ビアンキ分類のソースを表示

{{要改訳}}
数学では、{{仮リンク|ルイジ・ビアンキ|en|Luigi Bianchi}}(Luigi Bianchi)の名前に因んだ、'''ビアンキ分類'''(Bianchi classification)は、[[リー代数]]の分類である。

3-次元実リー代数は、11個のクラスに分類され、その中の 9個は単独のグループで、残る 2つは同型類で繋がるという性質を持っている。（2つのグループは、無限個の族をなし、11個のグループの中に含まれることがあり、9個のグループをなることがある。）
<!--In mathematics, the '''Bianchi classification''', named for [[Luigi Bianchi]], is a classification of [[Lie algebra]]s.

The system classifies 3-dimensional real Lie algebras into 11 classes, 9 of which are single groups and two of which have a continuum of isomorphism classes. (Sometimes two of the groups are included in the infinite families, giving 9 instead of 11 classes.) -->

==次元 0==

唯一のリー代数は、[[リー代数#可換リー代数|可換リー代数]] '''R'''<sup>0</sup> である。

==次元 1==

唯一のリー代数は、可換リー代数 '''R'''<sup>1</sup> で非零の実数からなる群で[[自己同型#内部自己同型と外部自己同型|外部自己同型]]群を持っている。

==次元 2==

2つのリー代数が存在する。

# 可換リー代数 '''R'''<sup>2</sup> で、外部自己同型群 GL<sub>2</sub>('''R''') を持っている。
# 2 × 2 の上半三角行列でトレースが 0 である[[リー代数#可解リー代数|可解リー代数]]である。単純連結群は、自明な中心と位数 2 の外部自己同型群を持っている。
<!--==Dimension 0==

The only Lie algebra is the [[abelian Lie algebra]] '''R'''<sup>0</sup>.

==Dimension 1==

The only Lie algebra is the abelian Lie algebra '''R'''<sup>1</sup>, with outer automorphism group the group of non-zero real numbers.

==Dimension 2==

There are two Lie algebras:

# The abelian Lie algebra '''R'''<sup>2</sup>, with outer automorphism group GL<sub>2</sub>('''R''').
# The [[solvable Lie algebra]] of 2×2 upper triangular matrices of trace 0. The simply connected group  has trivial center and  outer automorphism group of order 2.-->

==次数 3==

VIII 型と IX 型を除くすべての 3-次元リー代数は、'''R'''<sup>2</sup> と '''R''' との半直積として構成することができる。ここに '''R''' は 2 × 2 の正方行列 M により '''R'''<sup>2</sup> 上へ作用する。リー代数の分類の型の違いは、行列 M の種類の違いであり、これらの型別の違いを以下にあげる。

*'''{{Anchors|I型}}I型''': 可換であるが、ユニモジュラなリー代数 '''R'''<sup>3</sup> である。単純連結な群は中心 '''R'''<sup>3</sup> と外部自己同型群 GL<sub>3</sub>('''R''') を持っている。これは M が 0 の場合である。
*'''{{Anchors|II型}}II型''': べき零でユニモジュラ、{{仮リンク|ハイゼンベルク代数|en|Heisenberg algebra}}(Heisenberg algebra)である。単純連結な群は中心 '''R''' と外部自己同型群 GL<sub>2</sub>('''R''') を持っている。この場合は M がべき零であるが、0 ではない（固有値がすべて 0）。
*'''{{Anchors|III型}}III型''': 可解であるが、ユニモジュラではない。この代数は、'''R''' と 2-次元の非可換リー代数である。（固有値がひとつで 0 であれば、VI型の場合に限られる。）単連結群は中心 '''R''' と非零な実数の群の外部自己同型を持っている。行列 M はひとつの 0 とひとつの非零な固有値を持っている。
*'''{{Anchors|IV型}}IV型''': 可解であるがユニモジュラではない。 [y, z] = 0, [x, y] = y, [x, z] = y + z である。単連結群は自明な中心と実数とオーダー 2 の群の積である外部自己同型群を持っている。行列 M は 2つの同じ固有値を持つが、半単純ではない。
*'''{{Anchors|V型}}V型''': 可解であるがユニモジュラではない。 [y, z] = 0, [x, y] = y, [x, z] = z である。（VI型のひとつの極限であり、双方の固有値が等しい。）単連結群は自明な中心と行列式が +1 か -1 の GL<sub>2</sub>('''R''') の元である外部自己同型群を持っている。行列 M は 2つの同じ固有値を持ち、半単純である。
<!--All the 3-dimensional Lie algebras other than types VIII and IX can be constructed as a semidirect product of '''R'''<sup>2</sup> and '''R''', with '''R''' acting on '''R'''<sup>2</sup> by some 2 by 2 matrix ''M''. The different types correspond to different types of matrices ''M'', as described below.

*'''Type I''': This is the abelian and unimodular Lie algebra '''R'''<sup>3</sup>. The simply connected group has center '''R'''<sup>3</sup> and outer automorphism group GL<sub>3</sub>('''R'''). This is the case when ''M'' is 0.
*'''Type II''': Nilpotent and unimodular: [[Heisenberg algebra]]. The simply connected group has center '''R''' and outer automorphism group GL<sub>2</sub>('''R'''). This is the case when ''M'' is nilpotent but not 0 (eigenvalues all 0).
*'''Type III''': Solvable and not unimodular. This algebra is a product of '''R''' and the 2-dimensional non-abelian Lie algebra.  (It is a limiting case of type VI, where one eigenvalue becomes zero.) The simply connected group has center '''R''' and outer automorphism group the group of non-zero real numbers. The matrix ''M'' has one zero and one non-zero eigenvalue.
*'''Type IV''': Solvable and not unimodular. [''y'',''z''] = 0, [''x'',''y''] = ''y'', [''x'', ''z''] = ''y'' + ''z''. The simply connected group has trivial center and outer automorphism group the product of the reals and a group of order 2. The matrix ''M'' has two equal non-zero eigenvalues, but is not semisimple.
*'''Type V''': Solvable and not unimodular. [''y'',''z''] = 0, [''x'',''y''] = ''y'', [''x'', ''z''] = ''z''. (A limiting case of type VI where both eigenvalues are equal.) The simply connected group has trivial center and outer automorphism group the elements of GL<sub>2</sub>('''R''') of determinant +1 or −1. The matrix ''M'' has two equal eigenvalues, and is semisimple.-->

*'''{{Anchors|VI型}}VI型''': 可解であるが、ユニモジュラではない。無限個の族。'''R'''<sup>2</sup> と '''R''' の半直積で、そこでは行列 M は非零な和をもつ異なる複数個の実固有値を持つ。単連結群は自明な中心と非零な実数と位数 2 の群の積である外部自己同型群を持つ。
*'''VI<sub>0</sub>型''': 可解でユニモジュラ。このリー代数は、'''R'''<sup>2</sup> と '''R''' の半直積で、'''R''' では行列 M が非零の複数の実固有値で和が 0 の固有値を持つ。この型は、2-次元[[ミンコフスキー空間]]の等長群のリー代数。単連結群は自明な中心と正の実数と位数 8 の二面体群の席である外部自己同型群の積である。
*'''{{Anchors|VII型}}VII型''': 可解でありユニモジュラではない。無限個の族。'''R'''<sup>2</sup> と '''R''' の半直積。そこでは行列 M は実数でも純虚数でもない固有値を持つ。単連結群は自明な中心と非零の実数である外部自己同型群を持つ。
*'''VII<sub>0</sub>型''': 可解でユニモジュラ。'''R'''<sup>2</sup> と '''R''' の半直積。そこでは行列 M は零ではない虚数の固有値を持つ。これは平面の等長群のリー代数である。単連結群は、中心 '''Z''' と非零な実数と位数 2 の群の外部自己同型群を持つ。
*'''{{Anchors|VIII型}}VIII型''': 半単純で、ユニモジュラ。トレースをもたない 2 × 2 の行列のリー代数 sl<sub>2</sub>('''R''')。単連結な群は中心 '''Z''' と位数 2 の外部自己同型群を持つ。
*'''{{Anchors|IX型}}IX型''': 半単純でユニモジュラ。直交群 O<sub>3</sub>('''R''') のリー代数。単連結群は位数 2 の中心と自明な外部自己同型群をもち、[[スピン群]]である。

3-次元複素リー代数の分類は、VIII型を除き同様であり、IX型は同型となり、VI型と VII型は双方ともリー代数の単純な族の部分となる。

連結な 3-次元リー群は、次のように分類することができる。中心の離散部分群で割った単連結リー群の商である。従って、上の表から読み取ることができる。

このグループ分けは、サーストン(Thurston)の[[幾何化予想]]の 8つの幾何学に関連している。さらに詳しくは、8つの幾何学の内の 7つは、単連結群上の左不変計量として実現することができる（もうひとつの方法も、ときには関連することがある。）サーストンの型が S<sup>2</sup>×'''R''' の幾何学はこの方法では実現することができない。
<!--*'''Type VI''': Solvable and not unimodular. An infinite family. Semidirect products of '''R'''<sup>2</sup> by '''R''', where the matrix ''M'' has non-zero distinct real eigenvalues with non-zero sum. The simply connected group has trivial center and outer automorphism group a product of  the non-zero real numbers and a group of order 2.
*'''Type VI<sub>0</sub>''': Solvable and unimodular.  This Lie algebra is the semidirect product of '''R'''<sup>2</sup> by '''R''', with '''R''' where the matrix ''M'' has non-zero distinct real eigenvalues with zero sum. It is the Lie algebra  of the group of isometries of 2-dimensional [[Minkowski space]]. The simply connected group has trivial center and outer automorphism group the product of the positive real numbers with the dihedral group of order 8.
*'''Type VII''': Solvable and not unimodular. An infinite family. Semidirect products of '''R'''<sup>2</sup> by '''R''', where the matrix ''M'' has non-real and non-imaginary eigenvalues. The simply connected group has trivial center and outer automorphism group the non-zero reals.
*'''Type VII<sub>0</sub>''': Solvable and unimodular.  Semidirect products of '''R'''<sup>2</sup> by '''R''', where the matrix ''M'' has  non-zero imaginary eigenvalues. This is the Lie algebra of the group of isometries of the plane. The simply connected group has center '''Z''' and outer automorphism group a product of  the non-zero real numbers and a group of order 2.
*'''Type VIII''': Semisimple and unimodular. The Lie algebra ''sl''<sub>2</sub>('''R''') of traceless 2 by 2 matrices.  The simply connected group has  center '''Z''' and its outer automorphism group has order 2.
*'''Type IX''': Semisimple and unimodular. The Lie algebra of the orthogonal group ''O''<sub>3</sub>('''R'''). The simply connected group has  center of order 2 and trivial outer automorphism group, and is a [[spin group]].

The classification of 3-dimensional complex Lie algebras is similar except that types VIII and IX become isomorphic, and types VI and VII both become part of a single family of Lie algebras.

The connected 3-dimensional Lie groups can be classified as follows: they are a quotient of the corresponding simply connected Lie group by a discrete subgroup of the center, so can be read off from the table above.

The groups are related to the 8 geometries of Thurston's [[geometrization conjecture]]. More precisely, seven of the 8 geometries can be realized as a left-invariant metric on the simply connected group (sometimes in more than one way). The Thurston geometry of type ''S''<sup>2</sup>''×'''R''' cannot be realized in this way.-->

==構造定数==
3-次元ビアンキ空間はそれぞれ、次の性質を満たす 3つの[[キリングベクトル]] <math>\xi^{(a)}_i</math> の集合をもつ。

:<math>\left( \frac{\partial \xi^{(c)}_i}{\partial x^k} - \frac{\partial \xi^{(c)}_k}{\partial x^i} \right) \xi^i_{(a)} \xi^k_{(b)} = C^c_{\ ab}</math>

ここに、<math>C^c_{\ ab}</math> は群の「構造定数」で、低い 2つのインデックスで[[定数]]の[[テンソル|オーダー 3のテンソル]][[反対称テンソル]]である。3-次元ビアンキ空間 <math>C^c_{\ ab}</math> は、関係式

:<math>C^c_{\ ab} = \varepsilon_{abd}n^{cd} - \delta^c_a a_b + \delta^c_b a_a</math>

で与えられ、ここに <math>\varepsilon_{abd}</math> は[[レヴィ・チビタ記号]]であり、<math>\delta^c_a</math> は[[クロネッカーのデルタ]]で、ベクトル <math>a_a = (a,0,0)</math> と [[対角行列|対角]]テンソル <math>n^{cd}</math> は次の表により記述される。<math>n^{(i)}</math> は <math>n^{cd}</math> の i-番目の[[固有値]]を与え<ref>{{citation |title=Course of Theoretical Physics vol. 2: The Classical Theory of Fields |author=[[Lev Landau]] and [[Evgeny Lifshitz]] |isbn=978-0-7506-2768-9 |year=1980 |publisher=Butterworth-Heinemann}}</ref>、パラメータ a はすべての正の[[実数]]を渡る。
<!--==Structure constants==
The three-dimensional Bianchi spaces each admit a set of three [[Killing vector]]s <math>\xi^{(a)}_i</math> which obey the following property:

:<math>\left( \frac{\partial \xi^{(c)}_i}{\partial x^k} - \frac{\partial \xi^{(c)}_k}{\partial x^i} \right) \xi^i_{(a)} \xi^k_{(b)} = C^c_{\ ab}</math>

where <math>C^c_{\ ab}</math>, the "structure constants" of the group, form a [[constant (mathematics)|constant]] [[tensor|order-three tensor]] [[antisymmetric tensor|antisymmetric]] in its lower two indices. For any three-dimensional Bianchi space, <math>C^c_{\ ab}</math> is given by the relationship

:<math>C^c_{\ ab} = \varepsilon_{abd}n^{cd} - \delta^c_a a_b + \delta^c_b a_a</math>

where <math>\varepsilon_{abd}</math> is the [[Levi-Civita symbol]], <math>\delta^c_a</math> is the [[Kronecker delta]], and the vector <math>a_a = (a,0,0)</math> and [[diagonal matrix|diagonal]] tensor <math>n^{cd}</math> are described by the following table, where <math>n^{(i)}</math> gives the ''i''th [[eigenvalue]] of <math>n^{cd}</math>;<ref>{{citation |title=Course of Theoretical Physics vol. 2: The Classical Theory of Fields |author=[[Lev Landau]] and [[Evgeny Lifshitz]] |isbn=978-0-7506-2768-9 |year=1980 |publisher=Butterworth-Heinemann}}</ref> the parameter ''a'' runs over all positive [[real number]]s:-->

{| class="wikitable" align="center"
|-
! 　ビアンキの型　
! 　<math>a</math>　
! 　<math>n^{(1)}</math>　
! 　<math>n^{(2)}</math>　
! 　<math>n^{(3)}</math>　
! 　注意
|-
| 　I || 　0 || 　0 || 　0 || 　0 || 　[[ユークリッド空間]]を記述
|-
| 　II || 　0 || 　1 || 　0 || 　0 || 
|-
| 　III || 　1 || 　0 || 　1 || 　-1 || 　<math>a = 1</math> である VI<sub>a</sub>型の部分空間 
|-
| 　IV || 　1 || 　0 || 　0 || 　1 ||
|-
| 　V || 　1 || 　0 || 　0 || 　0 || 　特別な場合として、超{{仮リンク|擬球|en|pseudosphere}}(pseudosphere)がある　　
|-
| 　VI<sub>0</sub> || 　0 || 　1 || 　-1 || 　0 ||
|-
| 　VI<sub>''a''</sub> || 　<math>a</math> || 　0 || 　1 || 　-1 || 　<math>a = 1</math> のとき、III型に同値
|-
| 　VII<sub>0</sub> || 　0 || 　1 || 　1 || 　0 || 　特別な場合として、ユークリッド空間がある
|-
| 　VII<sub>''a''</sub> || 　<math>a</math> || 　0 || 　1 || 　1 || 　特別な場合として、超擬球がある
|-
| 　VIII || 　0 || 　1 || 　1 || 　-1 ||
|-
| 　IX || 　0 || 　1 || 　1 || 　1 || 　特別な場合として、[[超球面]]
|}
<!--{| class="wikitable" align="center"
|-
! Bianchi type
! <math>a</math>
! <math>n^{(1)}</math>
! <math>n^{(2)}</math>
! <math>n^{(3)}</math>
! notes
|-
| I || 0 || 0 || 0 || 0 || describes [[Euclidean geometry|Euclidean space]]
|-
| II || 0 || 1 || 0 || 0 || 
|-
| III || 1 || 0 || 1 || -1 || the subcase of type VI<sub>''a''</sub> with <math>a = 1</math>
|-
| IV || 1 || 0 || 0 || 1 ||
|-
| V || 1 || 0 || 0 || 0 || has a hyper-[[pseudosphere]] as a special case
|-
| VI<sub>0</sub> || 0 || 1 || -1 || 0 ||
|-
| VI<sub>''a''</sub> || <math>a</math> || 0 || 1 || -1 || when <math>a = 1</math>, equivalent to type III
|-
| VII<sub>0</sub> || 0 || 1 || 1 || 0 || has Euclidean space as a special case
|-
| VII<sub>''a''</sub> || <math>a</math> || 0 || 1 || 1 || has a hyper-pseudosphere as a special case
|-
| VIII || 0 || 1 || 1 || -1 ||
|-
| IX || 0 || 1 || 1 || 1 || has a [[hypersphere]] as a special case
|}-->

==ビアンキ空間の曲率==
ビアンキ空間は、[[リッチテンソル]]が空間と座標に依存しない{{仮リンク|基底ベクトル|en|basis vector}}(basis vector)の積へ{{仮リンク|分離型微分方程式|label=分離|en|Separable differential equation}}(separated)することが可能であるいう性質を持っている。

[[計量]]
:<math>ds^2 = \gamma_{ab} \xi^{(a)}_i \xi^{(b)}_k dx^i dx^k</math>　　（ 　<math>\xi^{(a)}_idx^i</math> は [[微分形式|1-形式]]である　）
が与えられると、リッチ曲率テンソルは、<math>R_{ik}</math> は、
:<math>R_{ik} = R_{(a)(b)} \xi^{(a)}_i \xi^{(b)}_k</math>

:<math>R_{(a)(b)} = \frac{1}{2} \left[ C^{cd}_{\ \ b} \left( C_{cda} + C_{dca} \right) + C^c_{\  cd} \left( C^{\ \ d}_{ab} + C^{\ \ d}_{ba} \right) - \frac{1}{2} C^{\ cd}_b C_{acd} \right]</math>

により与えられる。ここに構造定数のインデックスは、<math>x^i</math> の函数ではない <math>\gamma_{ab}</math> の足を上げ下げする。
<!--==Curvature of Bianchi spaces==
The Bianchi spaces have the property that their [[Ricci tensor]]s can be [[Separable differential equation|separated]] into a product of the [[basis vector]]s associated with the space and a coordinate-independent tensor.

For a given [[Metric (mathematics)|metric]] 
:<math>ds^2 = \gamma_{ab} \xi^{(a)}_i \xi^{(b)}_k dx^i dx^k</math> (where <math>\xi^{(a)}_idx^i</math>

are [[differential form|1-forms]]), the Ricci curvature tensor <math>R_{ik}</math> is given by:
:<math>R_{ik} = R_{(a)(b)} \xi^{(a)}_i \xi^{(b)}_k</math>

:<math>R_{(a)(b)} = \frac{1}{2} \left[ C^{cd}_{\ \ b} \left( C_{cda} + C_{dca} \right) + C^c_{\  cd} \left( C^{\ \ d}_{ab} + C^{\ \ d}_{ba} \right) - \frac{1}{2} C^{\ cd}_b C_{acd} \right]</math>

where the indices on the structure constants are raised and lowered with <math>\gamma_{ab}</math> which is not a function of <math>x^i</math>.-->

== 天文学への応用 ==
天文学では、この分類は次元 3 + 1 の次元の[[等質空間|等質]][[時空]]に対して使われる。[[フリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー計量]]は等長で、I型、V型 の特別な場合である VII}<sub>h</sub>型と IX型である。ビアンキ I型モデルは、特別な場合として{{仮リンク|カスナー計量|en|Kasner metric}}(Kasner metric)を持っている。ビアンキ IX型宇宙は{{仮リンク|Taub-NUT真空|label=タウブ計量|en|Taub-NUT vacuum}}(Taub metric)である<ref>[[Robert Wald]], ''General Relativity'', [[University of Chicago Press]] (1984). ISBN 0-226-87033-2, (chapt 7.2, pages 168–179)</ref>。しかしながら、特異点の近くの力学は、一連のカスナー（ビアンキI型）周期により漸近的に統制される。完全な力学は、カオス的な振る舞いをしており、双曲空間の一部では本質的に非常に大量な運動が観測され、{{仮リンク|ミックスマスター宇宙|en|Mixmaster universe}}(Mixmaster)と命名され、ベリンスキー(Belinskii)、カラトニコフ(Khalatnikov)やリフシッツ(Lifshitz)に従うと、{{仮リンク|BKL特異性|en|BKL singularity}}(BKL singularity)として解析される<ref>V. A. Belinskii, I. M. Khalatnikov, and E. M. Lifshitz, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 62, 1606 (1972)</ref><ref>V. A. Belinskii, I. M. Khalatnikov, and E. M. Lifshitz, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 60, 1969 (1971)</ref>。さらに最近の仕事では、ローレンツ的な[[カッツ・ムーディ代数]]や[[ワイル群]](Weyl group)や双曲的[[コクセター群]]を空間的(spacelike)な特異点（BKL-極限）の近くの（超）重力理論の関係式が確立されている<ref>M. Henneaux, D. Persson, and P. Spindel, ''Living Reviews in Relativity'' 11, 1 (2008), 0710.1818</ref><ref>M. Henneaux, D. Persson, and D. H. Wesley, ''Journal of High Energy Physics'' 2008, 052 (2008)</ref><ref>M. Henneaux, ArXiv e-prints (2008), 0806.4670</ref>。さらに、カスナー写像の離散的性質と連続的な一般化と関係している別な仕事もある<ref>N. J. Cornish and J. J. Levin, in ''Recent Developments in Theoretical and Experimental General Relativity, Gravitation, and Relativistic Field Theories'', edited by T. Piran and R. Rufﬁni (1999), pp. 616–+</ref><ref>N. J. Cornish and J. J. Levin, Phys. Rev. Lett. 78, 998 (1997)</ref><ref>N. J. Cornish and J. J. Levin, Phys. Rev. D 55, 7489 (1997)</ref>。
<!--== Cosmological application ==
In [[cosmology]], this classification is used for a [[homogeneous space|homogeneous]] [[spacetime]] of dimension 3+1. The [[Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker metric]]s are isotropic, which are particular cases of types I, V, <math>\scriptstyle\text{VII}_h</math> and IX. The Bianchi type I models include the [[Kasner metric]]  as a special case.
The Bianchi IX cosmologies include the [[Taub-NUT vacuum|Taub metric]].<ref>[[Robert Wald]], ''General Relativity'', [[University of Chicago Press]] (1984). ISBN 0-226-87033-2, (chapt 7.2, pages 168–179)</ref> However, the dynamics near the singularity is approximately governed by a series of successive Kasner (Bianchi I) periods. The complicated dynamics,
which essentially amounts to billiard motion in a portion of hyperbolic space, exhibits chaotic behaviour, and is named [[Mixmaster universe|Mixmaster]]; its analysis is referred to as the [[BKL singularity|BKL analysis]] after Belinskii, Khalatnikov and Lifshitz.
<ref>V. A. Belinskii, I. M. Khalatnikov, and E. M. Lifshitz, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 62, 1606 (1972)</ref>  
<ref>V. A. Belinskii, I. M. Khalatnikov, and E. M. Lifshitz, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 60, 1969 (1971)</ref>
More recent work has established a relation of (super-)gravity theories near a spacelike singularity (BKL-limit) with Lorentzian [[Kac–Moody algebra]]s, [[Weyl group]]s and hyperbolic [[Coxeter group]]s.<ref>M. Henneaux, D. Persson, and P. Spindel, ''Living Reviews in Relativity'' 11, 1 (2008), 0710.1818</ref><ref>M. Henneaux, D. Persson, and D. H. Wesley, ''Journal of High Energy Physics'' 2008, 052 (2008)</ref><ref>M. Henneaux, ArXiv e-prints (2008), 0806.4670</ref> 
Other more recent work is concerned with the discrete nature of the Kasner map and a continuous generalisation.<ref>N. J. Cornish and J. J. Levin, in ''Recent Developments in Theoretical and Experimental General Relativity, Gravitation, and Relativistic Field Theories'', edited by T. Piran and R. Rufﬁni (1999), pp. 616–+</ref><ref>N. J. Cornish and J. J. Levin, Phys. Rev. Lett. 78, 998 (1997)</ref><ref>N. J. Cornish and J. J. Levin, Phys. Rev. D 55, 7489 (1997)</ref>-->

==関連項目==
*{{仮リンク|リー群の表|en|Table of Lie groups}} (Table of Lie groups)
*{{仮リンク|単純リー群の一覧表|en|List of simple Lie groups}} (List of simple Lie groups)

==参考文献==
{{reflist}}
*L. Bianchi, ''Sugli spazii a tre dimensioni che ammettono un gruppo continuo di movimenti.'' (On the spaces of three dimensions that admit a continuous group of movements.) Soc. Ital. Sci. Mem. di Mat. 11, 267 (1898) [http://ipsapp007.kluweronline.com/content/getfile/4728/60/13/abstract.htm English translation]
*Guido Fubini ''Sugli spazi a quattro dimensioni che ammettono un gruppo continuo di movimenti'', (On the spaces of four dimensions that admit a continuous group of movements.) Ann. Mat. pura appli. (3) 9, 33-90 (1904); reprinted  in ''Opere Scelte'', a cura dell'Unione matematica italiana e col contributo del Consiglio nazionale delle ricerche, Roma Edizioni Cremonese, 1957–62
*MacCallum, ''On the classification of the real four-dimensional Lie algebras'', in "On Einstein's path: essays in honor of Engelbert Schucking" edited by A. L. Harvey, Springer ISBN 0-387-98564-6
*Robert T. Jantzen, [http://www34.homepage.villanova.edu/robert.jantzen/bianchi/ Bianchi classification of 3-geometries: original papers in translation]

{{DEFAULTSORT:ひあんきのふんるい}}
[[Category:リー環論]]
[[Category:リー群論]]
[[Category:天文学]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:天文学に関する記事]]