ヒルベルト多項式のソースを表示

[[可換環論]]における[[次数付き多元環|次数環]]あるいは[[次数付き加群|次数加群]]の'''ヒルベルト多項式'''（ヒルベルトたこうしき、{{lang-en-short|''Hilbert polynomial''}}）は、その（次数環あるいは次数加群の）斉次成分の次元の増加率を測る一変数[[多項式]]である。次数付き可換環 ''S'' のヒルベルト多項式の次数および最高次係数は、[[射影多様体|射影代数多様体]] [[射影構成|Proj&thinsp;''S'']] の次数および次元に関係がある。

== 定義 ==
[[可換体|体]] ''K'' 上の有限次元空間 ''S''<sub>1</sub> から生成される[[次数付き多元環]] 

:<math>S = \bigoplus S_n\ </math>

の'''ヒルベルト多項式'''とは、すべての（しかし有限個の）正の整数 ''n'' に対して 

:''H''<sub>''S''</sub>(''n'') = dim<sub>''k''</sub> ''S''<sub>''n''</sub> 

を満たす、ただひとつの有理係数[[多項式]] ''H''<sub>''S''</sub>(''t'') のことである。つまり、すべての（しかし有限個の）自然数 ''n'' に対する値が（ふつうはそういう風には言わないが、[[多項式補間]]という形で）多項式によって与えられるような場合の「ヒルベルト函数」という意味で、これを「ヒルベルト多項式」と呼ぶ。

次元の値は整数であるから、ヒルベルト多項式は[[整数値多項式]] {{lang|en|(numerical polynomial)}} である。しかし、ヒルベルト多項式が整係数多項式となるのは極めて稀である {{harv|Schenck|2003|pp=41}}。

同様に有限生成次数加群 ''M'' のヒルベルト多項式 ''H''<sub>''M''</sub> も（少なくとも ''M'' が正の次数付けを持つならば）定義することができる。

'''P'''<sup>''n''</sup> 内の[[射影多様体]] ''V'' のヒルベルト多項式は、''V'' の[[斉次座標環]]のヒルベルト多項式として定義される。

== 例 ==
* 各 ''x''<sub>''i''</sub> を斉一次の変数とする ''k''+1 変数多項式環 ''S'' = ''K''[''x''<sub>0</sub>, ''x''<sub>1</sub>, &hellip;, ''x''<sub>k</sub>] のヒルベルト多項式 ''H''<sub>''S''</sub>(''t'') は[[二項係数]]<div style="margin: 1ex auto 1ex 2em"><math> H_S(t) = {{t+k}\choose{k}} = \frac{(t+1)\ldots(t+k)}{k!}</math></div>である。
* ''M'' が有限次元次数加群ならば、その十分大きな次数の斉次成分はすべて 0 であり、ゆえに ''M'' のヒルベルト多項式は恒等的に 0 である。

== 一般化 ==
環 ''S'' が次数 1 の成分で生成されない場合にも、''S'' 上の有限生成加群 ''M'' のヒルベルト函数はまだ[[well-defined|定義可能]]だが、もはや多項式であるとは限らない。''M'' の[[ヒルベルト–ポアンカレ級数]]は ''M'' の次数付き成分の次元の[[母函数]]として定義される。''M'' がよい性質を持つならば、ヒルベルト-ポアンカレ級数は[[有理函数]]となる {{harv|Eisenbud|1995|loc=Chapter 10}}。

== 参考文献 ==
* {{Citation| last=Eisenbud | first=David | author-link=David Eisenbud | year=1995 | title=Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry | volume=150 | series=Graduate Texts in Mathematics | place=New York | publisher=Springer-Verlag |mr=1322960 | isbn=0-387-94268-8}}.
* {{Citation| last=Schenck | first=Hal | title=Computational Algebraic Geometry | publisher=[[Cambridge University Press]] | location=[[Cambridge]] | isbn=978-0-521-53650-9 |mr=011360 | year=2003}}
* {{Citation| last=Stanley | first=Richard | author-link=Richard P. Stanley | year=1978 | title=Hilbert functions of graded algebras | periodical=Advances in Math. | volume=28 | issue=1 | pages=57–83 |mr=0485835| doi=10.1016/0001-8708(78)90045-2 }}.

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