パーセバルの定理のソースを表示

'''パーセバルの定理'''（パーセバルのていり、{{lang-en-short|Parseval's theorem}}）<ref>Parseval des Chênes, Marc-Antoine "Mémoire sur les séries et sur l'intégration complète d'une équation aux differences partielle linéaire du second ordre, à coefficiens constans" presented before the Académie des Sciences (Paris) on 5 April 1799. This article was published in ''Mémoires présentés à l’Institut des Sciences, Lettres et Arts, par divers savans, et lus dans ses assemblées. Sciences, mathématiques et physiques. (Savans étrangers.)'', vol. 1, pages 638-648 (1806).</ref><ref>{{cite book
 | title = 通信システム工学
 | author = 安達文幸
 | publisher = 朝倉書店
 | year = 2007
 | isbn = 978-4-254-22878-6
 | page = 8
 }}では「パーシバルの定理」と記載されている。</ref>とは、[[フーリエ変換]]が[[ユニタリ作用素|ユニタリ]]であるという結果を一般に指す。大まかに言えば、関数の平方の総和（あるいは積分）が、そのフーリエ変換の平方の総和（あるいは積分）と等しいということである。フランスの数学者{{仮リンク|マルク＝アントワーヌ・パーシバル|en|Marc-Antoine Parseval}}の[[1799年]]の[[級数]]に関する定理が起源であり、この定理は後に[[フーリエ級数]]に応用されるようになった。レイリー卿[[ジョン・ウィリアム・ストラット (第3代レイリー男爵)|ジョン・ウィリアム・ストラット]]に因んで、'''レイリーのエネルギー定理'''（{{En|Rayleigh's energy theorem, Rayleigh's Identity}}）とも呼ばれる<ref>Rayleigh, J.W.S. (1889) "On the character of the complete radiation at a given temperature," ''Philosophical Magazine'', vol. 27, pages 460–469.</ref>。

また、特に[[物理学]]や[[工学]]分野では、''任意の''フーリエ変換のユニタリ性を指してパーセバルの定理と呼ぶことが多いが、この性質の最も一般的な形は正確には[[プランシュレルの定理]]と呼ばれる<ref>Plancherel, Michel (1910) "Contribution a l'etude de la representation d'une fonction arbitraire par les integrales définies," ''Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo'', vol. 30, pages 298–335.</ref>。

== パーセバルの定理の主張 ==
{{math|''A''(''x'')}} と {{math|''B''(''x'')}} を（[[ルベーグ測度]]に関して）閉区間[0,2π]で[[二乗可積分]]な {{math|'''R'''}} 上の周期 {{math|2&pi;}} の複素数値関数とする。それらの[[フーリエ級数]]をそれぞれ
:<math>A(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty a_ne^{inx},</math>
:<math>B(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty b_ne^{inx}</math>
とする。すると、以下が成り立つ。
:<math>\sum_{n=-\infty}^\infty a_n\overline{b_n} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi A(x)\overline{B(x)} \, dx.</math>

ここで、{{mvar|i}} は[[虚数単位]]、上付きの横棒は[[複素共役]]を表す。

パーセバル自身は実数値関数のみを考えており、定理も自明であるとして証明抜きで提示しただけだった。この定理には様々な重要な特殊ケースがある。まず、''A'' = ''B'' の場合、以下の式が得られる。

{{Indent|<math>\sum_{n=-\infty}^\infty |a_n|^2 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi |A(x)|^2 dx</math>}}

ここからフーリエ変換のユニタリ性が導き出される。

次に、実数値関数 ''A'' と ''B'' のフーリエ級数の場合、<math>a_0, b_0</math> は実数で、<math>a_{-n} = \overline{a_n}, b_{-n} =\overline{b_n}</math> という特殊ケースになる。この場合、次が成り立つ。

{{Indent|<math>a_0 b_0 + 2 \Re \sum_{n=1}^\infty a_n\overline{b_n} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi A(x) B(x)dx</math>}}

ここで、<math>\Re</math> は実部を意味する。<math>a_n</math> と <math>b_n</math> を <math>a_n / 2 - i b_n / 2</math> とする場合もある。

より一般に、可換[[位相群]] {{mvar|G}} とその[[ポントリャーギン双対]] <math>\widehat{G}</math> が与えられたとき、パーシヴァルの定理は、ポントリャーギン・フーリエ変換がヒルベルト空間 {{math|''L''<sup>2</sup>(''G'')}} と <math>L^2(\widehat{G})</math> の間のユニタリ作用素であることを言っている（積分には2つの群上の適切にスケールされた[[ハール測度]]を用いる）。{{mvar|G}} が単位円周 {{math|'''T'''}} のとき、<math>\widehat{G}</math> は整数 {{math|'''Z'''}} であり、上で議論された場合である。{{mvar|G}} が実数直線 {{math|'''R'''}} のとき、<math>\widehat{G}</math> も {{math|'''R'''}} であり、ユニタリ変換は実数直線上の[[フーリエ変換]]である。{{mvar|G}} が巡回群 {{math|'''Z'''<sub>''n''</sub>}} のときも自己双対であり、ポントリャーギン・フーリエ変換は応用分野でのいわゆる[[離散フーリエ変換]]である。

== 工学や物理学で用いられる記法 ==
[[物理学]]や[[工学]]では、パーセバルの定理は以下のように記述されることが多い。
:<math>\int_{-\infty}^\infty | x(t) |^2 \, dt   =  \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty | X(\omega) |^2 \, d\omega  =  \int_{-\infty}^\infty | X(2\pi f) |^2 \, df.</math>
ここで、<math>X(\omega) = \mathcal{F} _\omega\{ x(t) \}</math> は {{math|''x''(''t'')}} の（正規化されたユニタリ形式での）[[連続フーリエ変換]]を表し、{{math|''ω'' {{=}} 2{{pi}}''f''}} はラジアンパー秒の周波数である。

この形の定理は、[[波形]] ''x''(''t'') が持つ全{{仮リンク|エネルギー (信号処理)|en|Energy (signal processing)|label=エネルギー}}の全時間 ''t'' についての総和と、その波形のエネルギーのフーリエ変換 ''X''(''f'') の全周波数成分 ''f'' についての総和とが等しいことを意味する。

{{仮リンク|離散時間|en|Discrete time}}[[信号 (電気工学)|信号]]の場合、この定理は次のようになる。

{{Indent|<math> \sum_{n=-\infty}^{\infty} | x[n] |^2  =  \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} | X(e^{j\phi}) |^2 \,d\phi.</math>}}

ここで、''X'' は ''x'' の[[離散時間フーリエ変換]] (DTFT) であり、&phi; は ''x'' の[[角周波数]]（標本当たりの[[ラジアン]]）を意味する。

また、[[離散フーリエ変換]] (DFT) では次のようになる。

{{Indent|<math> \sum_{n=0}^{N-1} | x[n] |^2  =   \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} | X[k] |^2 .</math>}}

ここで、''X''[''k''] は ''x''[''n''] の DFT であり、どちらも長さ ''N'' である。

== 関連項目 ==
*[[マルク＝アントワーヌ・パーセバル]]
*[[パーセヴァルの等式]]
*[[プランシュレルの定理]]
*[[ウィーナー＝ヒンチンの定理]]
*[[ベッセルの不等式]]

== 脚注 ==
{{reflist}}

== 参考文献 ==
* [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Mathematicians/Parseval.html Parseval], ''MacTutor History of Mathematics archive''.
* George B. Arfken and Hans J. Weber, ''Mathematical Methods for Physicists'' (Harcourt: San Diego, 2001).
* Hubert Kennedy, ''[http://home.att.net/~clairnorman/Eight_Mathematical.pdf Eight Mathematical Biographies]'' (Peremptory Publications: San Francisco, 2002).
* Alan V. Oppenheim and Ronald W. Schafer, ''Discrete-Time Signal Processing'' 2nd Edition ([[:en:Prentice Hall|Prentice Hall]]:  Upper Saddle River, NJ, 1999) p 60.
* William McC. Siebert, ''Circuits, Signals, and Systems'' ([[MIT Press]]: [[ケンブリッジ (マサチューセッツ州)|Cambridge, MA]], 1986), pp. 410-411.
* David W. Kammler, ''A First Course in Fourier Analysis'' (Prentice-Hall, Inc., Upper Saddle River, NJ, 2000) p. 74.

== 外部リンク ==
* [http://mathworld.wolfram.com/ParsevalsTheorem.html Parseval's Theorem] on Mathworld
*映画『[[グッド・ウィル・ハンティング/旅立ち]]』で、ランボー・ジェラルドの登場シーンで彼が黒板に書き終えたのがパーセバルの定理であった。 [http://www.maplesoft.com/applications/app_center_view.aspx?AID=77]

{{DEFAULTSORT:はせはるのていり}}

[[Category:フーリエ解析の定理]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:数学のエポニム]]