パラメトリック方程式のソースを表示

[[ファイル:Butterfly transcendental curve.svg|thumb|200px|right|[[バタフライ曲線]]はパラメトリック方程式で定義される曲線の一例である。]]
'''パラメトリック方程式'''（パラメトリックほうていしき、[[英語|英]]: parametric equation）とは、関数を[[媒介変数]]（パラメータ）を使って表したもの、またはその手法である。単純な[[運動学]]的例として、時間を媒介変数として[[位置]]、[[速度]]、その他の運動体に関する情報を表す場合が挙げられる。

抽象的には、[[二項関係|関係]]は1つの[[方程式]]の形で表され、[[ユークリッド空間]] ''R''<sup>''n''</sup> の項からなる関数のイメージとしても表される。したがって、より正確には'''媒介変数表示'''（英: parametric representation）として定義される。

== 例 ==
例として、最も単純な方程式として次の[[放物線]]の式を考える。

:<math>y = x^2\,</math>

これを自由な媒介変数 ''t'' を使って次のようにも表せる。

:<math>x = t\,</math>
:<math>y = t^2\,</math>

これはやや自明な例だが、[[半径]] ''a'' の[[円 (数学)|円]]をパラメトリックに表すと次のようになる。

:<math>x = a \cos(t)\,</math>
:<math>y = a \sin(t)\,</math>

パラメトリック方程式は、高次元空間での[[曲線]]を表すのに便利である。例えば、

:<math>x = a \cos(t)\,</math>
:<math>y = a \sin(t)\,</math>
:<math>z = bt\,</math>

これは3次元の[[螺旋]]状の曲線を表しており、半径が ''a'' で、1周するごとに 2π''b'' だけ上昇する。なお、''z''値を除くと円の方程式と全く同じである点に注意。

この方程式を次のように表記することも多い。

:<math>r(t) = (x(t), y(t), z(t)) = (a \cos(t), a \sin(t), b t)\,</math>

このように曲線を表現することは実用的であり、効率的である。例えば、そのような曲線を項ごとに[[積分法|積分]]・[[微分法|微分]]できる。したがって、媒介変数表示された経路を通る粒子があるとき、その[[速度]]は次のように表せる。

:<math>v(t) = r'(t) = (x'(t), y'(t), z'(t)) = (-a \sin(t), a \cos(t), b)\,</math>

さらに[[加速度]]は次のようになる。

:<math>a(t) = r''(t) = (x''(t), y''(t), z''(t)) = (-a \cos(t), -a \sin(t), 0)\,</math>

一般に[[パラメトリック曲線]]は（通常 ''t'' で表される）1つの独立媒介変数の関数である。2つ（以上）の独立媒介変数に対応した同様の概念は[[パラメトリック曲面]]と呼ぶ。

== 2つのパラメトリック方程式から1つの方程式への変換 ==
パラメトリック方程式を1つの方程式に変換するとは、並列する方程式群 <math>x=x(t),\ y=y(t)</math> から媒介変数 <math>t</math> を取り除くことに他ならない。これらの方程式のうちの1つを <math>t</math> について解くことができれば、その式をもう一方の方程式に代入し、<math>x</math> と <math>y</math> だけから成る方程式が得られる。<math>x(t)</math> と <math>y(t)</math> が有理関数なら、''t''を取り除くのは容易である。パラメトリック方程式と等価な閉形式の1つの方程式が存在しない場合もある<ref>[https://web.archive.org/web/20120309000143/http://xahlee.org/SpecialPlaneCurves_dir/CoordinateSystem_dir/coordinateSystem.html "Equation form and Parametric form conversion"]</ref>。

== 関連項目 ==
*[[曲線]]

== 脚注・出典 ==
{{脚注ヘルプ}}
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== 外部リンク ==
* {{Curlie|Science/Math/Software/Graphing/|Graphing Software}}

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