バーンズのG関数のソースを表示

{{翻訳直後|1=[https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Barnes_G-function&oldid=687917527 英語版  "Barnes G-function" 13:19, 28 October 2015]|date=2015年11月}}
[[数学]]において、'''バーンズの {{mvar|G}}-関数'''（バーンズのGかんすう、{{lang-en-short|''Barnes {{mvar|G}}-function''}}）{{math|''G''(''z'')}} は、[[階乗#superfactorial (2)|スーパー階乗]]を[[複素数]]にまで拡張した[[特殊関数]] である。これは[[ガンマ関数]]、[[K関数]]、[[グレイシャー・キンケリンの定数|グレイシャーの定数]]に関連するものであり、[[数学者]]である{{仮リンク|エルンスト・ウィリアム・バーンズ|en|Ernest William Barnes}}にちなみ名付けられた<ref>{{citation |first= E.W. |last= Barnes | title= The theory of the G-function | journal= Quarterly Journ. Pure and Appl. Math. | volume= 31 | year=1900 | pages= 264–314}}.</ref>。 これは（初等函数を掛ける[[違いを除いて]]）[[二重ガンマ関数]]の特殊な場合である。

正式には、バーンズの {{mvar|G}}-関数は以下のワイエルシュトラスの乗積表示
: <math> G(1+z)=(2\pi)^{z/2} \text{exp}\left(- \frac{z+z^2(1+\gamma)}{2} \right) \, \prod_{k=1}^{\infty} \left\{ \left(1+\frac{z}{k}\right)^k \text{exp}\left(\frac{z^2}{2k}-z\right) \right\}</math>

の形で定義される。ここで {{math|γ}} は[[オイラーの定数]]であり、{{math|1=exp(''x'') = ''e''<sup>''x''</sup>}} は[[指数関数]]である。また、{{math|big=1|∏}} は[[総乗|総乗の Π-記法]]である。

== 函数等式および整数引数に対する挙動 ==

バーンズの {{mvar|G}}-関数は、正規化条件 {{math|1=''G''(1)&nbsp;=&nbsp;1}} のもと以下の[[函数等式]]
: <math> G(z+1)=\Gamma(z)\, G(z) </math>
を満たす。このバーンズ函数の満たす函数等式とガンマ函数の満たす函数等式
: <math> \Gamma(z+1)=z \, \Gamma(z) </math>
との類似性に注目せよ。この函数等式を用いることにより、バーンズ {{mvar|G}} が整数引数に対して以下の通り
: <math>G(n)=\begin{cases} 0&\text{if }n=0,-1,-2,\dots\\ \prod_{i=0}^{n-2} i!&\text{if }n=1,2,3\dots\end{cases}</math>
を値とすることが導かれる（特に、{{math|1=''G''(1) = ''G''(2) = 1}} が従う。またこれにより、
: <math>G(n)=\frac{(\Gamma(n))^{n-1}}{K(n)}</math>
がわかる。ただし {{math|Γ(''x'')}} は[[ガンマ関数]]を、{{mvar|K}} は[[K関数]]を表す。上記の函数等式は、凸条件 {{math|{{sfrac|''d''{{exp|3}}|''dx''{{exp|3}}}}''G''(''x'') &ge; 0}} を追加すれば、一意にバーンズ {{mvar|G}}-函数を定義する<ref>{{citation |first= M. F. |last= Vignéras |title=L'équation fonctionelle de la fonction zêta de Selberg du groupe mudulaire SL(2,'''Z''') |series= Astérisque  | volume=61 |pages= 235–249 |year= 1979}}</ref>。

== 反射公式 ==

バーンズの {{mvar|G}}-関数に対する[[差分方程式]]は、ガンマ関数の[[函数等式]]と合わせて、バーンズの {{mvar|G}}-関数の{{仮リンク|反射公式|en|Reflection formula}}（相反公式）
{{numblk|:|<math> \log G(1-z) = \log G(1+z)-z\log 2\pi+ \int_0^z \pi x \cot \pi x \, dx</math>|{{equationRef|1}}}}
を得るのに用いることができる（もともとは[[ヘルマン・キンケリン]]によって証明された）。右辺に現れる対数正接積分は（二次の）[[クラウセン関数]]を用いると、
: <math>2\pi \log\left( \frac{G(1-z)}{G(1+z)} \right)= 2\pi z\log\left(\frac{\sin\pi z}{\pi} \right)+\operatorname{Cl}_2(2\pi z)</math>
と評価することができる。この結果の証明は、対数余接積分 {{math|''Lc''(''z'')}} の以下のような評価と {{math|{{fraction|''d''log(sin&thinsp;{{π}}''x'')|''dx''}} {{=}} {{π}}&sdot;cot&thinsp;{{π}}''x''}} なる事実によるものである。部分積分により
: <math>\begin{align}
  Lc(z) &= \int_0^z\pi x\cot \pi x\,dx \\
        &= z\log(\sin \pi z)-\int_0^z\log(\sin \pi x)\,dx \\
        &= z\log(\sin \pi z)-\int_0^z\left[\log(2\sin \pi x)-\log 2\right]\,dx \\
        &= z\log(2\sin \pi z)-\int_0^z\log(2\sin \pi x)\,dx
\end{align}</math>
から、積分変数の置換 <math>\, y=2\pi x \implies dx=dy/(2\pi)\,</math> により
: <math>z\log(2\sin \pi z)-\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi z}\log\left(2\sin \pi \frac{y}{2} \right)\,dy</math>
を得る。二次のクラウセン関数は積分表示
: <math>\operatorname{Cl}_2(\theta) = -\int_0^{\theta}\log\left|2\sin \frac{x}{2} \right|\,dx</math>
を持つが、{{math|0 < θ < 2{{π}}}} なる区間では（積分内の「半正弦函数」の値域は真に正値であるから）被積分函数の[[絶対値]]は取り除けて、しかも真に非零である。この定義と、上記の対数正接積分に関する結果とを比較すれば、明らかに
: <math>Lc(z)=z\log(2\sin \pi z)+\frac{1}{2\pi}\, \text{Cl}_2(2\pi z)</math>
なる関係式が成り立つ。最後に項を並べ替えて、
: <math>2\pi \log\left( \frac{G(1-z)}{G(1+z)} \right)= 2\pi z\log\left(\frac{\sin\pi z}{\pi} \right)+\text{Cl}_2(2\pi z)</math>
とすれば証明は完了する<ref>なお、'''Adamchik'''は別の形で証明を行っている。</ref>。□

<math>\, G(1+z)=\Gamma(z)\, G(z) \,</math> なる関係を使い、反射公式を<math>\, 2\pi \,</math>で割れば、
: <math> \log\left( \frac{G(1-z)}{G(z)} \right)= z\log\left(\frac{\sin\pi z}{\pi}
\right)+\log\Gamma(z)+\frac{1}{2\pi}\text{Cl}_2(2\pi z)</math>
もわかる。

反射式 {{equationNote|1|(1)}} と同等の式に、[[ベルヌーイ多項式]]を用いた式
{{numblk|:|<math>\log\left( \frac{ G\left(\frac{1}{2}+z\right) }{ G\left(\frac{1}{2}-z\right) } \right) =\log \Gamma \left(\frac{1}{2}-z \right) + B_1(z) \log 2\pi-\frac{1}{2}\log 2+\pi \int_0^z B_1(x) \tan \pi x \,dx</math>|{{equationRef|2}}}}
がある。'''{{mvar|z}}'''を'''{{math|(1/2)&nbsp;−&nbsp;''z''{{'}}{{'}}}}'''に置き換えるとこの式は上に等しい。

==テイラー展開==

[[テイラーの定理]]とバーンズのG関数の[[対数微分]]により以下の級数展開が分かる。

:<math>\log G(1+z)= \frac{z}{2}\log 2\pi -\left( \frac{z+(1+\gamma)z^2}{2} \right) + \sum_{k=2}^{\infty}(-1)^k\frac{\zeta(k)}{k+1}z^{k+1}.</math>

これは <math>\, 0 < z < 1 \,</math>において有効であり、ここで<math>\, \zeta(x) \,</math>は[[リーマンゼータ関数]]

:<math> \zeta(x)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^x} </math>

である。級数の両辺を指数関数に代入すると、

:<math>\begin{align} G(1+z)&=\exp \left[ \frac{z}{2}\log 2\pi -\left( \frac{z+(1+\gamma)z^2}{2} \right) + \sum_{k=2}^{\infty}(-1)^k\frac{\zeta(k)}{k+1}z^{k+1} \right]
\\&=(2\pi)^{z/2}\exp\left[ -\frac{z+(1+\gamma)z^2}{2} \right] \exp \left[\sum_{k=2}^{\infty}(-1)^k\frac{\zeta(k)}{k+1}z^{k+1} \right]\end{align}</math>

となる。ここからワイエルシュトラスの乗積表示の形との比較に関し以下が得られる。

:<math>\exp \left[\sum_{k=2}^{\infty}(-1)^k\frac{\zeta(k)}{k+1}z^{k+1} \right] = \prod_{k=1}^{\infty} \left\{ \left(1+\frac{z}{k}\right)^k\text{exp}\left(\frac{z^2}{2k}-z\right) \right\}.</math>

== 倍元公式 ==
[[ガンマ関数]]と同様にバーンズのG関数は引数の整数倍に関して以下の公式を有する。

:<math>
G(nz)= K(n) n^{n^{2}z^{2}/2-nz} (2\pi)^{-\frac{n^2-n}{2}z}\prod_{i=0}^{n-1}\prod_{j=0}^{n-1}G\left(z+\frac{i+j}{n}\right)
</math>

ここで<math>K(n)</math>は以下で与えられる。

:<math> K(n)= e^{-(n^2-1)\zeta^\prime(-1)} \cdot
n^{\frac{5}{12}}\cdot(2\pi)^{(n-1)/2}\,=\,
(Ae^{-\frac{1}{12}})^{n^2-1}\cdot n^{\frac{5}{12}}\cdot (2\pi)^{(n-1)/2}.</math>

ここで<math>\zeta^\prime</math>はリーマンゼータ関数の[[導関数]]、<math>A</math>は[[グレイシャーの定数]]である。

== 漸近展開 ==

バーンズの示した通り、''G''(''z'' + 1)の[[対数]]は

:<math>\begin{align} \log G(z+1) &= \frac{1}{12}-\log A+\frac{z}{2}\log 2\pi+\left(\frac{z^2}{2} -\frac{1}{12}\right)\log z\\
&\quad-\frac{3z^2}{4}+\sum_{k=1}^{N}\frac{B_{2k + 2}}{4k\left(k + 1\right)z^{2k}}~+~O\left(\frac{1}{z^{2N + 2}}\right)\end{align}</math>
と[[漸近展開]]される。
ここで<math>B_{k}</math>は[[ベルヌーイ数]]であり、<math>A</math>は[[グレイシャーの定数]]である。（バーンズの時代には少し紛らわしいことにベルヌイ数 <math>B_{2k}</math> が <math>(-1)^{k+1} B_k </math> と書かれることもあった<ref>{{cite book|first1=E. T.| last1= Whittaker | author1-link=エドマンド・テイラー・ホイッテーカー | first2= G.N. |last2= Watson | title= A course of modern analysis | edition=4 | publisher= Cambridge University Press| year=1927}}.</ref>が、現在ではそのような規約は用いられないことに注意）。この漸近展開は {{math|{{abs|''z''}}}} が大きいとき、負の実軸を含まない任意の扇形に属する {{mvar|z}} に対して成り立つ。

== 対数ガンマ積分との関係 ==

対数ガンマの媒介変数表示はバーンズ {{mvar|G}}-函数を用いて
:<math> \int_0^z \log \Gamma(x)\,dx=\frac{z(1-z)}{2}+\frac{z}{2}\log 2\pi +z\log\Gamma(z) -\log G(1+z)</math>
と評価することができる<ref>この結果は'''Adamchik'''によって示されているが証明は書かれていない。</ref>。

その証明は少々間接的である。まずは[[ガンマ函数]]と {{mvar|G}}-函数との対数差分
: <math>z\log \Gamma(z)-\log G(1+z)</math>
を調べる。ここで、
: <math>\frac{1}{\Gamma(z)}= z e^{\gamma z} \prod_{k=1}^{\infty} \left\{ \left(1+\frac{z}{k}\right)e^{-z/k} \right\}</math>
であり、{{mvar|γ}} は[[オイラーの定数]]である。

バーンズ函数とガンマ函数に関してヴァイヤストラスの乗積形の対数をとることで

: <math>\begin{align}
   & z\log \Gamma(z)-\log G(1+z) =-z \log\left(\frac{1}{\Gamma (z)}\right)-\log G(1+z)\\
 = & -z \left[ \log z+\gamma z +\sum_{k=1}^{\infty} \Bigg\{ \log\left(1+\frac{z}{k} \right) -\frac{z}{k} \Bigg\} \right]\\
   &\qquad -\left[ \frac{z}{2}\log 2\pi -\frac{z}{2}-\frac{z^2}{2} -\frac{z^2 \gamma}{2} + \sum_{k=1}^{\infty} \Bigg\{k\log\left(1+\frac{z}{k}\right) +\frac{z^2}{2k} -z \Bigg\} \right]\end{align}</math>
となり、少し整理して項を並べ替えれば級数展開
: <math>\begin{align}
 & \sum_{k=1}^{\infty} \Bigg\{ (k+z)\log \left(1+\frac{z}{k}\right)-\frac{z^2}{2k}-z \Bigg\}\\
 &\qquad = -z\log z-\frac{z}{2}\log 2\pi +\frac{z}{2} +\frac{z^2}{2}- \frac{z^2 \gamma}{2}- z\log\Gamma(z) +\log G(1+z)
\end{align}</math>
を得る。最後に、対数ガンマ函数のヴァイヤストラス乗積形をとって区間 {{math|[0,''z'']}} 上積分すれば
: <math>\begin{align}\int_0^z\log\Gamma(x)\,dx
 & =-\int_0^z \log\left(\frac{1}{\Gamma(x)}\right)\,dx\\
 & = -(z\log z-z)-\frac{z^2 \gamma}{2}- \sum_{k=1}^{\infty} \Bigg\{ (k+z)\log \left(1+\frac{z}{k}\right)-\frac{z^2}{2k}-z \Bigg\}
\end{align}</math>
となる。二つの評価を等しいと置いて
: <math> \int_0^z \log \Gamma(x)\,dx=\frac{z(1-z)}{2}+\frac{z}{2}\log 2\pi +z\log\Gamma(z) -\log G(1+z)</math>
の証明は完成する。□

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{reflist}}

== 参考文献 ==
*{{dlmf|first=R.A. |last=Askey|first2=R.|last2=Roy|id=5.17|title=Barnes G-function}}
*{{cite web|last=Adamchik|first=Viktor S.|title=Contributions to the Theory of the Barnes function|url=http://arxiv.org/pdf/math/0308086v1.pdf|accessdate=2013-12-10}}
*https://math-functions-1.watson.jp/sub1_spec_010.html

== 関連項目 ==
* [[ガンマ関数]]
* [[多重ガンマ関数]]
* [[K関数]]

{{DEFAULTSORT:はあんすのしいかんすう}}
[[Category:数論]]
[[Category:特殊関数]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]