ヒレ–吉田の定理のソースを表示

[[数学]]の[[関数解析学]]の分野における'''ヒレ–吉田の定理'''（ヒレ–よしだのていり、{{Lang-en-short|Hille–Yosida theorem}}）とは、[[バナッハ空間]]上の[[線形作用素]]からなる[[C0半群|強連続1パラメータ半群]]の生成素を特徴づける定理である。しばしば特別な場合として[[縮小半群]]のために適用され、また、一般的な場合として'''フェラー-宮寺-フィリップスの定理'''（{{仮リンク|ウィリアム・フェラー|en|William Feller}}、宮寺功、ラルフ・フィリップスの名にちなむ）と呼ばれる定理が存在する。縮小半群の場合は、[[マルコフ過程]]の理論において広く研究されている。その他の場面では、この定理と関係の深い[[ルーマー–フィリップスの定理]]が、「与えられた作用素が強連続な縮小半群を生成するかどうか」を見極める上で有用となる。ヒレ-吉田の定理は[[数学者]]の{{仮リンク|エイナー・ヒレ|en|Einar Hille}}と[[吉田耕作]]の名にちなみ、1948年前後の彼らの研究によってそれぞれ独立に発見された。

==正式な定義==
{{Main|C0半群}}
''X'' をバナッハ空間としたとき、''X'' 上の作用素からなる1'''パラメータ半群'''とは、非負の実数によって特徴づけられる作用素の族 {''T''(''t'')}<sub> ''t'' ∈ <nowiki>[0,&nbsp;&infin;)</nowiki></sub> で
*<math> T(0)= I, </math>
*<math> T(s+t)= T(s) \circ T(t) \quad \forall\ t,s \geq 0 </math>
を満たすようなもののことを言う。この半群が'''強連続'''、あるいは'''C0半群'''であるための必要十分条件は、写像
:<math> t \mapsto T(t) x </math>
がすべての ''x'' ∈ ''X'' に対して連続であることである。ここで <nowiki>[0,&nbsp;&infin;)</nowiki> は通常位相を持ち、''X'' はノルム位相を持つ。

1パラメータ半群 ''T'' の'''無限小生成素'''とは、''X'' 上の（possibly proper な）部分空間上で定義される、次のような作用素 ''A'' のことである。
* ''A'' の定義域は、

::<math> h^{-1}(T(h) x - x) </math>
:に、''h'' を右から 0 へと近づけたときの極限が存在するような ''x''&nbsp;∈&nbsp;''X'' からなる集合である:
:<math>D(A):=\left\{\ x \in X;\ \exists\ \lim_{h \downarrow 0}h^{-1}(T(h)x-x)\ \right\}</math>

* ''Ax'' の値は、そのような極限の値である。言い換えると、''Ax'' は関数
::<math> t \mapsto T(t)x </math>
の 0 での右側微分である。

強連続一パラメータ半群の無限小生成素は、''X''の[[稠密集合|稠密]]な[[線型部分空間|線形部分空間]]上で定義される[[閉作用素|閉線形作用素]]である。

ヒレ-吉田の定理は、バナッハ空間上の閉線形作用素 ''A'' が、ある強連続一パラメータ半群の無限小生成素であるための必要十分条件を与えるものである。

==定理の内容==
''A'' をバナッハ空間 ''X'' の線形部分空間 ''D''(''A'') 上で定義される線形作用素とし、''&omega;'' を実数とし、''M''&nbsp;>&nbsp;0 とする。このとき、''A'' が、<math>\|T(t)\|\leq M{\rm e}^{\omega t}</math> を満たすような[[C0半群|強連続半群]] ''T'' を生成するための必要十分条件は
# ''D''(''A'') が ''X'' において[[稠密集合|稠密]]であること、および
# ''&lambda;''&nbsp;>&nbsp;''&omega;'' を満たすようなすべての実数 ''&lambda;'' が ''A'' の[[レゾルベント集合]]に含まれ、そのような λ とすべての正の[[整数]] ''n'' に対し
:::<math>\|(\lambda I-A)^{-n}\|\leq\frac{M}{(\lambda-\omega)^n} </math>
が成立すること、である<ref>Engel and Nagel Theorem II.3.8, Arendt et. al. Theorem 3.3.4, Staffans Theorem 3.4.1</ref>。

==縮小半群に対するヒレ-吉田の定理==
一般的に、ヒレ-吉田の定理は理論的な側面において重要であると考えられている。なぜならば、定理に現れる{{仮リンク|レゾルベント作用素|en|resolvent operator}}の[[冪乗]]に関する不等式は、通常、具体的な事例においてはその成立を確かめることが困難であるからである。特別な場合としての[[縮小半群]]（上の定理において ''M''&nbsp;=&nbsp;1 および ''&omega;''&nbsp;=&nbsp;0 である場合）の場合には、''n''&nbsp;=&nbsp;1 での不等式の成立のみが確かめられれば良いこととなるため、実際の応用の場面における定理の重要性も確かめられる。縮小半群に対するヒレ-吉田の定理は、次のようなものである:

''A'' を[[バナッハ空間]] ''X'' の線形部分空間 ''D''(''A'') 上で定義される線形作用素とする。このとき、''A'' が縮小半群を生成するための必要十分条件は
# ''D''(''A'') が ''X'' において[[稠密集合|稠密]]であること、および
# ''&lambda;''&nbsp;>&nbsp;0 を満たすようなすべての実数 ''&lambda;'' が ''A'' のレゾルベント集合に含まれ、そのような ''&lambda;'' に対して
:::<math>\|(\lambda I-A)^{-1}\|\leq\frac{1}{\lambda} </math>
が成立することである<ref>Engel and Nagel Theorem II.3.5, Arendt et. al. Corollary 3.3.5, Staffans Corollary 3.4.5</ref>。

==関連項目==
* [[C0半群]]
* [[ルーマー-フィリップスの定理]]
* {{仮リンク|一パラメータユニタリ群に関するストーンの定理|en|Stone's theorem on one-parameter unitary groups}}

==脚注==
{{reflist|2}}

==参考文献==
*{{citation|last=Riesz|first= F.|last2=Sz.-Nagy|first2= B.|title=Functional analysis. Reprint of the 1955 original|series= Dover Books on Advanced Mathematics|publisher=Dover|year= 1995|id= ISBN 0-486-66289-6}}
*{{citation|last=Reed|first= Michael|last2= Simon|first2= Barry|title=Methods of modern mathematical physics. II. Fourier analysis, self-adjointness. |publisher=Academic Press|year=1975|id=ISBN 0125850506}}
*{{ citation | last1=Engel| first1=Klaus-Jochen| last2=Nagel| first2=Rainer | title=One-parameter semigroups for linear evolution equations | year=2000| publisher=Springer}}
*{{ citation | last1=Arendt| first1=Wolfgang| last2=Batty| first2=Charles | last3=Hieber| first3=Matthias| last4=Neubrander| first4=Frank |title=Vector-valued Laplace Transforms and Cauchy Problems | year=2001| publisher=Birkhauser}}
*{{ citation | last1=Staffans| first1=Olof| title=Well-posed linear systems | year=2005| publisher=Cambridge University Press}}
*{{ citation | last1=Feller| first1= William| title=An introduction to probability theory and its applications. Vol. II. Second edition|year=1971|publisher=John Wiley & Sons, New York}}
*{{ citation | last1=Vrabie|  first1= Ioan I.| title=C0-semigroups and applications. North-Holland Mathematics Studies, 191.|year=2003|publisher=North-Holland Publishing Co., Amsterdam}}

{{DEFAULTSORT:ひれよしたのていり}}
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