パラノーマル作用素のソースを表示

[[数学]]の、特に[[作用素論]]の分野における'''パラノーマル作用素'''（パラノーマルさようそ、{{Lang-en-short|paranormal operator}}）とは、[[正規作用素]]のある一般化である。より正確に言うと、ある複素[[ヒルベルト空間]] ''H'' 上の有界[[線型作用素]] ''T'' がパラノーマルであるとは、

: <math>\|T^2x\| \ge \|Tx\|^2 \,</math>
を ''H'' 内のすべての単位ベクトル ''x'' に対して満たすことを言う。

パラノーマル作用素の類は1960年代に V. Istratescu によって導入されたが、「パラノーマル」という語はおそらく[[古田孝之|古田]]によるものである<ref>V. Istratescu. ''[http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.pjm/1102992095 On some hyponormal operators]''</ref><ref name="Furuta" />。

すべての[[ハイポノーマル作用素]]（特に、{{仮リンク|部分正規作用素|en|subnormal operator}}、準正規作用素および正規作用素）はパラノーマルである。作用素 ''T'' がパラノーマルであるなら、''T''<sup>''n''</sup> もパラノーマルである<ref name="Furuta">Furuta, Takayuki. ''[http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.pja/1195521514 On the Class of Paranormal Operators]''</ref>。一方 [[ポール・ハルモス|ハルモス]]は、作用素 ''T'' がハイポノーマルであっても ''T''<sup>2</sup> がハイポノーマルとならない例を見つけた。したがって、すべてのパラノーマル作用素がハイポノーマルということにはならない<ref>P.R.Halmos, ''A Hilbert Space Problem Book'' 2nd edition, Springer-Verlag, New York, 1982.</ref>。

[[コンパクト作用素|コンパクト]]なパラノーマル作用素は、正規作用素である<ref>Furuta, Takayuki. [http://www.journalarchive.jst.go.jp/jnlpdf.php?cdjournal=pjab1945&cdvol=47&noissue=SupplementI&startpage=888&lang=en&from=jnlabstract Certain Convexoid Operators]{{リンク切れ|date=2017年9月 |bot=InternetArchiveBot }}</ref>。

== 参考文献 ==
{{reflist}}

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{{DEFAULTSORT:はらのおまるさようそ}}
[[Category:作用素論]]
[[Category:数学に関する記事]]