パンデジタル数のソースを表示

'''パンデジタル数'''（パンデジタルすう、{{lang-en-short|pandigital number}}）は、[[自然数]]の内 ''n'' 進法において0から ''n'' &minus; 1 までの全ての数字を少なくとも1つ使って表される数のことである。

==概説==
例えば[[十進法]]では0から9までの全ての数字を使った 276498604153 などがパンデジタル数に当たる。パンデジタル数は無数にあり、その内、十進法において最も小さいものは1023456789である。

十進法のパンデジタル数を1023456789から小さい順に列記すると
:1023456789, 1023456798, 1023456879, 1023456897, 1023456978, 1023456987, 1023457689, …({{OEIS2C|A050278}})
n進法における最小のパンデジタル数は以下の式で表される。
:<math>n^{n - 1} + \sum_{d = 2}^{n - 1} dn^{(n - 1) - d}</math>
それぞれの[[位取り記数法]]における最小のパンデジタル数は以下の通り。
{| class="wikitable"
|-
!底
!最小のパンデジタル数
!十進法での値
|-
|[[一進法|1]]
|1
|[[1]]
|-
|[[二進法|2]]
|10
|[[2]]
|-
|[[三進法|3]]
|102
|[[11]]
|-
|[[四進法|4]]
|1023
|[[75]]
|-
|[[五進法|5]]
|10234
|[[694]]
|-
|[[六進法|6]]
|102345
|8345
|-
|[[八進法|8]]
|10234567
|2177399
|-
|[[十進法|10]]
|1023456789
|1023456789
|-
|[[十二進法|12]]
|1023456789AB
|754777787027
|-
|[[十六進法|16]]
|1023456789ABCDEF
|1162849439785405935
|-
|[[二十進法|20]]
|1023456789ABCDEFGHIJ
|5271200985927977839335179
|-
|[[三十六進法|36]]
|1023456789ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ
|2959962226643665039859858867133882191922999717199870715
|-
|[[ローマ数字]]
|MCDXLIV
|1444
|}

二進法で数を表せば 2<sup>''n''</sup> &minus; 1 の形である 111…1（[[レピュニット]]）以外の自然数は全てパンデジタル数であるといえる。

==十進法での具体例==

十進法で最小の'''パンデジタル[[素数]]'''は10123457689である。十進法で数字が重複しないパンデジタル素数（十桁のパンデジタル数のうち素数であるもの）は存在しない。なぜなら10桁のパンデジタル数は各桁の数字の和が 0 + 1 + 2 + … + 9 = 45 となり、3(および9)の倍数となるからである。

11桁のパンデジタル素数で最大のものは98876532401である。

11桁のパンデジタル数の個数は 10! × (11 × 10 ÷ 2) × (9 ÷ 10) = 179625600 個である。

そのうち素数は6481542個である。

パンデジタル数である最小の[[平方数]]は 1026753849=32043<sup>2</sup>であり、10桁のパンデジタル数のうち最大の平方数は 9814072356=99066<sup>2</sup> である。10桁のパンデジタル平方数は87個ある。

0を使わないパンデジタル数では以下の2つの[[フリードマン数]]が知られている。
*123456789 = ((86 + 2 × 7)<sup>5</sup> - 91) / 3<sup>4</sup>
*987654321 = (8 × (97 + 6/2)<sup>5</sup> + 1) / 3<sup>4</sup>

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