バーチ・スウィンナートン＝ダイアー予想のソースを表示

[[数学]]において、'''バーチ・スウィンナートン＝ダイアー予想'''（バーチ・スウィンナートン＝ダイアーよそう、{{lang-en|Birch and Swinnerton-Dyer conjecture}}）は、[[数論]]の分野における未解決問題であり、略して'''BSD予想''' (BSD conjecture) と呼ばれる。予想は[[クレイ数学研究所]]によってリストされた 7 つの[[ミレニアム懸賞問題]]の 1 つとして選ばれ、最初の正しい証明に対して100万ドルの[[懸賞金]]が約束されている<ref>[http://www.claymath.org/millenium-problems/birch-and-swinnerton-dyer-conjecture Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture] at Clay Mathematics Institute</ref>。予想は機械計算の助けを借りて1960年代の前半に予想を立てた数学者[[ブライアン・バーチ]]と[[ピーター・スウィンナートン＝ダイアー]]にちなんで名づけられている。{{As of|2014}}、予想の特別な場合のみ正しいと証明されている。

予想は[[代数体]] ''K'' 上の[[楕円曲線]] ''E'' に伴う数論的データを ''E'' の [[ハッセ・ヴェイユのゼータ函数|ハッセ・ヴェイユの ''L''-関数]] ''L''(''E'',&nbsp;''s'') の ''s''&nbsp;=&nbsp;1 における振る舞いに関係づける。より具体的には、''E'' の点のなす[[アーベル群]] ''E''(''K'') の[[アーベル群のランク|ランク]]は ''L''(''E'',&nbsp;''s'') の ''s''&nbsp;=&nbsp;1 における零点の位数であり、''s''&nbsp;=&nbsp;1 における ''L''(''E'',&nbsp;''s'') の[[テイラー展開]]における最初の 0 でない係数は ''K'' 上の ''E'' に付属しているより精密な数論的データによって与えられる、ということが予想されている {{harv|Wiles|2006}}。

== 概要 ==
[[楕円曲線]]上の有理点（''x'' 座標も ''y'' 座標も有理数になる点）は、加法 '+' を定義することができる。楕円曲線 ''E'' 上の2点 ''P''&nbsp;=&nbsp;(''x''<sub>1</sub>,&nbsp;''y''<sub>1</sub>), ''Q''&nbsp;=&nbsp;(''x''<sub>2</sub>,&nbsp;''y''<sub>2</sub>) に対し、直線 ''PQ'' と ''E'' との交点と ''x'' 軸に関して対称な位置にある点 (''x''<sub>3</sub>,&nbsp;''y''<sub>3</sub>)を ''P''&nbsp;+&nbsp;''Q'' で表される点と定義する。（詳細は[[楕円曲線]]の記事を参照）

このような演算により、有理点全体は無限遠点を付加することで、[[アーベル群]]をなすが、さらに有限生成アーベル群になることが証明されている。

アーベル群の基本定理から、この有限生成アーベル群は、無限[[巡回群]] '''Z''' と素数べきの[[位数 (群論)|位数]]を持つ巡回群 '''Z'''&nbsp;/&nbsp;''m''<sub>1</sub>'''Z''', ..., '''Z'''&nbsp;/&nbsp;''m''<sub>''t''</sub>'''Z''' の[[群の直積|直積]]
: <math>\mathbb{Z}^r \times \mathbb{Z}/m_1\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/m_2\mathbb{Z} \times \cdots \times \mathbb{Z}/m_t\mathbb{Z}</math>

に[[同型]]であることが知られている。この ''r'' のことを楕円曲線 ''E'' の[[階数]]とよぶ。

楕円曲線 ''E'' の [[L関数|''L'' 関数]] ''L''(''E'',&nbsp;''s'')を、''s''&nbsp;=&nbsp;1 の周りで[[テイラー展開]]すると次のように書けたとする。

:''L''(''E'',&nbsp;''s'')&nbsp;=&nbsp;(係数) × (''s'' &minus; 1) の ''r'' 乗 + ∑{(''s''&minus;1) の (''r''+1) 乗以上の項}

このとき、''r'' はこの楕円曲線の階数になるというのがBSD予想である。

== 背景 ==
{{Harvtxt|Mordell|1922}} は[[モーデルの定理]]「楕円曲線上の[[有理点]]のなす群は有限[[基底 (線型代数学)|基底]]を持つ」を証明した。これは任意の楕円曲線に対して曲線上の有理点の有限部分集合が存在して、それらからすべての有理点が生成されるということを意味する。

曲線上の有理点の個数が[[無限集合|無限]]であれば、有限基底のある点は無限位数を持たなければならない。無限位数を持つ''独立な''基底の点の個数を曲線の[[アーベル群のランク|ランク]]を呼び、楕円曲線の重要な[[不変量|不変]]性質である。

楕円曲線のランクが 0 であれば、曲線は有限個の有理点しか持たない。一方、曲線のランクが 0 よりも大きければ、曲線は無限個の有理点を持つ。

モーデルの定理は楕円曲線のランクが常に有限であることを示しているが、すべての曲線のランクを計算する効率的な手法を与えてはいない。ある楕円曲線のランクは数値計算を用いて計算することができるが、（知識の現在の状態では）これらをすべての曲線を扱うように一般化することはできない。

''L''-関数 '''''L''(''E'',&nbsp;''s'')''' は各[[素数]] ''p'' を法とした曲線上の点の個数から[[オイラー積]]を構成することによって楕円曲線 ''E'' に対して定義できる。この ''L''-関数は[[リーマンのゼータ関数]]と二元[[二次形式]]に対して定義される[[ディリクレのL関数|ディリクレの ''L''-級数]]に類似である。それは[[ハッセ・ヴェイユのゼータ函数|ハッセ・ヴェイユの ''L''-関数]]の特別な場合である。

''L''(''E'',&nbsp;''s'') の自然な定義は複素平面で Re(''s'') > 3/2 である ''s'' の値に対してしか収束しない。[[ヘルムート・ハッセ]] ([[:en:Helmut Hasse|Helmut Hasse]]) は ''L''(''E'',&nbsp;''s'') を[[解析接続]]によって複素平面全体に拡張できると予想した。この予想はまず[[虚数乗法]]を持つ楕円曲線に対して {{Harvtxt|Deuring|1941}} によって証明された。その後、[[モジュラー性定理]]の帰結として、'''Q''' 上のすべての楕円曲線に対して正しいことが証明された。

一般の楕円曲線上の有理点を見つけることは難しい問題である。与えられた素数 ''p'' を法として楕円曲線上の点を見つけることは概念的には直截である、なぜならばチェックすべき可能性は有限個しかないからである。しかしながら、大きい素数に対しては、計算量は膨大である<!--it is computationally intensive-->。

== 歴史 ==
1960年代初頭、[[ピーター・スウィンナートン＝ダイアー]]は、たくさんの素数 ''p'' に対して、ランクのわかっている楕円曲線上の ''p'' を法とする点の個数（''N<sub>p</sub>'' と表記される）をコンピュータによる[[数値計算]]により求めた。この計算には、EDSAC 2（[[:en:EDSAC 2]]、[[EDSAC]]の後継機）が使われた。これらの数値的結果から、{{harvtxt|Birch|Swinnerton-Dyer|1965}} はランク ''r'' の曲線 ''E'' の ''N<sub>p</sub>'' は漸近法則

[[ファイル:BSD data plot for elliptic curve 800h1.svg|350px|right|thumb|''X'' が最初の 100000 個の素数を変化するときの曲線 ''y''<sup>2</sup>&nbsp;=&nbsp;''x''<sup>3</sup>&nbsp;−&nbsp;5''x'' に対する <math>\prod_{p\leq X} \frac{N_p}{p}</math> のプロット。''X''-軸は log(log(''X'')) であり ''Y''-軸は対数スケールである。なので予想はデータは傾きが曲線のランク、この場合は 1、に等しい直線をなすことを予想する。比較のため、傾き 1 の直線がグラフ上赤で書かれている。]]

:<math>\prod_{p\leq x} \frac{N_p}{p} \approx C\log (x)^r \mbox{ as } x \rightarrow \infty </math>

に従うことを予想した。ここで ''C'' は定数である。

最初はこれはグラフのプロットの幾分微かな傾向<!--somewhat tenuous trends-->に基づいていた。このため [[:en:J. W. S. Cassels|J. W. S. Cassels]] （バーチの Ph.D. アドバイザー）は懐疑的になった{{Citation needed|date=April 2012}}。時間とともに数値的な証拠は積み上がった。

今度はこれは彼らを曲線の ''L''-関数 ''L''(''E'',&nbsp;''s'') の ''s''&nbsp;=&nbsp;1 における振る舞いについての一般的な予想、すなわちそれはこの点において位数 ''r'' の零点を持つであろうという予想を立てることに導いた。これは、''L''(''E'',&nbsp;''s'') の解析接続は虚数乗法を持つ曲線に対してしか確立されておらずこれはまた数値計算の例の主なソースであったことも考えると、当時先見の明のある予想であった。（''L''-関数の[[逆数]]はある視点から研究のより自然な対象であることに注意しよう。これは零点よりもむしろ極を考えるべきであることを意味する。）

その後予想は ''s''&nbsp;=&nbsp;1 における ''L''-関数の正確な主要[[テイラー級数|テイラー係数]]の予想を含むように拡張された。それは予想では

:<math>\frac{L^{(r)}(E,1)}{r!} = \frac{\#\mathrm{Sha}(E)\Omega_E R_E \prod_{p|N}c_p}{(\#E_{\mathrm{Tor}})^2}</math>

によって与えられる。ここで右辺の量は、キャッセルズ (Cassels)、[[ジョン・テイト|テイト]] ([[:en:John Tate|Tate]])、[[シャファレヴィッチ]] ([[:en:Igor Shafarevich|Shafarevich]]) 他によって研究された、曲線の不変量である： これらは[[捩れ群]]の位数、[[テイト・シャファレヴィッチ群]]、そして有理点たちの基底の[[標準的高さ]]を含む {{harv|Wiles|2006}}。

== 現在の状況 ==
バーチ・スウィンナートン＝ダイアー予想は特別な場合においてのみ証明されている：

# {{harvtxt|Coates|Wiles|1977}} は、''E'' が[[類数]] 1 の[[虚二次体]] ''K'' によって虚数乗法をもつ数体 ''F'' 上の曲線、''F''&nbsp;=&nbsp;''K'' あるいは '''Q'''、そして ''L''(''E'',&nbsp;1) が 0 でないならば、''E''(''F'') は有限群であることを証明した。これは {{harvtxt|Arthaud|1978}} によって ''F'' が ''K'' の任意の有限[[アーベル拡大]]である場合に拡張された。
# {{Harvtxt|Gross|Zagier|1986}} は、{{仮リンク|モジュラー楕円曲線|en|modular elliptic curve}}が ''s''&nbsp;=&nbsp;1 において一位の零点を持てば、無限位数の有理点を持つことを証明した。[[グロス・ザギヤの定理]] 参照。
# {{harvtxt|Kolyvagin|1989}} は、''L''(''E'', 1) が 0 でないモジュラー楕円曲線 ''E'' はランクが 0 であることと、''L''(''E'',&nbsp;1) が ''s''&nbsp;=&nbsp;1 で一位の零点を持つモジュラー楕円曲線 ''E'' はランクが 1 であることを証明した。
# {{harvtxt|Rubin|1991}} は、''K'' による虚数乗法をもつ虚二次体 ''K'' 上定義された楕円曲線に対して、楕円曲線の ''L''-級数が ''s''&nbsp;=&nbsp;1 において 0 でなければ、すべての素数 ''p''&nbsp;>&nbsp;7 に対して、テイト・シャファレヴィッチ群の ''p''-部分はバーチ・スウィンナートン＝ダイアー予想によって予言される位数を持つことを証明した。
# {{harvtxt|Breuil|Conrad|Diamond|Taylor|2001}} は、{{harvtxt|Wiles|1995}} の研究を拡張して、[[モジュラー性定理|有理数体上定義されたすべての楕円曲線はモジュラーである]]ことを証明した。これは結果 2 と 3 を有理数体上のすべての楕円曲線に拡張し、'''Q''' 上のすべての楕円曲線の ''L''-関数は ''s''&nbsp;=&nbsp;1 において定義されることを証明する。
# {{harvtxt|Bhargava|Shankar|2015}} は、'''Q''' 上の楕円曲線のモーデル・ヴェイユ群の平均ランクは上から 7/6 で抑えられることを証明した。これを、{{harvtxt|Nekovář|2009}} と {{harvtxt|Dokchitser|Dokchitser|2010}} の p-parity theorem と、{{harvtxt|Skinner|Urban|2014}}による GL(2) に対する[[岩澤理論の主予想]]の証明と合わせて、彼らは、'''Q''' 上の楕円曲線の positive proportion は analytic rank が 0 であり、従って、{{harvtxt|Kolyvagin|1989}} によって、バーチ・スウィンナートン＝ダイアー予想を満たすことを結論する。

ランクが 1 よりも大きい曲線に対しては、予想が正しいことの広範囲に渡る数値的な証拠があるが、全く何も証明されていない<ref>{{cite paper |url=http://homepages.warwick.ac.uk/~masgaj/papers/bsd50.pdf |title=Numerical evidence for the Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture |first=John |last=Cremona |year=2011 |work=Talk at the BSD 50th anniversary conference, May 2011 }}</ref>。

== 帰結 ==
[[リーマン予想]]と同じく、この予想から多くの結果が導かれる。以下はそのうちの 2 つである：
* ''n'' を[[平方因子をもたない整数|平方因子を持たない]]奇数とする。バーチ・スウィンナートン＝ダイアー予想を仮定すると、''n'' が辺の長さが有理数である直角三角形の面積である（[[合同数]]である）ことと、<math>2x^2 + y^2 + 8z^2 = n</math> を満たす整数の三つ組 (''x'', ''y'', ''z'') の個数が <math>2x^2 + y^2 + 32z^2 = n</math> を満たす三つ組の個数の 2 倍であることは同値である。この主張は、{{仮リンク|タネルの定理|en|Tunnell's theorem}} {{harv|Tunnell|1983}} によって、''n'' が合同数であることと楕円曲線 <math>y^2 = x^3 - n^2x</math> が無限位数の有理点を持つ（従って、バーチ・スウィンナートン＝ダイアー予想の下で、その ''L''-関数が 1 を零点に持つ）ことは同値であるという事実と関係する。この主張の面白いことは、条件が容易に確かめられることである<ref>{{Cite book
 | author = Koblitz |first=Neal 
 | year = 1993 | edition=2nd
 | title = Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms
 | series = Graduate Texts in Mathematics
 | volume=97
 | publisher = Springer-Verlag
 | isbn=0-387-97966-2
 | ref = harv
 | postscript = <!--None-->
 }}</ref>。
* 異なった方向では、ある解析的な手法によって ''L''-関数の族の[[リーマン予想|クリティカル・ストリップ]]の中心にある零点の位数の評価ができる。BSD 予想を認めれば、これらの評価は問題の楕円曲線の族のランクについての情報に対応する。例えば： [[一般化されたリーマン予想]]と BSD 予想を仮定すると、<math>y^2=x^3+ax+b</math> によって与えられる曲線の平均ランクは 2 よりも小さい<ref>{{cite journal |first=D. R. |last=Heath-Brown |title=The Average Analytic Rank of Elliptic Curves |journal=Duke Mathematical Journal |volume=122 |issue=3 |pages=591–623 |year=2004 |doi=10.1215/S0012-7094-04-12235-3 }}</ref>。

== 脚注 ==
=== 出典 ===
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
{{Refbegin}}
*{{Cite journal |last=Arthaud |first=Nicole |title=On Birch and Swinnerton-Dyer's conjecture for elliptic curves with complex multiplication |journal=Compositio Mathematica |volume=37 |issue=2 |year=1978 |pages=209–232 |doi= |mr=504632 |ref=harv }}
*{{Cite journal |last=Bhargava |first=Manjul |last2=Shankar |first2=Arul |title=Ternary cubic forms having bounded invariants, and the existence of a positive proportion of elliptic curves having rank 0 |year=2015 |journal=[[Annals of Mathematics]] |volume=181 |issue=2 |pages=587–621 |doi=10.4007/annals.2015.181.2.4 |ref=harv |arxiv=1007.0052}}
*{{cite journal |last=Birch |first=Bryan |last2=Swinnerton-Dyer |first2=Peter |year=1965 |title=Notes on Elliptic Curves (II) |journal=J. Reine Angew. Math. |volume=165 |issue=218 |pages=79–108 |doi=10.1515/crll.1965.218.79 |ref=harv}}
*{{cite journal |last=Breuil |first=Christophe |last2=Conrad |first2=Brian |last3=Diamond |first3=Fred |last4=Taylor |first4=Richard |year=2001 |title=On the Modularity of Elliptic Curves over Q: Wild 3-Adic Exercises |journal=Journal of the American Mathematical Society |volume=14 |issue=4 |pages=843–939 |doi=10.1090/S0894-0347-01-00370-8 |ref=harv }}
* {{cite book | first1=J.H. | last1=Coates | authorlink1=ジョン・ヘンリー・コーツ | first2=R. | last2=Greenberg | first3=K.A. | last3=Ribet | first4=K. | last4=Rubin | title=Arithmetic Theory of Elliptic Curves | series=Lecture Notes in Mathematics | volume=1716 | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=1999 | isbn=3-540-66546-3 }}
*{{Cite journal |last=Coates |first=J. |authorlink=ジョン・ヘンリー・コーツ |last2=Wiles |first2=A. |title=On the conjecture of Birch and Swinnerton-Dyer |journal=Inventiones Mathematicae |volume=39 |year=1977 |issue=3 |pages=223–251 |doi=10.1007/BF01402975 | zbl=0359.14009 |ref=harv }}
*{{cite journal |last=Deuring |first=Max |year=1941 |title=Die Typen der Multiplikatorenringe elliptischer Funktionenkörper |journal=Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg |volume=14 |issue=1 |pages=197–272 |doi=10.1007/BF02940746 |ref=harv }}
*{{cite journal |last1=Dokchitser |first1=Tim |last2=Dokchitser |first2=Vladimir |doi=10.4007/annals.2010.172.567 |mr=2680426 |title=On the Birch-Swinnerton-Dyer quotients modulo squares|journal=[[Annals of Mathematics]] |volume=172 |year=2010 |issue=1 |pages=567–596 |ref=harv }}
*{{cite journal |last1=Gross |first1=Benedict H. |last2=Zagier |first2=Don B. |doi=10.1007/BF01388809 |mr=0833192 |title=Heegner points and derivatives of L-series |journal=Inventiones Mathematicae |volume=84 |year=1986 |issue=2 |pages=225–320 |ref=harv }}
*{{cite journal |last=Kolyvagin |first=Victor |year=1989 |title=Finiteness of ''E''(''Q'') and ''X''(''E'',&nbsp;''Q'') for a class of Weil curves |journal=Math. USSR Izv. |volume=32 |issue= |pages=523–541 |ref=harv |doi=10.1070/im1989v032n03abeh000779}}
*{{cite journal |last=Mordell |first=Louis |title=On the rational solutions of the indeterminate equations of the third and fourth degrees |journal=Proc. Cambridge Phil. Soc. |volume=21 |issue= |year=1922 |pages=179–192 |doi= |ref=harv }}
*{{cite journal |last=Nekovář |first=Jan |title=On the parity of ranks of Selmer groups IV |journal=Compositio Mathematica |volume=145 |issue=6 |year=2009 |pages=1351–1359 |doi=10.1112/S0010437X09003959 |ref=harv }}
*{{cite journal |last=Rubin |first=Karl |year=1991 |title=The 'main conjectures' of Iwasawa theory for imaginary quadratic fields |journal=Inventiones Mathematicae |volume=103 |issue=1 |pages=25–68 |doi=10.1007/BF01239508 |ref=harv | zbl=0737.11030 }}
*{{Cite journal |last=Skinner |first=Christopher |last2=Urban |first2=Éric |title=The Iwasawa main conjectures for GL<sub>2</sub> |journal=Inventiones Mathematicae |volume=195 |issue=1 |pages=1–277 |year=2014 |doi=10.1007/s00222-013-0448-1 |ref=harv }}
*{{cite journal |last=Tunnell |first=Jerrold B. |ref=harv | title = A classical Diophantine problem and modular forms of weight 3/2 | journal = Inventiones Mathematicae | volume = 72 | issue = 2 | pages = 323–334 | year = 1983 | zbl=0515.10013 | doi = 10.1007/BF01389327 }}
*{{Cite journal | last1=Wiles | first1=Andrew | title=Modular elliptic curves and Fermat's last theorem | jstor=2118559 | mr=1333035 | year=1995 | journal=Annals of Mathematics. Second Series | issn=0003-486X | volume=141 | issue=3 | pages=443–551}}
*{{Cite book
| last=Wiles
| first=Andrew
| chapter=The Birch and Swinnerton-Dyer conjecture
| editor1-last=Carlson
| editor1-first=James
| editor2-last=Jaffe
| editor2-first=Arthur
| editor3-last=Wiles
| editor3-first=Andrew
| title=The Millennium prize problems
| publisher=American Mathematical Society
| year=2006
| isbn=978-0-8218-3679-8
| chapterurl=http://www.claymath.org/sites/default/files/birchswin.pdf
| pages=31–44
| ref=harv
}}
{{Refend}}

== 関連項目 ==
*[[L-関数]]

== 外部リンク ==
*{{MathWorld|urlname = Swinnerton-DyerConjecture |title = Swinnerton-Dyer Conjecture}}
*{{planetmath reference|id = 4561|title =  Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture}}
* [http://sums.mcgill.ca/delta-epsilon/mag/0610/mmm061024.pdf The Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture]{{Dead link|date=June 2010}}: An Interview with Professor [[Henri Darmon]] by Agnes F. Beaudry

{{ミレニアム懸賞問題}}
<!--{{L-functions-footer}}-->
{{Normdaten}}
{{デフォルトソート:はあちすういんなあとんたいああよそう}}
[[Category:数論]]
[[Category:代数幾何学]]
[[Category:予想]]
[[Category:ゼータ関数とL関数]]
[[Category:ミレニアム懸賞問題]]
<!--[[Category:ディオファントス幾何]]
[[Category:University of Cambridge Computer Laboratory]]-->
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]