パップスの六角形定理のソースを表示


[[ファイル:Pappus-proj-ev.svg|サムネイル|パップスの六角形定理:六角形{{Mvar|AbCaBc}}に対して、点{{Mvar|X,Y,Z}}が[[共線]]である（パップス線）。]]
[[ファイル:Pappus-aff-ev.svg|サムネイル|アフィン形式のパップスの定理<br /><br /><math>Ab\parallel aB, Bc\parallel bC \Rightarrow Ac\parallel aC</math>]]
'''パップスの定理'''または'''パップスの六角形定理'''（パップスのろっかくけいていり、{{Lang-en-short|Pappus's hexagon theorem}}）とは[[アレキサンドリアのパップス]]の名を冠する[[定理]]の一つである<ref>{{Cite book|和書 |title=射影幾何学 |year=1943 |publisher=[[岩波書店]] |page=89 |author=[[細川藤右衛門]] |doi=10.11501/1063403}}</ref>。

* <math>A, B, C</math>と<math>a,b,c</math>がそれぞれ[[共線]]であるとき、<math>Ab</math>と<math>aB</math>の交点を<math>X</math>, <math>Ac</math>と<math>aC</math>の交点を<math>Y</math>、<math>Bc</math>と<math>bC</math>の交点<math>Z</math>として、<math>X,Y,Z</math>は[[共線]]である。またこの線をパップス線（{{Lang|en|Pappus line}}）という。また<math>X,Y,Z</math>は[[六角形]]<math>AbCaBc</math>の3本の主[[対角線]]<ref>{{Cite book|和書 |title=近世幾何学 (帝国百科全書 ; 第179編) |year=1908 |publisher=[[藤田外次郎]] |page=150 |doi=10.11501/828609}}</ref>の交点である。

この定理は任意の[[射影平面]]上で成立するが、[[非可換体]]上では成立しない<ref name=":0">{{Harvnb|Coxeter|1969|pp=236–7}}</ref>。パップスの定理の成り立つ射影平面は[[平面三項環|パップス平面]]（{{Lang|en|pappian planes}}）と呼ばれる。

先述の六角形<math>AbCaBc</math>について、<math>Ab\parallel aB,Bc\parallel bC</math>ならば（パップス線<math>u</math>は[[無限遠直線]]となって）2番目の図の様に、[[アフィン幾何学]]におけるパップスの定理を得る。

パップス線<math>u</math>と直線<math>g,h</math>が[[共点]]ならば、{{Lang|en|little version of Pappus's theorem}}を得る<ref name=":0" /><ref>Rolf Lingenberg: ''Grundlagen der Geometrie'', BI-Taschenbuch, 1969, p. 93</ref>。

{{仮リンク|交点定理|en|Intersection theorem}}によれば、[[共点]]な[[直線]]<math>A, B, C</math>と、<math>A, B, C</math>とは異なる点で共点な直線<math>a, b, c</math>において、直線の交点<math>A\cap b</math>と<math>a\cap B</math>を結ぶ直線を<math>x</math>、<math> A\cap c</math>と<math>a\cap C</math>を結ぶ直線を<math>y</math>、<math>B\cap c</math>と<math>b\cap C</math>を結ぶ直線を<math>z</math>とすれば、<math>x, y, z</math>は共点である（<math>\cap</math>で2直線の交点を示す）。

パップスの定理は[[パスカルの定理]]の[[一般と特殊 (数学)|特別な場合]]である。パスカルの定理に出現する[[円錐曲線]]を2直線に退化させれば、パップスの定理を得る。パスカルの定理はまた、[[ケイリー＝バッハラッハの定理]]の特別な場合である。

{{仮リンク|パップス配置|en|Pappus configuration}}はパップスの定理に出現する9つの{{仮リンク|点と直線の配置|en|configuration}}である。一般には、パップス線は直線<math>ABC</math>と<math>abc</math>の交点を通らない<ref>ただし、<math>ABC</math>と<math>abc</math>で[[配景]]が起こる、つまり<math>Aa, Bb,Cc</math>が共点ならば、パップス線と<math>ABC</math>と<math>abc</math>も共点である。</ref>。 この配置は[[デザルグの定理|自己双対性]]を持つ。したがって直線<math>Bc, bC, XY</math>は<math>x,y,z</math>のような双対の性質を持ち、<math>X,Y,Z</math>の[[共線]]は<math>Bc, bC, XY</math>の[[共点]]と対応する。パップス配置の{{仮リンク|レヴィグラフ|en|Levi graph}}は{{仮リンク|パップスグラフ|en|Pappus graph}}と呼ばれる。パップスグラフは18個の頂点と27個の辺を持つ[[2部グラフ|2部]]の{{仮リンク|距離正則グラフ|en|Distance-regular graph|label=距離正則}}なグラフである。

== 証明 ==
[[ファイル:Pappus-proof-ev.svg|サムネイル|パップスの定理の証明]]
アフィン形式で、ある座標設定でのパップスの定理が証明されれば、それを適当に[[射影]]することで、一般のパップスの定理を証明できる。

{{仮リンク|アフィン平面|en|Affine plane}}では<math>g \not\parallel h</math>と<math>g \parallel h</math>を区別する必要がある。また、単純な証明のためには、座標設定を巧く行わなければならない。

'''場合1:''' <math>g,h</math> が点<math>S=g\cap h</math>で交わる場合。図の様に座標を設定する。

<math>\;S=(0,0), \; A=(0,1), \;c=(1,0)\;</math> 

<math>\;B=(0,\gamma),\; C=(0,\delta), \; \gamma,\delta \notin \{0,1\}</math>

<math>Bc,\; Cb</math>の[[平行]]より<math>b=(\tfrac{\delta}{\gamma},0)</math>を、<math>Ab, Ba</math>の平行より<math>a=(\delta,0)</math>を得る。故に、<math>Ca</math>は[[傾き (数学)|傾き]]<math>-1</math>であるから、<math>Ac</math>と平行である。

'''場合2:''' <math>g\parallel h \ </math> である場合(小定理)。次の様に座標を設定する。

<math>\;c=(0,0), \;b=(1,0),\; A=(0,1), \;B=(\gamma,1),\;\gamma\ne 0</math>. 

<math>Ab\parallel Ba</math>と<math> cB\parallel bC</math>から、<math>\;C=(\gamma+1,1)\;</math>と<math> \;a=(\gamma+1,0)\;</math>を得て、<math>\;Ac\parallel Ca\;</math>が証明される。

== 同次座標を用いる証明 ==
{{仮リンク|同次座標|en|Homogeneous coordinates}}系で、点の座標を次のように設定する。

: <math>C = (1, 0, 0), \; c= (0, 1, 0),\; X = (0, 0, 1), \; A = (1, 1, 1)</math>.

[[直線]]<math>AC, Ac, AX</math>の[[方程式]]をそれぞれ <math>x_2 = x_3,\; x_1 =x_3, \; x_2 = x_1</math>とすれば、点<math>B, Y, b</math> はある<math>p, q, r</math>を用いて

: <math>B = (p, 1, 1),\; Y = (1, q, 1),\; b = (1, 1, r)</math>

と書ける。直線<math>XB, CY, cb</math>の方程式はそれぞれ<math>x_1 = x_2 p,\; x_2= x_3 q,\; x_3 = x_1 r</math>となる。したがってこの3直線が一点<math>a</math>で交わることは<math>rqp = 1</math>と[[同値]]である。

直線<math>Cb, cB,XY</math>の方程式はそれぞれ<math> x_2 = x_1 q,\; x_1 = x_3 p ,\; x_3 = x_2 r</math>となり、一点<math>Z</math>で交わる条件は<math>rpq =1</math>である。[[可換]]であるから<math>pq = qp</math>。故に<math>Cb, cB,XY</math>の共点の条件は他の8本の線が共点であることとなる。これは、<math>X, Y, Z</math> の[[共線]]と同値である。

この証明によって、パップスの定理の成立には[[可換性]]が必要であることが分かる<ref name=":2">{{Cite book|和書 |title=幾何学の基礎 第3版 (岩波全書 ; 第104) |year=1946 |publisher=[[岩波書店]] |pages=52-60,101-102,127 |author=[[窪田忠彦]] |doi=10.11501/1211294}}</ref>。[[ドイツ]]の[[数学者]]、[[ゲルハルト・ヘッセンベルク]]は[[デザルグの定理]]を含んでいることを示した<ref name="Coxeter">{{Harvnb|Coxeter|1969|loc=p. 238}}</ref><ref>{{Harv|Dembowski|1968|loc=pg. 159, footnote 1}}によれば, ヘッセンベルク{{Harvtxt|Hessenberg|1905}}の元の証明は完全ではなかった。彼は デザルグ配置で起こるいくつかの問題を見逃した。完全な証明は{{Harvnb|Cronheim|1953}}によって行われた。</ref><ref name=":2" />。一般に、[[射影平面]]において、パップスの定理の成立と[[可換体]]であることは同値である。パップスの定理を含まない射影平面は非可換なデザルグ射影平面で、{{仮リンク|非デザルグ平面|en|Non-Desarguesian plane}} である。

同次座標による証明は<math>C, c, X</math>の共線は起こらないことを条件としている。<math>C, c, X</math>が共線である場合は別の証明を用いる必要がある。

== 双対 ==
{{仮リンク|射影幾何学の双対性|en|Duality (projective geometry)}}よりパップスの定理の[[双対]]も成り立つ。

6本の直線<math>A,b,C,a,B,c </math>が<math>G,H</math>を中心とする[[束 (射影幾何学)|束]]を成すように選ぶ。

: <math> X:= (A\cap b) (a\cap B), </math>
: <math> Y:= (c\cap A) (C\cap a), </math>
: <math> Z:= (b\cap C) (B\cap c)</math>

は点<math>U</math>で[[共点]]である。左の図は[[射影幾何学]]、右の図は[[アフィン幾何学]]による表現である。アフィン幾何学の方では<math>G,H</math>は[[無限遠点]]である。<math>U</math>が<math>GH</math>上にあれば、パップスの定理の"dual little theorem"を得る。<gallery widths="250" heights="250" class="float-right">
File:Pappus-dual-proj-ev.svg|リンク=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Pappus-dual-proj-ev.svg|射影形式の双対の定理
File:Pappus-dual-aff-ev.svg|リンク=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Pappus-dual-aff-ev.svg|アフィン形式の双対の定理
</gallery>アフィン形式の小定理で得る点<math>U</math>が<math>GH</math>上にある、つまり無限遠点である場合、[[トムセンの定理]]を得る。トムセンの図形は射影平面の公理の決定に大きな役割を果たす<ref> W. Blaschke: ''Projektive Geometrie'', Springer-Verlag, 2013, {{ISBN2|3034869320}}, S. 190</ref>。トムソンの図形の閉形の証明は"little theorem"の証明により行われる。しかし、次のように、より簡単で直接的な証明も存在する。トムセンの定理の主張には''接続、交差、平行''のみが用いられるために[[アフィン写像]]によって不変である。[[三角形]]の頂点の座標を<math>P=(0,0), \; Q=(1,0), \; R=(0,1)</math>と置く。また最初の点を<math>(0,\lambda)</math> とする。6回の操作を経て最後の点が<math>(0,\lambda)</math>に戻ることを証明すればよい。<gallery widths="250" heights="250" class="float-right">
ファイル:Thomsen-kl-d-pap-ev.svg|代替文=Thomsen figure (points                          <nowiki> </nowiki>1 <nowiki> </nowiki>         , <nowiki> </nowiki>         2 <nowiki> </nowiki>         , <nowiki> </nowiki>         3 <nowiki> </nowiki>  , <nowiki> </nowiki>         4 <nowiki> </nowiki>         , <nowiki> </nowiki>         5 <nowiki> </nowiki>         , <nowiki> </nowiki>         6                      <nowiki> </nowiki>   {\displaystyle \color {red}1,2,3,4,5,6}    <nowiki> </nowiki>of the triangle                 <nowiki> </nowiki>       P <nowiki> </nowiki>       Q <nowiki> </nowiki>       R             <nowiki> </nowiki>   {\displaystyle PQR}    ) as dual theorem of the little theorem of Pappus (                <nowiki> </nowiki>       U             <nowiki> </nowiki>   {\displaystyle U}    <nowiki> </nowiki>is at infinity, too !).|トムセンの図形（[[三角形]]<math>PQR</math>と点<math>\color{red} 1,2,3,4,5,6 </math>) 。
ファイル:Thomsen-beweis.svg|証明に用いる図
</gallery>

== パップスの定理の他の主張 ==
[[ファイル:Pappus_hexagon.svg|サムネイル|{{Math|△''XcC'',△''BbY''}}は<math>A,a,Z</math>で[[配景]]]]
パップスの定理とその双対の他の特徴づけに次の主張がある。

* [[六角形]]の6つの頂点が3点ずつ2本の直線上にあるとき、六角形の主[[対角線]]の交点は[[共線]]である<ref>{{Harvnb|Coxeter|1969|pp=|p=231}}</ref>。
* 9つの点を[[行列]]に書き直して、[[パーマネント (数学)|パーマネント]]として評価する。1,2行目と、その6つの"対角"が共線ならば3行目も共線である。

:: <math>\left|\begin{matrix}
A & B & C \\
a & b & c \\
X & Y & Z \end{matrix}
\right|</math>
: つまり直線<math>\ ABC, abc, AbZ, BcX, CaY, XbC, YcA, ZaB\ </math>があったとき、パップスの定理は直線<math>XYZ</math>の存在を主張している。行列に双対の形式を当てはめると、<math>(A,B,C)</math>などは共点な直線となる<ref name=":1">{{Harvnb|Coxeter|1969|pp=|p=233}}</ref>。

* 2つの直線上にそれぞれ3つの異なる点があるとする。一方の直線上の点ともう一方の直線上の点を1対1に対応させる。このとき、対応していない点を結ぶ直線はある直線上で交わる<ref>{{Harvnb|Whicher|1971|loc=chapter 14}}</ref>。
**
* 2つの三角形が2通りの対応で[[配景]]であるとき、3つ目の対応でも[[配景]]である<ref name="Coxeter" />。<math>AB, CD,EF</math>が[[共点]]で且つ<math>DE,FA,BC </math>が共点ならば、<math> AD, BE,CF</math>も共点である<ref name=":1" />。

== 起源 ==
これらの性質の最も早い形は[[アレキサンドリアのパップス|パップス]]の著書のVIIの性質138,139,141,143で知られていた<ref>Heath (Vol. II, p. 421)はこれらの性質を引用している。後の2つは前の二つの逆として知られる。 Kline (p. 128)は性質139のみを引用している。性質の番号付けはHultschによる。</ref>。また、これらの性質は[[エウクレイデス]]の''Porisms''の巻VIIの一部にある[[補題]]XII,XIII,XV,XVIIである。

エウクレイデスの書にある補題は今日では[[複比]]として知られる概念を用いて証明されている。また、先の3つの補題も利用されている。一つ目は補題IIIである。 (パップスの記述とは、GとΓ、DとΔ、JとΘ、LとΛが対応している)。 

: [[ファイル:Pappus-collection-7-129.svg|Pappus-collection-7-129]]

3つの共点線AB,AG,ADがあって、JB,JEがJで交わっている。またKLはAZと[[平行]]である。このとき

: KJ : JL :: (KJ : AG & AG : JL) :: (JD : GD & BG : JB).

である。これらは今日、等式として次の様に表される<ref>古代ギリシャでこのように記述された理由は、当時は比というものは、数論や幾何学の対象として見られていなかったことが挙げられる。また、現在の私たちの「等しい」と言う概念は幾何学的に比にも応用できるが、古代ギリシャ人は今日でいう合同として「等しい」という概念を扱っていた。このような意味で線分は等価ではなく、比は等しいとは考えなかった。</ref>。

: KJ/JL = (KJ/AG)(AG/JL) = (JD/GD)(BG/JB).

最右辺 ( JD : GD と BG : JBの積) は、共線点J, G, D, Bに対して複比として知られるもので、(J, G; D, B)とも書かれる。つまりAで交わる3線のうち、JDの取り方は複比と無関係であることが示された。

: (J, G; D, B) = (J, Z; H, E).

直線JEがAを通るどの辺（直線）にあたるかは重要ではない。特に図を変えれば、以下の様になることもある（補題X） 。

: [[ファイル:Pappus-collection-7-136.svg|Pappus-collection-7-136]]

先述のように(J, G; D, B) = (J, Z; H, E)である。パップスはこれを証明しなかったが、 補題Xはこの構図の逆「2つの複比が等しく図の様にBE,DHがAで交わるとすれば、点G,A,Zは共線である」を表している。 

JK,AGが交わらない場合は複比を (J, [[∞]]; K, L) = (J, G; D, B)の様に書くことができる。パップスはこれを補題XIで示している。

: [[ファイル:Pappus-collection-7-137.svg|Pappus-collection-7-137]]

当時の記法ではDE.ZH : EZ.HD :: GB : BEとなるが、これは

: (D, Z; E, H) = (∞, B; E, G).

という表現に等しい。

次の図は補題XIIである。

: [[ファイル:Pappus-collection-7-138.svg|Pappus-collection-7-138]]

この図は補題XIIIと意味する所は同じだがBA,DGが辺の延長にある点Nで交わっている。どのような場合でも、Gを通る直線がAを通る直線と交わっているとすれば (そして[[複比]]の不変性を利用すれば）、補題IIIとXIを次のように得る。

: (G, J; E, H) = (G, D; ∞ Z).

Dを通る直線がBを通る直線と交わっているとすれば、

: (L, D; E, K) = (G, D; ∞ Z).

を得る。したがって(E, H; J, G) = (E, K; D, L)である。また補題Xより、H,M,Kは[[共線]]である。これは、[[六角形]]ADEGBZの主対角線の交点の共線を表している。

補題XVとXVIIは、直線HK,BGの交点をMとして、A,M,Gの共線を示している。これは六角形BEKHZGの主対角線の交点の共線を示している。 

== 関連項目 ==

* [[メネラウスの定理]]
* [[デザルグの定理]]
* [[ブリアンションの定理]]

== 出典 ==
<references responsive="0"></references>

== 参考文献 ==

* {{Citation|和書|title=Introduction to Geometry|last=Coxeter|first=Harold Scott MacDonald|author-link=Harold Scott MacDonald Coxeter|year=1969|edition=2nd|publisher=[[John Wiley & Sons]]|location=New York|isbn=978-0-471-50458-0|mr=123930}}
* {{Citation|title=A proof of Hessenberg's theorem|last=Cronheim|first=A.|year=1953|journal=Proceedings of the American Mathematical Society|volume=4|issue=2|pages=219–221|doi=10.2307/2031794|jstor=2031794}}
* {{Citation|title=Finite Geometries|last=Dembowski|first=Peter|year=1968|publisher=Springer-Verlag|location=Berlin}}
* {{Citation|title=A History of Greek Mathematics|last=Heath|first=Thomas|year=1981|origyear=1921|publisher=Dover Publications|location=New York}}
* {{Citation|title=Beweis des Desarguesschen Satzes aus dem Pascalschen|last=Hessenberg|first=Gerhard|year=1905|journal=Mathematische Annalen|publisher=Springer|volume=61|issue=2|pages=161–172|location=Berlin / Heidelberg|doi=10.1007/BF01457558|issn=1432-1807}}
* {{Citation|title=Pappi Alexandrini Collectionis Quae Supersunt|last=Hultsch|first=Fridericus|year=1877|location=Berlin}}
* {{Citation|title=Mathematical Thought From Ancient to Modern Times|last=Kline|first=Morris|year=1972|publisher=Oxford University Press|location=New York}}
* {{Citation|title=Geometry in history|last=Pambuccian|first=Victor|last2=Schacht|first2=Celia|year=2019|publisher=Springer|editor-last=Dani|editor-first=S. G.|issue=3|pages=355–399|chapter=The axiomatic destiny of the theorems of Pappus and Desargues|isbn=978-3-030-13611-6|editor2-last=Papadopoulos|editor2-first=A.}}
* {{Citation|和書|ref=Whicher|title=Projective Geometry|last=Whicher|first=Olive|year=1971|publisher=Rudolph Steiner Press|isbn=0-85440-245-4}}

== 外部リンク ==

* [http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/Pappus.shtml Pappus's hexagon theorem] at cut-the-knot
* [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/PappusDual.shtml Dual to Pappus's hexagon theorem] at cut-the-knot
* [https://www-m10.ma.tum.de/foswiki/pub/Lehre/WS0809/GeometrieKalkueleWS0809/ch1.pdf Pappus’s Theorem: Nine proofs and three variations]
* {{Cite web |url=https://manabitimes.jp/math/1375 |title=平面幾何の美しい定理4つ |access-date=2024-7-24 |publisher=[[高校数学の美しい物語]]}}
{{デフォルトソート:はつふすのろつかくけいていり}}
[[Category:多角形に関する定理]]
[[Category:証明を含む記事]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]