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'''ビネ方程式'''（ビネほうていしき、{{lang-en-short|Binet equation}}）は、[[ジャック・フィリップ・マリー・ビネ]]が導出した方程式で、平面[[極座標系]]で表わされた[[軌道 (力学)|軌道運動]]と、中心力を結びつける方程式である。中心力から軌道を導出する場合は、一般には二階{{仮リンク|label=非線形|非線形系|en|Nonlinear system}}[[常微分方程式]]となる。力の中心回りの周回運動となる場合は、一意解は存在しない。

== 方程式 ==
軌道の形は相対距離 {{Mvar|r}} を角度 {{Mvar|&theta;}} の関数として表わすのが便利なことが多い。ビネ方程式の場合、軌道の形は距離の逆数 {{math|''u'' {{=}} {{Sfrac|''r''}}}} を角度 {{Mvar|&theta;}} の関数として表現する。比角運動量を {{math|''h'' {{=}} {{Sfrac|''L''|''m''}}}} のように定義する。ここで、{{Mvar|L}} は[[角運動量]]、{{Mvar|m}} は質量である。すると、ビネ方程式は次のように表わされる。
:<math>F({u}^{-1})=-mh^{2}u^{2}\left(\frac{\mathrm{d}^{2}u}{\mathrm{d}\theta^{2}}+u\right)</math>

== 導出 ==
[[ニュートン力学]]の[[運動の第2法則]]は、中心力のみが働く場合、次のように表わされる。
:<math>F(r)=m(\ddot{r}-r\dot{\theta}^{2})</math>
[[角運動量保存の法則|角運動量保存則]]から、次が要請される。
:<math>r^{2}\dot{\theta}=h=\text{constant}</math>
{{Mvar|r}} の時間微分を、次のように {{Mvar|u}} の角度微分に書き直す。
:<math>\begin{align}
&\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{r}\right)\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\theta}=-\frac{{\dot{r}}}{r^{2}\dot{\theta}}=-\frac{{\dot{r}}}{h}\\
&\frac{\mathrm{d}^{2}u}{\mathrm{d}\theta^{2}}=-\frac{1}{h}\frac{\mathrm{d}\dot{r}}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\theta}=-\frac{{\ddot{r}}}{h\dot{\theta}}=-\frac{{\ddot{r}}}{h^{2}u^{2}}\\
\end{align}</math>
これらを組み合わせると、次のようにビネ方程式が得られる。
:<math>F=m(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)=-m\left(h^{2}u^{2}\frac{\mathrm{d}^{2}u}{\mathrm{d}\theta^{2}}+h^{2}u^{3}\right)=-mh^{2}u^{2}\left(\frac{\mathrm{d}^{2}u}{\mathrm{d}\theta^{2}}+u\right)</math>

== 例 ==
=== ケプラー問題 ===
古典的な{{仮リンク|ケプラー問題|en|Kepler problem|redirect=1}}における[[逆2乗の法則|逆二乗則]]に従う軌道の計算は、ビネ方程式を微分方程式として解けばよい。
:<math>\frac{\mathrm{d}^{2}u}{\mathrm{d}\theta^{2}}+u=\text{constant}>0</math>
{{Mvar|&theta;}} を[[近点・遠点|近点]]から測ることとすると、一般解は次のように（逆数）極方程式で表わされる。
:<math>lu=1+\varepsilon\cos\theta</math>
この式は半通径 {{Mvar|l}}、[[軌道離心率|離心率]] {{Mvar|&epsilon;}} の[[円錐曲線]]を表わしている。

{{仮リンク|シュワルツシルト座標|en|Schwarzschild coordinates}}用に導出された相対論的方程式は以下のようになる<ref>{{Harvtxt|Kren|2006}}</ref>。
:<math>\frac{\mathrm{d}^{2}u}{\mathrm{d}\theta^{2}}+u=\frac{r_s c^{2}}{2h^{2}}+\frac{3r_s}{2}u^{2}</math>
ここで、{{Mvar|c}} は[[光速]]、{{Mvar|r{{Sub|s}}}} は[[シュワルツシルト半径]]である。[[ライスナー・ノルドシュトロム解|ライスナー・ノルドシュトロム計量]]用のものは次のようになる。
:<math>\frac{\mathrm{d}^{2}u}{\mathrm{d}\theta^{2}}+u=\frac{r_s c^{2}}{2h^{2}}+\frac{3r_s}{2}u^{2}-\frac{G Q^{2}}{4\pi\varepsilon_0 c^{4}}\left(\frac{c^{2}}{h^{2}}u+2u^3\right)</math>
ここで、{{Mvar|Q}} は[[電荷]]、{{math|''&epsilon;''{{Sub|0}}}} は[[真空の誘電率]]である。

=== 逆ケプラー問題 ===
逆ケプラー問題を考える。どのような法則に従う力が[[円軌道]]ではなくある点を[[焦点 (幾何学)|焦点]]とする[[楕円軌道]]（またはより一般的に円錐曲線）を与えるのであろうか？

上の楕円を表わす極方程式を二階微分すると、次を得る。
:<math>l\,\frac{\mathrm{d}^{2}u}{\mathrm{d}\theta^{2}}=-\varepsilon\cos\theta</math>
したがって、力の従う法則は次のように得られる。
:<math>F=-mh^{2}u^{2}\left(\frac{-\varepsilon\cos\theta}{l}+\frac{1+\varepsilon\cos\theta}{l}\right)=-\frac{mh^2u^2}{l}=-\frac{mh^2}{lr^2}</math>
このようにして期待どおり逆二乗則が得られる。軌道パラメータ {{math|{{Sfrac|''h''{{Sup|2}}|''l''}}}} を {{Mvar|GM}} もしくは {{math|{{Sfrac|''k''{{Sub|''e''}}''q''{{Sub|1}}''q''{{Sub|2}}|''m''}}}} のような物理的値に置き換えれば、それぞれ[[万有引力|ニュートンの万有引力]]の法則や[[クーロンの法則]]が得られる。

シュワルツシルト座標における実効力は次のように得られる<ref>{{Harvtxt|D'Eliseo|2006}}</ref>。

ここで、第二項は[[近点移動]]などの四重極子効果に対応する逆四乗則項である（これは遅延ポテンシャルからも得られる<ref>{{Harvtxt|Behera|Naik|2003}}</ref>）。

[[PPN形式]]においては、次のような方程式が得られる。
:<math>F=-\frac{GMm}{r^{2}}\left(1+(2+2\gamma-\beta)\left(\frac{h}{rc}\right)^{2}\right)</math>
ここで、[[一般相対性理論]]の場合は {{math|''&gamma;'' {{=}} ''&beta;'' {{=}} 1}} であり、[[古典力学]]の場合は {{math|''&gamma;'' {{=}} ''&beta;'' {{=}} 0}} である。

=== コーツの螺旋 ===
逆三乗則は次のように表わされる。
:<math>F(r)=-\frac{k}{r^3}</math>
このような力に対応する軌道は{{仮リンク|コーツの螺旋|en|Cotes's spiral}}と呼ばれる。ビネ方程式から、この軌道は次の方程式を満たすことがわかる。
:<math>\frac{\mathrm{d}^{2}u}{\mathrm{d}\theta^{2}}+u=\frac{ku}{mh^2}=Cu</math>
この微分方程式の解は、ケプラー問題の場合と似て三通りの解を持つ {{math|''C'' &lt; 1}} の場合、解は{{仮リンク|エピ螺旋|en|Epispiral}}となる。病的な例として {{math|''C'' {{=}} 0}} の場合の直線を含む。{{math|''C'' {{=}} 1}} の場合、解は{{仮リンク|双曲螺旋|en|Hyperbolic spiral|redirect=1}}となる。{{math|''C'' &gt; 1}} の場合は{{仮リンク|ポアンソーの螺旋|en|Poinsot's spirals}}となる。

=== 外軸円運動 ===
ビネ方程式では、力の中心周りの円運動に対応する力の法則を導くことはできないが、円運動の中心と力の中心が一致していない場合は力の法則を導くことができる。力の中心を通過する円運動を考えることにする。このような円軌道の（逆）極方程式は、半径を {{Mvar|D}} とすると次のように表わされる。
:<math>D\,u(\theta)=\sec\theta</math>
{{Mvar|u}} を二階微分し、{{仮リンク|ピタゴラスの三角恒等式|en|Pythagorean trigonometric identity}}を用いると次を得る。
:<math>D\,\frac{\mathrm{d}^{2}u}{\mathrm{d}\theta^{2}}=\sec\theta\tan^2\theta+\sec^3\theta=\sec\theta(\sec^2\theta-1)+\sec^3\theta=2D^3u^3-D\,u</math>
したがって、力は次の法則に従う。
:<math>F=-mh^2u^2\left(2D^2u^3-u+u\right)=-2mh^2D^2u^5=-\frac{2mh^2D^2}{r^5}</math>
一般の逆問題、すなわち {{math|{{Sfrac|''r''{{Sup|5}}}}}} に比例する引力から軌道を導くのは非常に難しい問題である。これは、
:<math>\frac{\mathrm{d}^{2}u}{\mathrm{d}\theta^{2}}+u=Cu^3</math>
のような非線形方程式を解くことに相当するからである。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 出典 ===
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
* {{Cite arXiv|first1=Harihar|last1=Behera|first2=P. C.|last2=Naik|date=29 June 2003|title=A flat space-time relativistic explanation for the perihelion advance of Mercury|eprint=astro-ph/0306611v1}}
* {{Cite journal|last=Kren|first=Petr|date=2006|url=http://gsjournal.net/Science-Journals/Research%20Papers-Relativity%20Theory/Download/1246|title=The Source The Field or the Metric?|format=[[Portable Document Format|PDF]]|journal=the general science journal|issn=1916-5382|ref=harv}}
* {{Cite journal|first=Maurizio M.|last=D'Eliseo|url=http://chaos.swarthmore.edu/courses/PDG07/AJP/AJP000352.pdf|title=The first-order orbital equation|format=[[Portable Document Format|PDF]]|location=[[カレッジパーク (メリーランド州)|College Park, MD]]|publisher={{enlink|American Association of Physics Teachers|AAPT|p=off|s=off}}|journal={{enlink|American Journal of Physics|Am. J. Phys.|p=off|s=off}}|volume=75|issue=4|pages=352-355|date=27 February 2006|issn=1943-2909|lccn=2007233687|oclc=1480178|doi=10.1119/1.2432126|archiveurl=https://web.archive.org/web/20120426001843/http://chaos.swarthmore.edu/courses/PDG07/AJP/AJP000352.pdf|archivedate=2012年4月26日|ref=harv|deadurldate=2017年9月}}

== 関連項目 ==
* [[ボーア＝ゾンマーフェルトの量子化条件]]
* {{仮リンク|古典中心力問題|en|Classical central-force problem}}
* [[ 一般相対性理論]]
* {{仮リンク|二体問題 (一般相対性理論)|en|Two-body problem in general relativity}}
* {{仮リンク|バートランドの定理|en|Bertrand theorem}}

{{DEFAULTSORT:ひねほうていしき}}
[[Category:古典力学]]
[[Category:物理学の方程式]]
[[Category:数学のエポニム]]
[[Category:物理学のエポニム]]