \cos nx\,dx=\frac{(-1)^n}{n^2}</math>
である。ゆえに、{{math|''f''(''x'')}} のフーリエ級数は
:<math>
f(x)=\frac{\pi^2}{12} +\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2} \cos nx
</math>
であり、両辺に {{math|1=''x'' = ''π}} を代入すると
:<math>\frac{{\pi}^2}{4} =\frac{{\pi}^2}{12} +\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}</math>
となる。ゆえに、バーゼル問題の解
:<math>\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{{\pi}^2}{6}</math>
が得られる。

== 関連項目 ==
*[[三角関数の無限乗積展開]]
*[[リーマンゼータ函数|ゼータ関数]]
*[[ベルヌーイ数]]
*[[レオンハルト・オイラー]]

== 外部リンク ==
*{{PDFlink|[http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~ooura/BaselProof_j.pdf バーゼル問題の簡単な解法]}}
*{{高校数学の美しい物語|878|バーゼル問題の初等的な証明}}
*[https://www.yotsuyagakuin.com/b_geneki/baselproblem/ あのバーゼル問題が大学入試に登場！] - [[四谷学院]]
{{DEFAULTSORT:はあせるもんたい}}
[[Category:数論]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:バーゼル]]
[[Category:レオンハルト・オイラー]]