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{{要改訳}}
'''ヒッチン汎函数'''（{{lang-en-short|Hitchin fuctional}}）は、イギリスの数学者の{{仮リンク|ナイジェル・ヒッチン|en|Nigel Hitchin}}が導入した概念で、[[弦理論]]にも応用を持つ。 {{harvtxt|Hitchin|2000}} と {{harvtxt|Hitchin|2001}} がヒッチン汎函数の元々の論文である。

ヒッチンの導入した[[一般化された複素構造]]は、有用に[[数理物理学|数理物理]]へ応用される。そのときに中心となる考え方が、ヒッチン汎函数である。

== 定義 ==
6次元多様体に対しての定義は、以下の通りである。ヒッチンの論文の定義はより抽象的で、より一般的である<ref>明確にするために、ヒッチン汎函数の説明の前に定義を行う。</ref>。

<math>M</math> を自明な[[標準バンドル]]を持つ[[コンパクト空間|コンパクト]]な[[向き付け可能性|向き付けられた]]な 6次元[[多様体]]とすると、'''ヒッチン汎函数''' は、次の式の[[微分形式| 3-形式]]上の[[汎函数]]と定義する。
: <math>\Phi(\Omega) = \int_M \Omega \wedge * \Omega\ .</math>

ここに <math>\Omega</math> は 3-形式であり、 * は[[ホッジスター]]作用素を表す。

== 性質 ==
* ヒッチン汎函数は、4次元多様体の[[ヤン-ミルズ理論|ヤン・ミルズ]]汎函数の '''6次元での類似物'''である。

* ヒッチン汎函数は、明らかに向きを保つ[[微分同相写像]][[群 (数学)|群]]の[[群作用|作用]]の下に[[不変量|不変]]である。

* '''定理.''' <math>M</math> を3次元の[[複素多様体]] で、<math>\Omega</math> をゼロにならない[[正則関数|正則]]な 3-形式の実部としよう。すると、 <math>\Omega</math> は[[コホモロジー類]] <math>[\Omega] \in H^3(M,R)</math> へ限定した <math>\Phi</math> の[[臨界点 (数学)|臨界点]]となる。逆に <math>\Omega</math> が与えられたコホモロジー類の中の汎函数 <math>\Phi</math> の臨界点で、<math>\Omega \wedge * \Omega < 0</math>　とすると、<math>\Omega</math> は複素多様体の構造を'''定義'''し、<math>\Omega</math> は <math>M</math> の上のゼロにならない正則 3-形式の実部となる。

:この定理の証明は、ヒッチンの論文 {{harvs|txt|last=Hitchin|year=2000}} と{{harvs|txt|last=Hitchin|year=2001}} の中に比較的ストレートに書かれている。この定理の素晴らしいところは、逆のステートメントが成り立つことである：もし完全形式 <math>\Phi(\Omega)</math> が決定していると、可能な複素構造の見つける臨界点を探すことで、複素構造を決定する 0 にならない正則 3-形式が一意に決まることである。

== 安定な（微分）形式 ==
作用汎函数は、しばしば <math>M</math> の上の幾何学構造を決定し<ref>幾何学構造とは、例えば、[[複素多様体|複素構造]]や、[[シンプレクティック多様体|シンプレクティック構造]]や、''G''<sub>2</sub> ホロノミー や Spin(7) ホロノミーなどのことを言う。</ref>、幾何学構造はある可積分条件に従う <math>M</math> 上の特別な微分形式の存在によって特徴付けられる。 

もし m-形式 <math>\omega</math> が局所座標で記述されるとし、<ref>一般に局所座標は (p,q) で表すので微分形式の次数を m とした。</ref>
:<math>\omega=dp_1\wedge dq_1+\cdots+dp_m\wedge dq_m</math>
さらに
:<math>d\omega=0</math>
とすると、<math>\omega</math> は[[シンプレクティック多様体|シンプレクティック構造]]を決定する。

p-形式 <math>\omega\in\Omega^p(M,\mathbb{R})</math> が安定とは、n = dim(M) としたとき、この微分形式が局所 <math>GL(n,\mathbb{R})</math> 作用の開軌道の中にある場合、つまり、小さな摂動 <math>\omega\mapsto\omega+\delta\omega</math> は、局所 <math>GL(n,\mathbb{R})</math> 作用により元に戻せる場合を言う。従って、任意の 1-形式は、（定数なので）どこでもゼロにならないので安定で、2-形式 (もしくは p が偶数のときの p-形式) の安定性とは、非退化と同値である。

では、p = 3 の場合にはどうなるのか。 大きな n に対しては、3-形式は難しくなる。理由は、<math>\wedge^3(\mathbb{R}^n)</math>, <math>n^3</math>, の次元の増加の仕方が、<math>GL(n,\mathbb{R})</math>, <math>n^2</math> の次元の増加のしかたよりも早いからである。しかし、非常にまれな例外がある。つまり <math>n = 6</math> の場合で、その場合は dim <math>\wedge^3(\mathbb{R}^6)=20</math> であり、dim <math>GL(6,\mathbb{R})=36</math> である。次元 6 での安定な実 3-形式を <math>\rho</math> とすると、<math>\rho</math> の <math>GL(6,\mathbb{R})</math> の下でのスタビライザーは次元 36 - 20 = 16 であり、実際に、 <math>SL(3,\mathbb{R})\times SL(3,\mathbb{R})</math> もしくは <math>SL(3,\mathbb{C})\cap SL(3,\mathbb{C})</math> のいずれかになる。 

<math>SL(3,\mathbb{C})\cap SL(3,\mathbb{C})</math> の場合に焦点を絞り、<math>\rho</math> が<math>SL(3,\mathbb{C})\cap SL(3,\mathbb{C})</math> 内にスタビライザーを持つとすると、局所座標では次のように書くことができる：
:<math>\rho=\frac{1}{2}(\zeta_1\wedge\zeta_2\wedge\zeta_3+\bar{\zeta_1}\wedge\bar{\zeta_2}\wedge\bar{\zeta_3})</math>
ここに、<math>\zeta_1=e_1+ie_2,\zeta_2=e_3+ie_4,\zeta_3=e_5+ie_6</math> であり、<math>e_i</math> は <math>T^*M</math> の基底である。従って、<math>\zeta_i</math> は <math>M</math> 上の[[概複素構造]]を決定する。さらに局所座標 <math>(z_1,z_2,z_3)</math> が存在して <math>\zeta_i=dz_i</math> と満たすとすると、<math>\zeta_i</math> は、さいわいにも <math>M</math> 上の[[複素多様体|複素構造]]を決定する。

安定な形式 <math>\rho\in\Omega^3(M,\mathbb{R})</math>が与えられると：
:<math>\rho=\frac{1}{2}(\zeta_1\wedge\zeta_2\wedge\zeta_3+\bar{\zeta_1}\wedge\bar{\zeta_2}\wedge\bar{\zeta_3})</math>
と取ることができ、もうひとつ別な実 3-形式
:<math>\tilde{\rho}(\rho)=\frac{1}{2}(\zeta_1\wedge\zeta_2\wedge\zeta_3-\bar{\zeta_1}\wedge\bar{\zeta_2}\wedge\bar{\zeta_3})</math>
を取ることができる。

そうすると <math>\Omega=\rho+i\tilde{\rho}(\rho)</math> は <math>\rho</math> により決定される概複素構造の中の正則な 3-形式となる。さらに、複素構造となるためには、ちょうど <math>d\Omega=0</math>、すなわち、<math>d\rho=0</math> であり、かつ、<math>d\tilde{\rho}(\rho)=0</math> の場合である. この <math>\Omega</math> は'''ヒッチン汎函数'''の定義での 3-形式 <math>\Omega</math> に一致する。これらの考えは、[[一般化された複素構造]]を導くこととなった。

== 弦理論での使用 ==
ヒッチン汎函数は弦理論の多くの分野で用いられる。例えば、[[対合]] <math>\nu</math>を使った結果できる射影 <math>\kappa</math> を持つ10-次元弦理論の[[コンパクト化 (物理学)|コンパクト化]]である。この場合には、<math>M</math> は内部の 6 (実)次元[[カラビ・ヤウ空間|カラビ-ヤウ空間]]である。 この複素化された[[ケーラー多様体]]の計量は

: <math>g_{ij} = \tau \text{im} \int \tau i^*(\nu \cdot \kappa \tau).</math>

で与えられる。ポテンシャル函数は汎函数 <math>V[J] = \int J \wedge J \wedge J</math> で、ここに J は[[概複素構造]]を決定する. 両方ともヒッチンの汎函数である。{{harvtxt|Grimm|Louis|2004}}

弦理論への応用として、有名な OSV 予想 {{harvtxt|Ooguri|Strominger|Vafa|2004}} では、ヒッチン汎函数を位相的弦と 4-次元ブラックホールのエントロピーを関連付けるために使用された。同じようなテクニックを <math>G_2</math> ホロノミーの中で使い、{{harvtxt|Dijkgraaf|Gukov|Neitake|Vafa|2004}} では、[[位相的弦理論#位相的M-理論|位相的なM-理論]]が議論されているし、<math>Spin(7)</math> ホロノミーでは、位相的 F-理論が議論できるかもしれない。

さらに最近、[[エドワード・ウィッテン]]は、[[6次元 (2,0)-超共形場理論]]と呼ばれる 6次元の中にミステリアスな超共形場理論があることを主張している。{{harvtxt|Witten|2007}} ヒッチン汎函数は、それへひとつの基礎を与えている。
<!--== Use in string theory ==
Hitchin functionals arise in many areas of string theory. An example is the [[compactification (physics)|compactifications]] of the 10-dimensional string with a subsequent [[orientifold]] projection <math>\kappa</math> using an [[Involution (mathematics)|involution]] <math>\nu</math>. In this case, <math>M</math> is the internal 6 (real) dimensional [[Calabi-Yau space]]. The couplings to the complexified [[Kähler manifold|Kähler coordinates]] <math>\tau</math> is given by

: <math>g_{ij} = \tau \text{im} \int \tau i^*(\nu \cdot \kappa \tau).</math>

The potential function is the functional <math>V[J] = \int J \wedge J \wedge J</math>, where J is the [[almost complex structure]]. Both are Hitchin functionals.{{harvtxt|Grimm|Louis|2004}}

As application to string theory, the famous OSV conjecture {{harvtxt|Ooguri|Strominger|Vafa|2004}} used ''Hitchin functional'' in order to relate topological string to 4-dimensional black hole entropy. Using similar technique in the <math>G_2</math> holonomy {{harvtxt|Dijkgraaf|Gukov|Neitake|Vafa|2004}} argued about [[Topological string theory#Topological M-theory|topological M-theory]] and in the <math>Spin(7)</math> holonomy topological F-theory might be argued.

More recently, [[E. Witten]] claimed the mysterious superconformal field theory in six dimensions, called [[6D (2,0) superconformal field theory]] {{harvtxt|Witten|2007}}. Hitchin functional gives one of the bases of it.-->

== 注 ==
<references/>

== 参考文献 ==
*{{cite arXiv
 |first=Nigel |last=Hitchin |authorlink=Nigel Hitchin
 |date=2000
 |title=The geometry of three-forms in six and seven dimensions
 |arxiv=math/0010054
}}
*{{cite arXiv
 |first=Nigel |last=Hitchin |authorlink=Nigel Hitchin
 |date=2001
 |title=Stable forms and special metric
 |arxiv=math/0107101
}}
*{{cite journal
 |last1=Grimm |first1=Thomas
 |last2=Louis |first2=Jan
 |date=2005
 |title=The effective action of Type IIA Calabi-Yau orientifolds
 |journal=[[Nuclear Physics B]]
 |volume=718 |issue=1–2 |pages=153–202
 |arxiv=hep-th/0412277
 |bibcode=2005NuPhB.718..153G
 |doi=10.1016/j.nuclphysb.2005.04.007
}}
*{{cite arXiv
 |last1=Dijikgraaf |first1=Robert
 |last2=Gukov |first2=Sergei
 |last3=Neitzke  |first3=Andrew
 |last4=Vafa |first4=Cumrun
 |date=2004
 |title=Topological M-theory as Unification of Form Theories of Gravity
 |arxiv=hep-th/0411073
}}
*{{cite journal
 |last1=Ooguri |first1=Hiroshi
 |last2=Strominger |first2=Andrew 
 |last3=Vafa |first3=Cumran 
 |date=2004
 |title=Black Hole Attractors and the Topological String
 |journal=[[Physical Review D]]
 |volume=70 |issue=10 |pages=6007
 |arxiv=hep-th/0405146
 |bibcode=2004PhRvD..70j6007O
 |doi= 10.1103/PhysRevD.70.106007
}}
*{{cite arXiv
 |last=Witten |first=Edward |authorlink=Edward Witten
 |date=2007
 |title=Conformal Field Theory In Four And Six Dimensions
 |arxiv=0712.0157
 |class=math.RT
}}

{{DEFAULTSORT:ひつちんはんかんすう}}
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