パンルヴェ予想のソースを表示

'''パンルヴェ予想''' (パンルヴェよそう, Painlevé's conjecture) とは、四体以上の[[多体問題|N体問題]]には非衝突特異点に至る軌道が存在する、という主張のこと<ref name="#1">{{harvnb|岩崎|p=11}}</ref>。1895年に[[ポール・パンルヴェ]]によって予想され、1988年に [[:en:Zhihong Xia|Jeff Xia]] によって N &ge; 5 の場合が、2014年に Jinxin Xue によって N = 4 の場合が証明された。

== 概要 ==
[[ニュートン力学]]において、互いに重力相互作用する <math>N</math> 個の質点系の[[ニュートンの運動方程式|運動方程式]]（<math>N</math> 体問題）は、<math>i</math> 番目の質点の質量を <math>i</math>、座標を <math>\mathbf{r}_i</math> とするとき
:<math>\frac{ d^2 \mathbf{r}_i }{ d t^2 } = - \sum_{j \neq i} G m_j \frac{ \mathbf{r}_j - \mathbf{r}_i }{ | \mathbf{r}_j - \mathbf{r}_i |^3 }</math>
により与えられる。その有限時間 <math>t \in [ 0,  t^* )</math> での解 <math>\left( \mathbf{r}_1 ( t ), \mathbf{r}_2 ( t ), \cdots, \mathbf{r}_N ( t ) \right)</math> について、それを時刻 <math>t = t^* < \infty</math> を超えて延長できないとき、その点を[[特異点 (数学)|特異点]] (singularity) と呼ぶ。極限 <math>t \to t^*</math> において粒子座標が有限値に収束する場合、これは粒子の衝突を意味する<ref>Sigel & Moser, p. 25.</ref>ため衝突特異点 (collision singularity) と呼ぶ<ref name="#2">{{harvnb|Diacu|p=177}}</ref>。一方そうでない場合を非衝突特異点 (non-collision singularity または pseudocollision singularity) と呼ぶ<ref name="#2"/>。

[[ポール・パンルヴェ]]は三体問題に非衝突特異点が存在しないことを証明したものの、その証明を四体以上に拡張することはできなかったことから、四体以上の <math>N</math> 体問題には非衝突特異点が存在すると19世紀末に予想した<ref name="#3">{{harvnb|Diacu|p=178}}</ref>。その後約90年に渡り多くの数学者がこの予想を証明しようと挑戦し、1988年に[[:en:Zhihong Xia|Jeff Xia]]によって N &ge; 5 の場合が証明された<ref name="#1"/>。

== 歴史 ==
[[1895年]]に[[ポール・パンルヴェ]]は[[オスカル2世 (スウェーデン王)|オスカル2世]]の招聘で[[ストックホルム大学]]において[[微分方程式]]に関する講義を行い、その中で現在パンルヴェ予想と呼ばれるこの予想を公表した<ref name="#2"/>。そのノートは[[1897年]]に出版されている<ref>{{Cite book |author=P. Painlevé |title=Lecons sur la théorie analytique des équations différentielles |publisher=Hermann |date=1897}}</ref><ref name="#2"/>。その後パンルヴェは政治家としての活動に軸足を移し数学の研究からは遠ざかったものの、同時代の研究者によってパンルヴェ予想の証明へ向けた努力が継続された<ref name="#3"/>。当時既に時刻 <math>t^*</math> が特異点であるための必要十分条件が、<math>r_{i j} = | \mathbf{r}_i - \mathbf{r}_j |</math> として
:<math>\liminf_{t \to t^*} \min_{i < j} r_{i j} = 0</math>
であることが知られていたが<ref name="#3"/>、1908年に [[:en:Edvard Hugo von Zeipel|Edvard Hugo von Zeipel]] は、特異点 <math>t^*</math> が衝突特異点であるならば慣性モーメント
:<math>J = \sum_i m_i | \mathbf{r}_i |^2</math>
は極限 <math>t \to t^*</math> で有限値に収束することを証明し、軌道が非有界であることが非衝突特異点の必要条件であることを示した<ref>{{Cite journal |author=H. von Zeipel |title=Sur les singularites du probleme des corps |journal=ArkivforMat. Astron. Fys. |volume=4 |date=1908 |pages=1-4}}</ref><ref name="#4">{{harvnb|Diacu|p=179}}</ref>。ただし von Zeipel の結果は広く知られておらず、[[:en:Jean Chazy|Jean Chazy]]は1920年に同じ結果を（von Zeipel の業績を引用せずに）出版した<ref name="#4"/><ref>{{Cite journal |last=Chazy |first=J. |title=Sur les singularites impossibles du probleme des n corps |journal=C.R.Hebdomadaires Seances Acad. Sci. Paris |volume=170 |date=1920 |pages=575-577}}</ref>。

1967年に Victor Szebehely らが出版した[[ピタゴラス三体問題]]の数値解は、三体のうち二体が連星を組み、残りの一体が大きな速度を持って系からエスケープするものであった<ref>{{Cite journal |last1=Szebehely |first1=Victor |last2=Peters |first2=C. Frederick |title=Complete solution of a general problem of three bodies |journal=The Astronomical Journal |volume=72 |date=1967 |page=876 |bibcode=1967AJ.....72..876S |doi=10.1086/110355}}</ref>。この解は <math>N</math> 体問題において一体が大きな速度を持って有限時間で無限遠まで脱出する可能性を示唆した<ref name="#4"/>。

1974年に [[:en:Richard McGehee|Richard McGehee]] は同一直線上の五体問題に非衝突特異点が存在することを示唆し<ref>{{Cite journal |last=McGehee |first=R. |title=Triple collision in the collinear three-body problem |journal=Invent Math |volume=27 |pages=191–227 |date=1974 |doi=10.1007/BF01390175}}</ref>、[[:en:John N. Mather|John N. Mather]] とともにそのような解の存在を（四体問題の場合に）証明した<ref>{{Cite journal |last1=Mather |first1=J. N. |last2=McGehee |first2=R. |date=1975 |title=Solutions of the collinear four body problem which become unbounded in finite time |journal=Dynamical Systems, Theory and Applications. Lecture Notes in Physics |volume=38 |publisher=Springer, Berlin, Heidelberg |doi=10.1007/3-540-07171-7_18}}</ref><ref name="#5">{{harvnb|Diacu|p=181}}</ref>。ただし、これらの解は最終的に非衝突特異点に至るものの、その直前に二体衝突特異点が必要であることが [[:en:Donald G. Saari|Donald G. Saari]] によって証明されており<ref>{{Cite journal |last=Saari |first=D. G. |title=Singularities and collisions of Newtonian gravitational systems |journal=Arch. Rational Mech. Anal. |volume=49 |pages=311–320 |date=1973 |doi=10.1007/BF00250511}}</ref>、パンルヴェ予想の証明とはなり得なかった<ref name="#5"/>。また、Saari は同じ時期に特異点に到達する軌道は[[ルベーグ測度]] 0 であることを示している<ref>{{Cite journal |last=Saari |first=D. G. |title=Improbability of collisions in Newtonian gravitational systems |journal=Trans. Amer. Math. Soc. |volume=162 |pages=267–271 |date=1971 |url=https://www.ams.org/journals/tran/1971-162-00/S0002-9947-1971-0295648-8/S0002-9947-1971-0295648-8.pdf}}</ref><ref>{{Cite journal |last=Saari |first=Donald G. |title=Improbability of Collisions in Newtonian Gravitational Systems. II |journal=Transactions of the American Mathematical Society |volume=181 |date=1973 |pages=351-368 |url=https://www.jstor.org/stable/1996638}}</ref><ref>{{cite journal |first=Donald G. |last=Saari |title=A global existence theorem for the four-body problem of Newtonian mechanics |journal=J. Differential Equations |volume=26 |year=1977 |issue=1 |pages=80–111 |doi=10.1016/0022-0396(77)90100-0 |bibcode=1977JDE....26...80S }}</ref>。

1984年に Joe Gerver は五体問題において有限時間内に一体が無限遠へエスケープする解を具体的に提案したものの、その存在に関する数学的に厳密な証明は与えなかった<ref>{{cite journal |first=J. L. |last=Gerver |title=A possible model for a singularity without collisions in the five-body problem |journal=J. Diff. Eq. |volume=52 |year=1984 |issue= 1|pages=76–90 |doi= 10.1016/0022-0396(84)90136-0|bibcode=1984JDE....52...76G }}</ref>。

[[File:Xia's 5-body configuration.png|thumb|Jeff Xia の解における五体の配位。]]

1988年に Donald Saari のもとで [[:en:Jeff Xia|Jeff Xia]] は五体問題の場合にパンルヴェ予想に証明を与え、その結果は1992年に査読を通過して出版された<ref name="xia0">{{cite journal|last=Xia|first=Zhihong|year=1992|title=The Existence of Noncollision Singularities in Newtonian Systems|journal=[[Annals of Mathematics]]|series=Second Series|volume=135|issue=3|pages=411–468|doi=10.2307/2946572|jstor=2946572}}</ref>{{sfn|Diacu|p=182}}。Xiaの証明は、五体問題において二組の二体が連星を組み、残りの小さな質量を持つ一体がその連星間を振動する間に振幅が増大し、有限時間のうちに振幅が無限大に発散するような解が存在することを示すものであった{{sfn|Diacu|p=182-183}}。またこの解は <math>N > 5</math> の場合にも拡張できる{{sfn|Diacu|p=183}}。

残された <math>N = 4</math> の場合は、Jinxin Xue が2014年に証明を公表し<ref>{{arxiv|id=1409.0048}}</ref>、2019年に査読を通過し2020年に出版された<ref>{{Cite journal |last=Xue |first=Jinxin |journal=Acta Mathematica |volume=224 |issue=2 |date=2020 |title=Non-collision singularities in a planar 4-body problem |pages=253–388 |doi=10.4310/ACTA.2020.v224.n2.a2}}</ref>。

{{clear}}
== 脚注 ==
{{Reflist|30em}}

== 参考文献 ==
* {{cite journal|author=Diacu F.N. |year=2001 |url=https://doi.org/10.1007/978-1-4613-0195-0_16 |title=Painlevé’s Conjecture. In: Mathematical Conversations |publisher=Springer |location=New York, NY. |doi=10.1007/978-1-4613-0195-0_16 |ref={{harvid|Diacu}}}}
* {{cite journal|和書|author=岩崎克則 |date=2011-03 |url=https://hdl.handle.net/2433/170583 |title=特殊関数の問題 : パンルヴェ性をめぐって (複素幾何学の諸問題) |journal=数理解析研究所講究録 |ISSN=1880-2818 |publisher=京都大学数理解析研究所 |volume=1731 |pages=1-13 |hdl=2433/170583 |CRID=1050001335761901440 |accessdate=2024-01-11 |ref={{harvid|岩崎}}}}

== 関連項目 ==
* [[三体問題]]


{{DEFAULTSORT:はんるうえよそう}}
[[Category:天体力学]]
[[Category:物理学の定理]]
[[Category:常微分方程式]]
[[Category:証明された予想]]
[[Category:ポール・パンルヴェ]]
[[Category:物理学のエポニム]]
[[Category:数学に関する記事]]