パウリ方程式のソースを表示


[[量子力学]]において、'''パウリ方程式'''（パウリほうていしき、{{Lang-en-short|Pauli equation}}）または'''シュレーディンガー・パウリ方程式'''（{{Lang-en-short|Schrödinger–Pauli equation}}）は[[シュレーディンガー方程式]]を[[スピン角運動量|スピン1/2]]の粒子に対して形式化したもので、粒子の[[スピン角運動量]]と外部[[電磁場]]の相互作用が考慮に入れられている。これは[[ディラック方程式]]の非[[特殊相対性理論|相対論]]的極限であり、粒子が[[光速]]よりずっと遅く相対論的効果が無視できるときに適用できる。[[ヴォルフガング・パウリ]]によって1927年に定式化された<ref>Wolfgang Pauli (1927) ''Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons'', ''Zeitschrift für Physik'' (43) 601-623 （『磁気を持つ電子の量子力学について』（『ツァイトシュリフト・フュア・フィジーク』））</ref>。

== 方程式 ==

[[電磁ポテンシャル|ベクトルポテンシャル]] <math>\boldsymbol{A}</math> と [[電磁ポテンシャル|スカラーポテンシャル]] <math>\phi</math> で記述される電磁場中の、質量 <math>m</math>、電荷 <math>q</math> の粒子のパウリ方程式は

{{Equation box 1
|title='''Pauli equation''' ''(general)''
|indent =:
|equation = <math>\left[ \frac{1}{2m}(\boldsymbol{\sigma}\cdot(\boldsymbol{p} - q \boldsymbol{A}))^2 + q \phi \right] |\psi\rangle = i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\psi\rangle  </math>
|cellpadding
|border
|border colour = #50C878
|background colour = #ECFCF4}}

ここで <math>\boldsymbol{\sigma} = (\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z)</math> は[[パウリ行列]]を簡便性のためベクトルの形に並べたもの、<math>\boldsymbol{p} = -i\hbar \nabla</math> は[[運動量演算子]]。

:<math> |\psi\rangle = \begin{bmatrix} 
\psi_+ \\
\psi_-
\end{bmatrix}</math>

は2成分[[スピノール|スピノル]]の[[波動関数]]で、列ベクトルを[[ブラ-ケット記法]]で表している。

[[ハミルトニアン]]

:<math>\hat{H} = \frac{1}{2m} \left[\boldsymbol{\sigma}\cdot(\boldsymbol{p} - q \boldsymbol{A}) \right]^2 + q \phi</math>

は、[[パウリ行列]]が含まれるため 2 × 2 行列である。これをシュレーディンガー方程式に代入して得られるのがパウリ方程式である。このハミルトニアンは電磁場と相互作用する電荷の古典的ハミルトニアンの類似物である。古典の場合の詳細については[[ローレンツ力]]を参照。電磁場がないときの自由粒子の[[運動エネルギー]]項は、[[運動量]]を用いて単純に <math>\frac{\boldsymbol{p}^2}{2m}</math> となるが、電磁場が存在するときは{{仮リンク|最小結合|en|minimal coupling}}により <math>\boldsymbol{P} = p - q\boldsymbol{A}</math> （[[正準座標|正準運動量]]）のように取り込まれる。

パウリベクトルの恒等式：

:<math>(\boldsymbol{\sigma}\cdot \boldsymbol{a})(\boldsymbol{\sigma}\cdot \boldsymbol{b}) =  \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} + i\boldsymbol{\sigma}\cdot \left(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}\right)</math>

を使うとパウリ行列を運動エネルギー項から除くことができて、

{{Equation box 1
|title='''Pauli equation''' ''(standard form)''
|indent =:
|equation = <math>\hat{H} |\psi\rangle = \left[\frac{1}{2m}\left[\left(\boldsymbol{p} - q \boldsymbol{A}\right)^2 - q \hbar \boldsymbol{\sigma}\cdot \boldsymbol{B}\right] + q \phi\right]|\psi\rangle = i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\psi\rangle</math>
|cellpadding
|border
|border colour = #50C878
|background colour = #ECFCF4}}
が得られる<ref>{{Cite book|title=Physics of Atoms and Molecules|author=Bransden, BH|author2=Joachain, CJ|year=1983|publisher=Prentice Hall|edition=1st|page=638–638|isbn=0-582-44401-2}}</ref>。ここで <math>\boldsymbol{B} = \nabla \times \boldsymbol{A}</math> は磁場。

== シュレーディンガー方程式、ディラック方程式との関係 ==

パウリ方程式は非相対論的だが、スピンを取り込んではいる。そのため、以下の2つの中間に基礎を置いたものだと考えられる。
* （複素数スカラー値の[[波動関数]]に対する）よく知られたシュレーディンガー方程式。これは非相対論的で、スピンを予測しない。
* （[[ディラック・スピノル|複素数4成分スピノル]]に対する）ディラック方程式。これは完全に特殊相対論的で、スピンを予測する。

パウリ行列の性質から、磁場のベクトルポテンシャル <math>\boldsymbol{A}</math> が0であるとき、方程式は純粋に電位 ''ϕ'' のみがある場での通常のシュレーディンガー方程式に帰着される（ただし2成分[[スピノール|スピノル]]に作用する点だけは異なる）ことに注意する：
:<math>\left( \frac{\boldsymbol{p}^2}{2m} + q \phi \right) \begin{bmatrix} 
\psi_+ \\
\psi_-
\end{bmatrix} = i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \begin{bmatrix} 
\psi_+ \\
\psi_-
\end{bmatrix}</math>

これより、粒子のスピンは磁場が存在しているときに限って運動に影響を与えることが分かる。

== シュテルン＝ゲルラッハの実験との関係 ==
スピノルの2成分はいずれもシュレーディンガー方程式を満たす。外部磁場 <math>\boldsymbol{B}</math> がかかっているとき、粒子のパウリ方程式は：

{{Equation box 1
|title='''Pauli equation''' ''(B-field)''
|indent =:
|equation = <math>
\underbrace{i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\psi_\pm\rangle = \left( \frac{( \boldsymbol{p} -q \boldsymbol A)^2}{2 m} + q \phi \right) \mathbb{I} \boldsymbol |\psi\rangle }_\mathrm{Schr\ddot{o}dinger~equation} - \underbrace{\frac{q \hbar}{2m}\boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol B \boldsymbol |\psi\rangle }_\mathrm{Stern-Gerlach \, term}</math>
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|border
|border colour = #0073CF
|background colour=#F5FFFA}}

となる。ここで

:<math> \mathbb{I} = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{pmatrix} </math>

は <math> 2 \times 2 </math> の[[恒等写像|恒等演算子]]。

[[シュテルン＝ゲルラッハの実験|シュテルン＝ゲルラッハ項]]は[[価電子]]数1の原子のスピン方向に対して有効になり得る（例えば不均一な磁場中を進む銀原子）。

これと類似して、この項は[[ゼーマン効果|異常ゼーマン効果]]に見られるように、磁場によるスペクトル線（エネルギー準位に対応する）の分裂を生じさせる原因にもなる。

==関連項目==
* [[半古典論]]
* [[:en:Atomic, molecular, and optical physics]]
* [[:en:Group contraction]]
* {{仮リンク|ゴルドン分解|en|Gordon decomposition}}

== 脚注 ==
{{reflist}}

== 参考文献 ==
* {{cite book | author=Schwabl, Franz| title=Quantenmechanik I | publisher=[[Springer]] |year=2004 |isbn=978-3540431060}}（『量子力学1』）
* {{cite book | author=Schwabl, Franz| title=Quantenmechanik für Fortgeschrittene | publisher=Springer |year=2005 |isbn=978-3540259046}}（『上級量子力学』）
* {{cite book |author1=Claude Cohen-Tannoudji |author2=Bernard Diu |author3=Frank Laloe | title= Quantum Mechanics 2| publisher=[[ジョン・ワイリー・アンド・サンズ|Wiley, J]] |year=2006 |isbn=978-0471569527}}

{{量子力学}}

{{DEFAULTSORT:はうりほうていしき}}
[[Category:量子力学]]
[[Category:物理学の方程式]]
[[Category:物理学のエポニム]]