ヒルベルト行列のソースを表示

[[線形代数学]]において[[正方行列]] <math>H</math> が'''ヒルベルト行列'''（ひるべるとぎょうれつ、{{lang-en-short|Hilbert matrix}}）であることの定義は，その <math>(i, j)</math> [[行列要素|要素]] <math>H_{i,j}</math> が次のような[[分数#有理数の表現|単位分数]]であることである：

:<math> H_{i,j} = \frac{1}{i+j-1}</math>

例として5次のヒルベルト行列を示す：

:<math>H = \begin{bmatrix} 
1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} \\[4pt]
\frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \frac{1}{6} \\[4pt]
\frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \frac{1}{6} & \frac{1}{7} \\[4pt]
\frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \frac{1}{6} & \frac{1}{7} & \frac{1}{8} \\[4pt]
\frac{1}{5} & \frac{1}{6} & \frac{1}{7} & \frac{1}{8} & \frac{1}{9} \end{bmatrix}</math>

このようなものを定義する動機としては次のような積分を考えると良い：

:<math> \int_{0}^{1} (x^{i-1})(x^{j-1})\,dx = \int_{0}^{1} x^{i+j-2} \, dx = \frac{1}{i+j-1} = H_{i,j} </math>

すなわちヒルベルト行列は区間[0,1]での <math>x</math> の[[冪乗]]に対する[[グラム行列]]である。

==歴史的経緯==

ヒルベルト行列の初出は[[ダフィット・ヒルベルト]]の論文集<ref>
David Hilbert, ''Collected papers'', vol. II, article 21
</ref>に収められた論文 "Ein Beitrag zur Theorie des Legendreschen Polynoms"<ref>
David Hilbert, Ein Beitrag zur Theorie des Legendreschen Polynoms, ''[[Acta Mathematica]]'', vol. 18, 155-159, 1894
</ref>である。
この論文は{{仮リンク|近似理論|en|Approximation theory}}における以下の問題を扱っていた：
<blockquote>
[[区間 (数学)|区間]] <math>I = [a, b]</math> が与えられたとき、任意の小さな正数εに対し、"整数"係数の非零な多項式 <math>P</math> を適当に選んで、積分

:<math>\int_{a}^b P(x)^2 \, dx</math> 

をεより小さくできるだろうか？　
</blockquote>
ヒルベルトは、ヒルベルト行列の[[行列式]]の[[漸近線|漸近形]]を使って区間の長さ <math>b-a</math> が4未満ならばこれが可能であることを示した。

ヒルベルトは <math>n</math> 次のヒルベルト行列 <math>H</math> の行列式を閉じた式で求めた：

:<math>\det(H)={{c_n^{\;4}}\over {c_{2n}}}</math> 

ここで <math>c_n</math> は次のように書ける：

:<math>c_n = \prod_{i=1}^{n-1} i^{n-i}=\prod_{i=1}^{n-1} i! </math>

ヒルベルトは次のような興味深い事実を指摘している。すなわちヒルベルト行列の行列式の逆数は整数であり、その整数は[[ルジャンドル多項式]]に関連するある種の超幾何多項式の[[判別式]]として書ける。これは次の恒等式からも分かる：

: <math>{1 \over \det (H)}={{c_{2n}}\over {c_n^{\;4}}}=n!\cdot \prod_{i=1}^{2n-1} {i \choose [i/2]}
</math> 

<math>\log c_n</math> に対して[[オイラー＝マクローリンの総和公式]]を適用することで、ヒルベルトは次の漸近形を得た：

:<math>\det(H)=4^{-n^2+r_n}</math>

ここで誤差項 <math>r_n</math> は <math>o(n^2)</math> である。より正確な漸近形は[[階乗]]に対する[[スターリングの公式]]を使って

:<math>\det(H)=a_n\, n^{-1/4}(2\pi)^n \,4^{-n^2}</math>

として得られる。ここで <math>a_n</math> は <math>n\to\infty</math> のとき定数
<math>a_\infty=0.6450... </math> に収束する。

==性質==

ヒルベルト行列は[[対称行列]]、特に[[ハンケル行列]]である。
また[[正定値行列]]である。

ヒルベルト行列は[[全正値行列]]であり、すなわち全ての[[部分行列]]の行列式が正である。

ヒルベルト行列は悪条件の行列の代表例であり、数値計算において極めて扱い辛い。
例えば[[行列ノルム|2-ノルム]]による[[条件数]]を冒頭の5次行列の例に対し計算すると<math>4.8\times10^5</math>となる。
条件数は次数 <math>n\to\infty</math> に対し <math>O(e^{3.5255n}/\sqrt{n})</math> のように増大する。

上述の通りヒルベルト行列の行列式は[[閉じた式]]で書けるが、これは[[コーシー行列式]]の特別な場合である。

ヒルベルト行列の[[逆行列]]も閉じた式で書ける。
具体的には、その <math>(i, j)</math> 要素は

:<math>(H^{-1})_{i,j}=(-1)^{i+j}(i+j-1){n+i-1 \choose n-j}{n+j-1 \choose n-i}{i+j-2 \choose i-1}^2</math>

であり（<math>n</math> は元のヒルベルト行列の次数）、いずれも整数である。
(このことからも行列式の逆数が整数であることがわかる)

==脚注==
{{reflist}}

==参考文献==
* Beckermann, Bernhard.  "The condition number of real Vandermonde, Krylov and positive definite Hankel matrices," ''Numerische Mathematik''.  '''85'''(4), 553--577, 2000.
* Choi, M.-D.  "Tricks or Treats with the Hilbert Matrix," ''American Mathematical Monthly''. '''90''', 301–312, 1983.
* Todd, John.  "The Condition Number of the Finite Segment of the Hilbert Matrix," ''National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series''.  '''39''', 109–116, 1954.
* Wilf, H.S.  ''Finite Sections of Some Classical Inequalities''.  Heidelberg: Springer, 1970.

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{{DEFAULTSORT:ひるへるときようれつ}}
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