パーセヴァルの等式のソースを表示

[[数学]]の[[解析学]]の分野において、[[マルク＝アントワーヌ・パーセバル]]の名にちなむ'''パーセヴァルの等式'''（パーセヴァルのとうしき、{{Lang-en-short|Parseval's identity}}）は、函数の[[フーリエ級数]]の[[発散級数|総和可能性]]に関する基本的な結果である。幾何学的には、[[内積空間]]に対する[[ピタゴラスの定理]]と見なされる。

大雑把に言うと、この等式では、函数のフーリエ係数の二乗の和が、その函数の二乗の積分と等しいことが示される。すなわち

:<math>\sum_{n=-\infty}^\infty |c_n|^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi |f(x)|^2 \, dx</math>

が成立する。ここで ''c''<sub>''n''</sub> は ''&fnof;'' のフーリエ係数で、次式で与えられる：

:<math>c_n = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \mathrm{e}^{-inx} \, dx.</math>

正確には、この結果は ''&fnof;'' が[[自乗可積分函数|自乗可積分]]あるいはより一般に [[Lp空間|''L''<sup>2</sup>[&minus;&pi;,&pi;]]] に属する場合に成立する。類似の結果として、函数の[[フーリエ変換]]の二乗の積分が、その函数の二乗の積分と等しいという[[プランシュレルの定理]]がある。すなわち、1 次元の場合は、{{nowrap|''&fnof;'' &isin; ''L''<sup>2</sup>('''R''')}} に対して次の等式が成立する：

:<math>\int_{-\infty}^\infty |\hat{f}(\xi)|^2\,d\xi = \int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2\, dx.</math>

== ピタゴラスの定理の一般化 ==

以下に述べるように、この等式はより一般の[[可分空間|可分]][[ヒルベルト空間]]における[[ピタゴラスの定理]]と見なされる。内積〈•,•〉を備えるヒルベルト空間を ''H'' とし、(''e''<sub>''n''</sub>) を ''H'' の[[正規直交基底]]とする。すなわち ''e''<sub>''n''</sub> の[[線型包]]は ''H'' において[[稠密集合|稠密]]であり、''e''<sub>''n''</sub> は次を満たす意味で互いに正規直交である：

:<math>\langle e_m, e_n\rangle = \begin{cases}1&\mbox{if}\ m=n\\
0&\mbox{if}\ m \not= n.\end{cases}</math>

このとき、パーセヴァルの等式によると、すべての ''x''&nbsp;&isin;&nbsp;''H'' に対して次が成立する。

:<math>\sum_n |\langle x, e_n\rangle|^2 = \|x\|^2.</math>

この等式は、正規直交基底に対するベクトルの各成分の二乗の和が、そのベクトルの長さの二乗に等しいという点でピタゴラスの定理と直接的に関係する。''H'' をヒルベルト空間 ''L''<sup>2</sup>[&minus;&pi;,&pi;] とし、{{nowrap|''n'' &isin; '''Z'''}} に対して ''e''<sub>''n''</sub>&nbsp;=&nbsp;e<sup>&minus;i''nx''</sup> とすれば、パーセヴァルの等式のフーリエ級数の場合を導くことが出来る。

より一般に、可分ヒルベルト空間だけでなく、任意の[[内積空間]]においてパーセヴァルの等式は成立する。したがって ''H'' を内積空間と仮定する。''B'' を ''H'' の[[正規直交基底]]とする。すなわち、''B'' の線型包が ''H'' において稠密となるという意味で total な正規直交集合とする。このとき、次が成り立つ。

:<math>\|x\|^2=\langle x,x\rangle=\sum_{v\in B}\left|\langle x,v\rangle\right|^2.</math>

''B'' が total であるという仮定は、等式が成立するために必要である。''B'' が total でないなら、パーセヴァルの等式の等号が {{nowrap|by ≥}} に変わった[[ベッセルの不等式]]が成り立つ。このようなパーセヴァルの等式の一般の形は、[[リース＝フィッシャーの定理]]を利用することで証明できる。

== 関連項目 ==
* [[マルク＝アントワーヌ・パーセバル]]
* [[パーセバルの定理|パーセヴァルの定理]]

== 参考文献 ==
{{参照方法|date=2023年10月}}
* {{SpringerEOM|title=Parseval equality|urlname=Parseval_equality}}
* {{citation|last1=Johnson|first1=Lee W.|first2=R. Dean|last2=Riess|title=Numerical Analysis|year=1982|edition=2nd|publisher=Addison-Wesley|location=Reading, Mass.|isbn=0-201-10392-3}}.
* {{citation|last=Titchmarsh|first=E|authorlink=:en:Edward Charles Titchmarsh|title=The Theory of Functions|year=1939|edition=2nd|publisher=Oxford University Press}}.
* {{citation|title=Trigonometric series|first=Antoni|last=Zygmund|authorlink=:en:Antoni Zygmund|publisher=[[Cambridge University Press]]|year=1968|publication-date=1988|isbn=978-0-521-35885-9|edition=2nd}}.

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