パンルヴェ方程式のソースを表示

{{参照方法|date=2023年9月}}

[[数学]]において'''パンルヴェ方程式'''（パンルヴェほうていしき、{{lang|en|''Painlevé equations''}}）は、（[[動く特異点]]が[[極 (複素解析)|極]]であるという）'''パンルヴェ性''' {{lang|en|(''Painlevé property'')}} を備えた特定の種類の二階[[非線型]]の複素[[常微分方程式]]である。パンルヴェ方程式は一般には[[初等関数]]の範囲で解くことはできず、パンルヴェ方程式の解として'''パンルヴェ超越関数''' {{lang|en|(''Painlevé transcendents'')}} と呼ばれる[[複素変数]]の[[特殊関数]]が定義される。名の由来は後に[[フランスの首相#歴代フランス首相・閣僚評議会議長|フランス首相]]の座に就く[[ポール・パンルヴェ]]の著した論文 {{harvs||first=Paul |last=Painlevé|year=1900|year2=1902}} から。

== 歴史 ==
パンルヴェ超越関数の起源は、常微分微分方程式の解としてしばしば現れる[[特殊関数]]の研究および、線型常微分方程式の[[等モノドロミー変形]]の研究にある。たとえば[[楕円関数]]などは特殊関数のクラスのなかでも特に有用なものの一つである。パンルヴェ超越関数は、方程式の[[特異点 (数学)|特異点]]が'''パンルヴェ性'''を満たす二階常微分方程式の解として定められる。ここで、パンルヴェ性とは「動く特異点は極に限る」というものである。線型常微分方程式はつねにパンルヴェ性を持つが、非線型方程式でパンルヴェ性を持つものは稀である。[[アンリ・ポアンカレ]]と[[ラザルス・フックス]]はパンルヴェ性を持つ一階方程式が、必ず[[ワイエルシュトラス方程式]]か[[リッカチ方程式]]に変形できることを示した（これらの方程式は求積法と既知の特殊関数によって明示的に解ける）。[[エミール・ピカール]]は一階よりも高階の動く真性特異点をもつ方程式に着目して、パンルヴェ性をもつ新たな例を探ろうとしたが失敗に終わっている（二階より高階の方程式では、解が動く自然境界を持ち得る）。1900年頃に、[[ポール・パンルヴェ]]は動く特異点を持たない二階常微分方程式を研究していて、そのような方程式で有理関数 ''R'' を用いて

:<math>y'' = R(y',y,t)</math>

の形に表されるものは、適当な変形を加える違いを除けば50個の「標準形」で表せることを発見した（一覧表が {{harv|Ince|1956}} にある）。さらに
{{harvs|last=Painlevé|year1=1900|year2=1902|txt}} では、先の50の「標準形」のうちの44個については既知の関数を用いて解けるので削減できることが判明し、解を表すのに新たな特殊関数の導入を必要とする方程式として残るのはわずか6個だけであることを示した（実はパンルヴェの成果にはいくつかの計算間違いがあり、のちに弟子のガンビエとフックスによって修正されている）。それ以後長らくの間、これら6個の方程式が一般のパラメータの値に対してこれ以上の簡約が不能であるかどうか（特殊なパラメータの値については、方程式が簡約化されてしまう場合もある。後述）ということが議論となる未解決問題であったが、最終的には {{harvtxt|Nishioka|1988}} および {{harvs|txt|last=Umemura|first= Hiroshi |year=1989}} によって解決された。これら6つの非線型二階常微分方程式はパンルヴェ方程式と呼ばれ、それらの解はパンルヴェ超越関数と呼ばれる。

パンルヴェが見逃していた最も一般の形の第六方程式は、1905年に（[[ラザルス・フックス]]の息子）リチャード・フックスによって、[[等モノドロミー変形|モノドロミーを保つ変形]]のもとで '''P'''<sup>1</sup> 上に4つの正常特異点をもつ二階のフックス型方程式の特異性によって満たされる微分方程式として発見された。これは {{harvs|txt|last=Gambier|year=1910}} でパンルヴェ方程式のリストに加えられている。

パンルヴェの結果をより高階の方程式に対して拡張する試みが{{harvs||last=Chazy|year1=1910|year2=1911|txt}}でなされて、パンルヴェ性を満たす三階の方程式がいくつか発見されている。

== {{anchors|分類|パンルベ方程式の分類}}パンルヴェ方程式の分類 ==
以下の6種類の方程式に、伝統的にパンルヴェ I から VI までの番号が振られている（括弧内は発見者）。

; I (Painlevé): 
:<math>\frac{d^2y}{dt^2} = 6y^2 + t</math>
; II (Painlevé): 
:<math>\frac{d^2y}{dt^2} = 2y^3 + ty + \alpha </math>
; III (Painlevé): 
:<math>\frac{d^2y}{dt^2} = 
\frac{1}{y}\left(\frac{dy}{dt}\right)^2-\frac{1}{t}\frac{dy}{dt} + \frac{1}{t}(\alpha y^2 + \beta) + \gamma y^3 + \frac{\delta}{y}</math>
; IV (Gambier):
:<math>\frac{d^2y}{dt^2}=\frac{1}{2y}\left(\frac{dy}{dt}\right)^2+\tfrac32y^3+4ty^2+2(t^2-\alpha)y+\frac{\beta}{y}</math>
; V (Gambier):
:<math>\begin{align}
\frac{d^2y}{dt^2} &= \left(\frac{1}{2y}+\frac{1}{y-1}\right) \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 - \frac{1}{t} \frac{dy}{dt}\\
&\quad + \frac{(y-1)^2}{t}\left(\alpha y+\frac{\beta}{y}\right) +\gamma\,\frac{y}{t}+\delta\,\frac{y(y+1)}{y-1}
\end{align}</math>
; VI (R. Fuchs):
:<math>\begin{align}
\frac{d^2y}{dt^2} &= \frac{1}{2}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{y-1}+\frac{1}{y-t}\right)\left(\frac{dy}{dt} \right)^2 -\left(\frac{1}{t}+\frac{1}{t-1}+\frac{1}{y-t}\right)\frac{dy}{dt} \\
&\quad + \frac{y(y-1)(y-t)}{t^2(t-1)^2} \left\{\alpha+\beta\frac{t}{y^2}+\gamma\frac{t-1}{(y-1)^2}+\delta\frac{t(t-1)}{(y-t)^2}\right\}
\end{align}</math>

ここでパラメータ &alpha;, &beta;, &gamma;, &delta; は複素定数である。III-型方程式では ''y'' と ''t'' をスケール変換してパラメータをふたつ減らすことができ、同様に V-型はパラメータをひとつ減らせる。つまりこれらの方程式では本当の意味での独立なパラメータはそれぞれ2つ、および3つである。

== 特異点 ==

パンルヴェ方程式が持ち得る特異点は次のようなものである。
* 動く極
* 無限遠点 &infin;
* 点 0 （III, V, VI-型）
* 点 1 （VI-型） 

パンルヴェ I-型では、特異点は動く二位の極か留数 0 の点になり、その解は複素平面上にそのような極を無限個持つ。''z''<sub>0</sub> に二位の極を持つ関数は、''z''<sub>0</sub> の近傍で収束するローラン展開
:<math>(z-z_0)^{-2}-\frac{z_0}{10}(z-z_0)^2-\frac{1}{6}(z-z_0)^3+h(z-z_0)^4+\frac{z_0^2}{300}(z-z_0)^6+\cdots</math>
をもつ（''h'' は適当な複素数）。極の場所は {{harvs|last=Boutroux|year1=1913|year2=1914}} に詳しく載っている。半径 ''R'' の球に含まれる極の数は、だいたい ''R''<sup>5/2</sup> の定数倍程度増加する。 

II-型では全ての特異点が（動く）一位の極である。

== {{anchors|パンルベ系の退化の系列}}パンルヴェ系の退化の系列 ==
パンルヴェ I から V まではパンルヴェ VI の退化した場合になっている。もう少し詳しくは、以下の図式の如くだが、この図式は対応するガウスの[[超幾何関数]]の退化の系列をも与えている。

{| style="text-align:center"
|
|
|
|
| III [[ベッセル関数|Bessel]]
|-
|
|
|
|<math>\nearrow</math>
|
|<math>\searrow</math>
|-
|VI [[超幾何関数|Gauss]]
|→
|V [[合流型超幾何関数|Kummer]]
|
|
|
|II [[エアリー関数|Airy]]
|→
|I None
|-
|
|
|
|<math>\searrow</math>
|
|<math>\nearrow</math>
|-
|
|
|
|
|IV [[エルミート-ウェーバー関数|Hermite-Weber]]
|}

== ハミルトン系 ==
パンルヴェ方程式は何れも[[ハミルトン系]]として表現することができる。

例:
:<math>q=y,\quad p=y'+y^2+t/2</math>
とおくと、パンルヴェ II 方程式
:<math>y'' =2y^3+ty+b-1/2</math>
はハミルトニアン
:<math>\displaystyle H=p(p-2q^2-t)/2 -bq</math>
に対するハミルトン系
:<math>q'=\frac{\partial H}{\partial p} = p-q^2-t/2</math>
:<math>p'=-\frac{\partial H}{\partial q} = 2pq+b</math>
に同値である。

== {{anchors|パンルベ系の対称性}}パンルヴェ系の対称性 ==
{{仮リンク|ベックルント変換|en|Bäcklund transformation}}は独立変数・従属変数を変換して、微分方程式を相似な微分方程式に変換するものだが、パンルヴェ方程式は何れもベックルント変換からなる離散群の作用を持ち、ベックルント変換によりパンルヴェ方程式の既知の解から別の新しい解を得ることができる。

=== {{anchors|パンルベ I の例}}パンルヴェ I の例 ===
パンルヴェ第 I 方程式 
:<math>y'' = 6y^2+t</math>
の解全体の成す集合には位数 5 の対称性を持つ変換 ''y'' &rarr; &zeta;<sup>3</sup>''y'', ''t'' &rarr; &zeta;''t'' が作用する（ここで &zeta; は 1 の5乗根）。この変換で不変な解が二つあり、ひとつは原点 0 に二位の極をもち、いま一つは原点 0 に三位の零点をもつ。

=== {{anchors|パンルベ II の例}}パンルヴェ II の例 ===
パンルヴェ II-型方程式
:<math>y'' = 2y^3+ty+b-1/2</math>
のハミルトニアンによる定式化
:<math>q=y,\quad p=y'+y^2+t/2</math>
において二種類のベックルント変換が
:<math>(q,p,b)\to (q+b/p,p,-b)</math>
および
:<math>(q,p,b)\to (-q, -p+2q^2+t,1-b)</math>
で与えられる。これらは共に位数 2 の変換でベックルント変換からなる無限二面体群（後述するように、これは実は A<sub>1</sub>-型のアフィンワイル群である）を生成する。''b'' = 1/2 ならば方程式は ''y'' = 0 を解に持つ。これにベックルント変換を施せば、
: ''y'' = 1/''t'', ''y'' = 2(''t''<sup>3</sup>&minus;2)/''t''(''t''<sup>3</sup>&minus;4), ...
のように有理関数の無限族が得られる。[[岡本和夫 (数学者)|岡本和夫]]は、各パンルヴェ方程式のパラメータ空間を[[半単純リー環]]の[[カルタン部分環]]に同一視することができ、そこでの[[アフィンワイル群]]の作用をパンルヴェ方程式のベックルント変換に持ち上げられることを発見した。P<sub>I</sub>, P<sub>II</sub>, P<sub>III</sub>, P<sub>IV</sub>, P<sub>V</sub>, P<sub>VI</sub> に対応するリー環はそれぞれ 0, A<sub>1</sub>, A<sub>1</sub>⊕A<sub>1</sub>, A<sub>2</sub>, A<sub>3</sub>, D<sub>4</sub> である。

== 他分野との関係 ==
求積可能な[[偏微分方程式]]系はすべてパンルヴェ方程式に帰着できる（{{harvs| last1=Ablowitz | first1=M. J. | last2=Clarkson | first2=P. A. | title=Solitons, nonlinear evolution equations and inverse scattering | publisher=[[Cambridge University Press]] | series=London Mathematical Society Lecture Note Series | isbn=978-0-521-38730-9 | id={{MathSciNet | id = 1149378}} | year=1991 | volume=149}}を見よ）。

自己双対[[ヤン＝ミルズ方程式]]はすべてパンルヴェ方程式に帰着される。

パンルヴェ方程式は、非対称単純排他過程、二次元[[イジング模型]]、{{仮リンク|トレイシー・ウィドム分布|en|Tracy–Widom distribution}}の定式化における[[ランダム行列|ランダム行列理論]]や、二次元の量子重力論などにも現れる。

== 参考文献 ==
*{{SpringerEOM|title=Painlevé-type equations|last=Ablowitz|first=M. |urlname=Painlevé-type_equations}}
*{{Citation | last1=Ablowitz | first1=M. J. | last2=Clarkson | first2=P. A. | title=Solitons, nonlinear evolution equations and inverse scattering | publisher=[[Cambridge University Press]] | series=London Mathematical Society Lecture Note Series | isbn=978-0-521-38730-9 | id={{MathSciNet | id = 1149378}} | year=1991 | volume=149}}
*{{citation|first=J.|last= Chazy |title=Sur les équations différentielles dont l'intégrale générale possede un coupure essentielle mobile|journal= C.R. Acad. Sci. |place=Paris|volume= 150 |year=1910|pages= 456–458}}
*{{citation|first=J.|last= Chazy |title=Sur les équations différentielles de troisième ordre et d'ordre supérieur dont l'intégrale générale a ses points critiques fixés|journal= Acta Math.|volume= 33 |year=1911|pages= 317–385|doi=10.1007/BF02393131}}
*{{dlmf|id=32|first=P. A. |last=Clarkson}}
*{{Citation | editor1-last=Conte | editor1-first=Robert | title=The Painlevé property | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=CRM Series in Mathematical Physics | isbn=978-0-387-98888-7 | id={{MathSciNet | id = 1713574}} | year=1999 | author=Robert Conte ed.}}
* Robert M. M. Conte:''The Painlevé Handbook'', Springer, {{ISBN2|978-9400796270}}, (2014). 
* Robert M. M. Conte:''The Painlevé Handbook'', Springer; 2nd ed, ISBN 978-3030533397, (2022).
* {{citation | last=Davis|first= Harold T. | title=Introduction to Nonlinear Integral and Differential Equations | location=New York | publisher=Dover | year=1962 | id=ISBN 0-486-60971-5}} ''See sections 7.3, chapter 8, and the Appendices''
*{{Citation | author1-link=Athanassios S. Fokas | last1=Fokas | first1=Athanassios S. | last2=Its | first2=Alexander R. | last3=Kapaev | first3=Andrei A. | last4=Novokshenov | first4=Victor Yu. | title=Painlevé transcendents: The Riemann–Hilbert approach | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | series=Mathematical Surveys and Monographs | isbn=978-0-8218-3651-4 | id={{MathSciNet | id = 2264522}} | year=2006 | volume=128}}
*{{citation|first=B. |last=Gambier |title=Sur les équations différentielles du second ordre et du premier degré dont l'intégrale générale est à points critique fixés|journal= Acta. Math.|volume= 33 |year=1910|pages= 1–55|doi=10.1007/BF02393211}}.
*{{Citation | last1=Gromak | first1=Valerii I. | last2=Laine | first2=Ilpo | last3=Shimomura | first3=Shun | title=Painlevé differential equations in the complex plane | publisher=Walter de Gruyter & Co. | location=Berlin | series=de Gruyter Studies in Mathematics | isbn=978-3-11-017379-6 | id={{MathSciNet | id = 1960811}} | year=2002 | volume=28}}
* Martin A. Guest , Claus Hertling: ''Painlevé III: A Case Study in the Geometry of Meromorphic Connections'', Springer,  LNM, vol.2198, ISBN 9783319665269, (2017).
* {{citation | last=Ince|first= Edward L. | title=Ordinary Differential Equations | publisher=Dover | year=1956 | id=ISBN 0486603490 }}
* Alexander R. Its, Victor Yu. Novokshenov: ''The Isomonodromic Deformation Method in the Theory of Painlevé Equations'', Springer, LNM 1191, ISBN 9783540398233, (1986).
*{{Citation | last1=Iwasaki | first1=Katsunori | last2=Kimura | first2=Hironobu | last3=Shimomura | first3=Shun | last4=Yoshida | first4=Masaaki | title=From Gauss to Painlevé | publisher=Friedr. Vieweg & Sohn | location=Braunschweig | series=Aspects of Mathematics, E16 | isbn=978-3-528-06355-9 | id={{MathSciNet | id = 1118604}} | year=1991}}
* Katsunori Iwasaki, Hironobu Kimura, Shun Shimomura, and Masaaki Yoshida: ''From Gauss to Painlevé: A Modern Theory of Special Functions'', Springer, ISBN 978-3-322-90163-7 (1991).
*{{Citation | last1=Nishioka | first1=Keiji | title=A note on the transcendency of Painlevé's first transcendent | id={{MathSciNet | id = 931951}} | year=1988 | journal=Nagoya Mathematical Journal | issn=0027-7630 | volume=109 | pages=63–67}}
*{{Citation | last1=Noumi | first1=Masatoshi | title=Painlevé equations through symmetry | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | series=Translations of Mathematical Monographs | isbn=978-0-8218-3221-9 | id={{MathSciNet | id = 2044201}} | year=2004 | volume=223}}
*{{Citation | last1=Noumi | first1=Masatoshi | last2=Yamada | first2=Yasuhiko | title=Symmetries in Painlevé equations  | id={{MathSciNet | id = 1816984}} | year=2004 | journal=Sugaku Expositions | issn=0898-9583 | volume=17 | issue=2 | pages=203–218}}
*{{citation|first=P.|last= Painlevé |title=Memoire sur les équations différentielles dont l'intégrale générale est uniforme|journal= Bull. Soc. Math. Phys. France |volume=28 |year=1900|pages= 201–261}}
*{{citation|first=P.|last= Painlevé |title= Sur les équations différentielles du second ordre et d'ordre supérieur dont l'intégrale générale est uniforme|journal= Acta Math. |volume=25 |year=1902|pages= 1–85|doi=10.1007/BF02419020}}
*{{SpringerEOM|title=Painlevé equation|last= Rozov|first=N.Kh.|urlname=Painlevé_equation}}
*{{Citation | last1=Umemura | first1=Hiroshi | title=On the irreducibility of Painlevé differential equations | id={{MathSciNet | id = 944888}} | year=1989 | journal=Sugaku Expositions | volume=2 | issue=2 | pages=231–252}}
*{{Citation | last1=Umemura | first1=Hiroshi | title=Painlevé equations and classical functions  | id={{MathSciNet | id = 1365704}} | year=1998 | journal=Sugaku Expositions | issn=0898-9583 | volume=11 | issue=1 | pages=77–100}}
和書
* 岡本和夫 (1985)：「パンルヴェ方程式序説」、上智大学数学講究録、19. 
* 野海正俊 (2000)：「パンルヴェ方程式-対称性からの入門」、すうがくの風景 4、朝倉書店、ISBN 978-4-254-11554-3.
* 野海正俊："パンルヴェ方程式とは？：対称性の観点から"；上野健爾、志賀浩二、砂田利一（編）：『現代数学の展望』、日本評論社、ISBN 4-535-78332-2 (2001年8月10日)、頁131－149。
* 岡本和夫：「パンルヴェ方程式」、岩波書店、ISBN 978-4-00-005836-0 (2009年9月25日).
* 眞野智行：「平坦構造と複素鏡映群・パンルヴェ方程式」、[[森北出版]]、ISBN 978-4-627-08381-3（2022年12月）.

== 外部リンク ==
*Kanehisa Takasaki [http://www.math.h.kyoto-u.ac.jp/~takasaki/soliton-lab/chron/painleve.html Painlevé Equations]
* {{mathworld|urlname=PainleveTranscendents|title=Painleve Transcendents}}
* {{mathworld|urlname=PainleveProperty|title=Painleve Property}}
* {{Cite journal|和書|author=岡本和夫 |year=1980 |url=https://doi.org/10.11429/sugaku1947.32.30 |title=Painlevéの方程式 |journal=数学 |ISSN=0039470X |publisher=日本数学会 |volume=32 |issue=1 |pages=30-43 |doi=10.11429/sugaku1947.32.30 |CRID=1390001205067007872 |ref=harv}}
* {{Cite journal|和書|author=岡本和夫 |year=1997 |url=https://doi.org/10.11429/emath1996.1997.spring-meeting_10 |title=パンルヴェ方程式の数理 |journal=総合講演・企画特別講演アブストラクト |ISSN=1884-3972 |publisher=日本数学会 |volume=1997 |issue=Spring-Meeting |pages=10-16 |doi=10.11429/emath1996.1997.spring-meeting_10 |CRID=1390001205343230208 |ref=harv}}
* {{Cite journal|和書|author=梅村浩 |year=1999 |url=https://doi.org/10.11429/sugaku1947.51.395 |title=Painlevé方程式の100年 |journal=数学 |ISSN=0039470X |publisher=日本数学会 |volume=51 |issue=4 |pages=395-420 |doi=10.11429/sugaku1947.51.395 |CRID=1390001205066420480 |ref=harv}}

== 関連項目 ==
* ガルニエ系
* [[複素微分方程式]]
* [[超幾何微分方程式]]

{{DEFAULTSORT:はんるへほうていしき}}
[[Category:特殊関数]]
[[Category:常微分方程式]]
[[Category:ポール・パンルヴェ]]
[[Category:人名を冠した数式]]
[[Category:数学に関する記事]]