バーチの定理のソースを表示

[[数学]]において、'''バーチの定理'''（{{lang-en-short|Birch's theorem}}）<ref>B. J. Birch, ''Homogeneous forms of odd degree in a large number of variables'', Mathematika, '''4''', pages 102–105 (1957)</ref>とは、奇数次形式における 0 の表現可能性に関する定理である。定理の名前は[[ブライアン・バーチ]]にちなむ。

==定理の主張==
''K'' を[[代数体]]、''k'', ''l'', ''n'' を自然数、''r''<sub>1</sub>,&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;,''r''<sub>''k''</sub> を奇数の自然数とし、''f''<sub>1</sub>,&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;,''f''<sub>''k''</sub> を ''n'' 変数で次数がそれぞれ ''r''<sub>1</sub>,&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;,''r''<sub>''k''</sub> の ''K'' 係数[[斉次多項式]]とする。ここで、
:<math>n\ge\psi(r_1,\ldots,r_k,l,K)</math>
を満たすならば、''K''<sup>''n''</sup> の ''l'' 次元部分ベクトル空間 ''V'' が存在して
:<math>f_1(x)=\cdots = f_k(x)=0,\quad\forall x\in V</math>
を満たすような、ある数 ψ(''r''<sub>1</sub>,&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;,''r''<sub>''k''</sub>,''l'',''K'') が存在する。

==注意==
{{ウィキプロジェクトリンク|数学|[[画像:Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg|34px|Project:数学]]}}
{{ウィキポータルリンク|数学|[[画像:Nuvola apps edu mathematics-p.svg|34px|Portal:数学]]}}
定理の証明は形式 ''f''<sub>1</sub>,&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;,''f''<sub>''k''</sub> の最大次数についての[[数学的帰納法|帰納法]]による。証明に本質的なのは定理の次の特別な場合であり、これは{{仮リンク|ハーディ・リトルウッドの円周法|en|Hardy–Littlewood circle method}} を適用して証明できる： ''n'' が十分大きく ''r'' が奇数であれば、方程式

:<math>c_1x_1^r+\cdots+c_nx_n^r=0,\quad c_i\in\mathbb{Z}, i=1,\ldots,n</math>

は「すべてが 0」ではない整数解 ''x''<sub>1</sub>,&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;,''x''<sub>''n''</sub> を持つ。

''r'' が奇数という制限は必要である。なぜならば[[二次形式|正定値二次形式]]のように偶数次形式では、原点でしか 0 の値を取らないことがあるからである。

==参考文献==
<references/>

{{DEFAULTSORT:はあちのていり}}
[[Category:ディオファントス方程式]]
[[Category:解析的整数論]]
[[Category:数論の定理]]
[[Category:数学に関する記事]]