ヒル微分方程式のソースを表示

{{Otheruses|数学における一般の微分方程式の形|生化学で用いられる方程式|ヒルの式|宇宙工学で用いられる方程式|ヒルの方程式}}

[[数学]]における'''ヒル微分方程式'''（ヒルびぶんほうていしき、{{Lang-en-short|Hill differential equation}}）あるいは'''ヒル方程式'''（ヒルほうていしき、{{Lang-en-short|Hill equation}}）とは、次の形状の二階線型[[常微分方程式]]のことを言う。
:<math> \frac{d^2y}{dt^2} + f(t) y = 0. </math>
ここで ''f(t)'' は[[周期函数]]である<ref>{{cite book|last=Magnus|first=W.|last2=Winkler|first2=S.|title=Hill's equation|year=1966|publisher=Interscience Publishers John Wiley & Sons|location=New York-London-Sydney}}</ref>。1886年にこの方程式を発見した、[[ジョージ・ウィリアム・ヒル]]の名にちなむ<ref>{{cite journal|doi=10.1007/BF02417081|authorlink=ジョージ・ウィリアム・ヒル|first=G.W.|last=Hill|title=On the part of the motion of lunar perigee which is a function of the mean motions of the sun and moon|journal=Acta Math.|volume=8|issue=1|pages=1–36|year=1886}}</ref>。

''f''(''t'') の周期は 2''π'' であると仮定することも出来る。このときヒル微分方程式は、''f''(''t'') の[[フーリエ級数]]を用いて次のように表すことが出来る。

:<math>\frac{d^2y}{dt^2}+\left(\theta_0+2\sum_{n=1}^\infty \theta_n \cos(2nt) \right ) y=0. </math>

ヒル微分方程式の特別な場合として重要なものには、[[マシュー函数|マシュー方程式]]（''n''&nbsp;=&nbsp;0,&nbsp;1 に対応する項のみが含まれている場合）や[[マイスナー方程式]]などがある。

ヒル微分方程式は、周期微分方程式の理解に役立つ重要な例の一つである。''f''(''t'') の正確な形状に依存して、ヒル微分方程式の解はすべての時間に対して有界な領域にとどまるか、あるいはその振動の振幅が指数関数的に成長を続けるかのいずれかである<ref>{{cite book
 | last = Teschl
 | given = Gerald
 |authorlink=:en:Gerald Teschl
 | title = Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems
 | publisher=[[American Mathematical Society]]
 | place = [[プロビデンス (ロードアイランド州)|Providence]]
 | year = 2012
 | isbn= 978-0-8218-8328-0
 | url = http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-ode/}}</ref>。ヒル微分方程式の解の正確な形は、[[フロケ理論]]によって表現される。その解はまた、ヒル行列式の観点からも表現される。

ヒル微分方程式は、もともとは[[ヒルの方程式|月の安定性への応用]]が考えられていたが、その他にも{{仮リンク|四重極質量分析計|en|quadrupole mass spectrometer}}のモデリングや、{{仮リンク|加速器科学|en|accelerator physics}}においてなど、多くの応用が考えられるものである。四重極質量分析計は、水晶内での電子に関する一次元[[シュレディンガー方程式]]としてモデル化される。

== 参考文献 ==
{{Reflist}}
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* [[Heinrich Guggenheimer]] (1977) ''Applicable Geometry'', pages 73&ndash;98, Krieger, Huntington ISBN 0-88275-368-1 .
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== 外部リンク ==
* {{SpringerEOM|title=Hill equation|urlname=Hill_equation}}
* {{mathworld|urlname=HillsDifferentialEquation|title=Hill's Differential Equation}}
* {{dlmf|first=G.|last=Wolf|id=28.29|title=Mathieu Functions and Hill’s Equation}}

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{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:ひるひふんほうていしき}}
[[Category:常微分方程式]]
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